Procesos estocásticos

En Monte Carlo fabricasteis el mañana tirando los dados diez mil veces — pero algo les decía siempre a esos dados qué hacer. Los procesos estocásticos son donde dejáis de confiar en esa pequeña receta de deriva y volatilidad y empezáis a entenderla: Monte Carlo tira los dados; los procesos estocásticos son el reglamento que decide qué dados, por qué esos dados y qué garantías os compran.

Subiendo peldaño a peldaño, este tema cubre:

• Qué es un proceso estocástico — una variable aleatoria que se despliega en el tiempo, la diferencia entre una sola trayectoria muestral y la distribución transversal, las filtraciones (información que crece), estacionariedad e incrementos independientes.
• Paseos aleatorios y martingalas — el paseo de cara o cruz, qué añade la deriva y la martingala (la mejor conjetura para mañana es exactamente hoy) como huella de un mercado eficiente.
• Cadenas de Markov — la propiedad de ausencia de memoria, matrices de transición, transiciones a n pasos, distribuciones estacionarias y los regímenes de calma frente a crisis como una cadena disfrazada.
• Movimiento browniano — el límite de escala de infinitos pasos infinitesimales: incrementos gaussianos independientes, trayectorias continuas pero no diferenciables en ningún punto, y la extraña variación cuadrática que siembra el cálculo estocástico.
• El lema de Itô y las EDE — deriva más difusión, por qué el cálculo ordinario se rompe sobre una trayectoria browniana, de dónde sale la corrección $\tfrac{1}{2}\sigma^2$ y cómo resolver la EDE da el movimiento browniano geométrico y precios lognormales.
• Reversión a la media y saltos — el proceso de Ornstein–Uhlenbeck (con una vida media que leéis de los parámetros cuando $\kappa > 0$), la difusión con saltos de Merton para colas gruesas y riesgo de desplome nocturno, y cómo elegir entre modelos para una serie real.

Se cierra con un examen calificado. Domina esto y habrás aprendido el idioma nativo de las finanzas cuantitativas — todo modelo de valoración de opciones, de estructura temporal y todo motor de riesgo de aquí en adelante está escrito en ecuaciones diferenciales estocásticas, y el resto del campo deja de ser magia y empieza a ser gramática.