Movimiento browniano

Ya conocéis el paseo aleatorio: un borracho tambaleándose a izquierda o derecha, un paso discreto cada vez. Ahora haced algo que suena destructivo pero que resulta ser la jugada más importante de todas las matemáticas financieras: encoged los pasos. Haced cada paso más pequeño, dad muchos más, apretad los huecos entre ellos hacia cero. En el límite, la escalera dentada deja de ser una sucesión de saltos y se convierte en una única curva ininterrumpida que tiembla a todas las escalas: el movimiento browniano, también llamado proceso de Wiener, escrito $W_t$. Es el objeto en tiempo continuo que hay bajo la fórmula de Black–Scholes, bajo todo modelo de difusión, bajo el movimiento browniano geométrico que conocisteis simulando precios. Esta lección lo construye desde el paseo aleatorio hacia arriba.

Del paseo aleatorio al movimiento browniano

Analogía. Imaginad que filmáis el paseo del borracho y luego aceleráis la película mientras alejáis el zoom. Cada tambaleo individual se vuelve demasiado pequeño para verse, pero la deriva global de su posición sigue ahí, suavizada en una línea continua que tiembla. El movimiento browniano es ese límite hecho exacto.

Aquí está la construcción. Empezad con un paseo aleatorio simétrico de $\pm 1$: en cada tic sumáis $+1$ o $-1$ con igual probabilidad. Para encajar $N$ pasos en un intervalo de tiempo de longitud $t$, fijad el hueco entre pasos en $t/N$ y escalad cada paso por $\sqrt{t/N}$. Definid

$W_t^{(N)} = \sqrt{\tfrac{t}{N}}\,\sum_{k=1}^{N} \xi_k, \qquad \xi_k = \pm 1 \text{ cada uno con probabilidad } \tfrac12.$

Cuando $N \to \infty$, esta suma dentada converge al movimiento browniano $W_t$. Dos hechos hacen que el límite funcione, y ambos merecen entenderse con precisión.

¿Por qué $\sqrt{t/N}$ y ninguna otra escala? Aquí está todo el truco. Los pasos $\xi_k$ son independientes con varianza $1$ cada uno, así que la suma sin escalar de $N$ de ellos tiene varianza $N$. Multiplicar por $\sqrt{t/N}$ multiplica la varianza por $(\sqrt{t/N})^2 = t/N$. Así que:

$\operatorname{Var}\!\big(W_t^{(N)}\big) = \frac{t}{N}\cdot N = t.$

Las $N$ se cancelan exactamente. La varianza aterriza en $t$ —finita y no nula— para todo $N$, y ahí se queda en el límite. Probad cualquier otra escala y lo rompéis: escalad por $t/N$ (demasiado pequeño) y la varianza se colapsa a $0$ cuando $N \to \infty$ (el límite es la aburrida constante $0$); escalad por $\sqrt{t}/\,^4\!\sqrt{N}$ o cualquier cosa que crezca más rápido y la varianza estalla hacia $\infty$. Solo la escala de raíz cuadrada mantiene un objeto aleatorio vivo y finito en el límite. Por eso la difusión vive a la escala de $\sqrt{\text{tiempo}}$ y en ninguna otra.

Por qué el límite es gaussiano. Cada $W_t^{(N)}$ es una suma escalada de $N$ piezas independientes e idénticamente distribuidas. El teorema central del límite dice que cualquier suma así, una vez estandarizada, converge a una distribución normal, sin importar la forma de los pasos individuales (aquí, una tirada de moneda). Así que el incremento límite no es solo alguna variable aleatoria con varianza $t$; es específicamente $\mathrm{Normal}(0, t)$. El TCL es la razón de que el movimiento browniano sea gaussiano y no, pongamos, uniforme.

La isla de abajo hace visible el límite. Cada hilo es un paseo aleatorio lanzado desde cero; juntos forman una nube que se dispersa, y el embudo discontinuo es la envoltura $\pm\sqrt{t}$ — la desviación típica ensanchándose como la raíz cuadrada del tiempo. Más pasos, más pequeños, suavizarían cada hilo en una trayectoria browniana continua; la forma de la nube ya es el límite. Arrastrad el deslizador de deriva para inclinar toda la nube (añadiremos la deriva formalmente al final).

Las propiedades que lo definen

En lugar de volver a deducir el movimiento browniano cada vez, lo fijamos con cuatro axiomas. Un proceso $W_t$ es movimiento browniano estándar si:

1. Parte de cero: $W_0 = 0$.
2. Incrementos independientes: para intervalos de tiempo que no se solapan, los cambios son estadísticamente independientes. Lo que hace la trayectoria entre $0$ y $1$ no os dice nada sobre lo que hace entre $1$ y $2$. El incremento futuro no se preocupa por el pasado — no hay memoria.
3. Incrementos gaussianos: $W_{t+s} - W_t \sim \mathrm{Normal}(0,\, s)$. El incremento sobre un hueco de longitud $s$ es normal, de media cero y varianza igual a la longitud del hueco. Hueco mayor, varianza proporcionalmente mayor.
4. Trayectorias continuas: $t \mapsto W_t$ es una función continua — sin teletransportes, sin huecos.

Ejemplo trabajado — la ley $\sqrt{t}$, ahora exacta. La propiedad 3 con $t=0$ da $W_t = W_t - W_0 \sim \mathrm{Normal}(0, t)$. Así que

$\operatorname{Var}(W_t) = t, \qquad \operatorname{sd}(W_t) = \sqrt{t}.$

Esta es la misma dispersión $\sqrt{t}$ que visteis en el embudo $\pm\sqrt{t}$ del paseo aleatorio — pero ahora es una identidad exacta, no una aproximación. Tras $1$ año la desviación típica es $1$; tras $4$ años es $\sqrt{4}=2$; para duplicar la dispersión necesitáis cuatro veces el horizonte.

Ejemplo trabajado — una probabilidad. Como $W_1 \sim \mathrm{Normal}(0,1)$, su desviación típica es exactamente $1$. La probabilidad de que la trayectoria aterrice a menos de una desviación típica del inicio en el instante $1$ es la cifra normal de siempre:

$P(|W_1| < 1) = P(-1 < W_1 < 1) \approx 0.68.$

Y en el instante $t=4$, $W_4 \sim \mathrm{Normal}(0,4)$ tiene desviación típica $2$, así que $P(|W_4| < 2) \approx 0.68$ también — una desviación típica captura siempre alrededor del $68\%$, la ventana simplemente se ensancha como $\sqrt{t}$.

Continuo pero no diferenciable en ningún punto

Aquí está la propiedad que hace al movimiento browniano genuinamente extraño. Sus trayectorias son continuas —podéis dibujar una sin levantar el bolígrafo— y sin embargo no son diferenciables en ningún punto: en ningún instante tiene la curva una pendiente bien definida. No hay $dW/dt$. En ninguna parte.

Analogía — la costa fractal. Medid una costa con una regla de un kilómetro y obtenéis una longitud. Cambiad a una regla de un metro y encontráis más recovecos, así que la longitud crece. Cambiad a una regla de un centímetro y crece de nuevo — la costa es igual de dentada a todos los niveles de zoom, nunca se suaviza en una tangente limpia. Una trayectoria browniana es exactamente así en el tiempo: haced zoom en cualquier intervalo y se ve tan salvaje y temblorosa como el todo, por mucho que amplifiquéis. Es estadísticamente autosemejante — una curva fractal.

¿Por qué no hay pendiente? Una derivada es el límite de $\big(W_{t+h} - W_t\big)/h$ cuando $h \to 0$. Pero ese incremento tiene desviación típica $\sqrt{h}$, así que el cociente tiene tamaño típico $\sqrt{h}/h = 1/\sqrt{h}$, que estalla hacia el infinito cuando $h \to 0$. La trayectoria se mueve demasiado sobre intervalos cortos —como $\sqrt{h}$, no como $h$— para que exista pendiente finita alguna.

Por qué importa. El cálculo ordinario se construye sobre derivadas y la regla de la cadena, y ambas suponen que vuestras funciones son suaves. El movimiento browniano no tiene ni derivada ni suavidad, así que no podéis derivar una función de $W_t$ con las reglas que aprendisteis en el colegio. Esta es precisamente la brecha que llena el cálculo de Itô — un nuevo cálculo para trayectorias no diferenciables, escaladas como $\sqrt{t}$. (Esa es la próxima lección, y la propiedad de abajo es su semilla.)

Variación cuadrática = t

Este es el hecho más raro del movimiento browniano, y el que las finanzas no pueden dejar de lado. Trocead $[0,t]$ en $n$ piezas iguales y sumad los incrementos al cuadrado:

$\sum_{k=1}^{n} \big(W_{t_k} - W_{t_{k-1}}\big)^2 \xrightarrow[n\to\infty]{} t.$

La suma de temblores al cuadrado converge a $t$ —un número fijo y no aleatorio— no a cero. La gente lo resume con el eslogan "$(dW)^2 = dt$": un incremento browniano infinitesimal, al elevarlo al cuadrado, se comporta como el propio paso temporal.

Intuición trabajada. Dividid $[0,t]$ en $n$ piezas cada una de anchura $\Delta t = t/n$. Cada incremento tiene varianza $\Delta t$, así que de media su cuadrado es alrededor de $\Delta t$. Hay $n = t/\Delta t$ de ellos, así que la suma de cuadrados es aproximadamente

$\frac{t}{\Delta t}\cdot \Delta t = t.$

Y la aleatoriedad de esa suma se diluye a medida que $n$ crece (estáis promediando muchos términos al cuadrado independientes), así que no solo promedia $t$ — converge a $t$.

Contraste con una función suave. Tomad cualquier $f$ diferenciable. Su incremento sobre un paso $\Delta t$ es alrededor de $f'(t)\,\Delta t$, así que su cuadrado es del orden $(\Delta t)^2$. Sumar $n = t/\Delta t$ de esos da $(t/\Delta t)\cdot(\Delta t)^2 = t\,\Delta t \to 0$. Las funciones suaves tienen variación cuadrática nula. El movimiento browniano no — ese $t$ no nulo es la huella matemática de la rugosidad, lo que ninguna curva suave puede producir.

Movimiento browniano con deriva (MB aritmético)

El movimiento browniano estándar de media no va a ninguna parte — su media es cero para siempre. Para modelar algo con una tendencia, atornilladle una línea recta. El movimiento browniano aritmético es

$X_t = \mu t + \sigma W_t,$

una línea determinista $\mu t$ más ruido browniano escalado $\sigma W_t$. Aquí $\mu$ es la deriva (la tasa media de ascenso) y $\sigma$ es la volatilidad (con qué violencia zarandea el ruido). Su distribución sale de inmediato de los hechos brownianos:

$X_t \sim \mathrm{Normal}\big(\mu t,\ \sigma^2 t\big).$

La media es $\mu t$ (la línea), y la varianza es $\sigma^2 t$ — la varianza browniana $t$ escalada por $\sigma^2$.

Ejemplo trabajado. Sea $\mu = 2$ por año, $\sigma = 3$ por año, y mirad en $t = 4$ años.

• Media: $\mu t = 2 \times 4 = 8$.
• Varianza: $\sigma^2 t = 9 \times 4 = 36$, así que la desviación típica es $\sqrt{36} = 6$.
• Por tanto $X_4 \sim \mathrm{Normal}(8, 36)$. Una banda de una desviación típica va de $8 - 6 = 2$ hasta $8 + 6 = 14$, y aproximadamente el $68\%$ de los resultados caen dentro.
• Fijaos en que $P(X_4 < 0)$ no es cero: eso son unas $1.33$ desviaciones típicas por debajo de la media, una probabilidad de aproximadamente el $9\%$. El proceso puede —y a veces lo hace— volverse negativo.

Ese último punto es toda la trampa.

Juntándolo todo

El movimiento browniano es el límite de escala de un paseo aleatorio: encoged los pasos de $\pm 1$ por $\sqrt{t/N}$, tomad $N \to \infty$, y el teorema central del límite os entrega un proceso gaussiano continuo $W_t$. Está definido por cuatro axiomas —parte de cero, incrementos independientes, incrementos $\mathrm{Normal}(0,s)$ sobre un hueco $s$, trayectorias continuas— de los que caen $\operatorname{Var}(W_t)=t$ y la dispersión $\sqrt{t}$. Sus trayectorias son continuas pero no diferenciables en ningún punto (demasiado rugosas para pendiente alguna, que es por lo que existe el cálculo de Itô), y su variación cuadrática es igual a $t$ — el hecho "$(dW)^2 = dt$" que siembra el término de Itô $\tfrac12\sigma^2$. Añadid una tendencia y obtenéis el movimiento browniano aritmético $X_t = \mu t + \sigma W_t \sim \mathrm{Normal}(\mu t, \sigma^2 t)$ — útil, pero puede volverse negativo y añade ruido de dólar fijo, que es por lo que los precios usan el MB geométrico en su lugar.

A continuación —el lema de Itô— construimos el cálculo que la trayectoria no diferenciable nos impuso. El hecho "$(dW)^2 = dt$" de la variación cuadrática se convierte en una regla concreta, un término extra $\tfrac12\sigma^2$ aparece en cada cálculo con la regla de la cadena, y de ahí cae el movimiento browniano geométrico — el mismo motor que simulasteis, ahora deducido desde primeros principios.