Reversión a la media y saltos

El movimiento browniano geométrico es un vagabundo precioso, pero vaga lejos para siempre. Su precio logarítmico no tiene ancla, ni hogar, ni razón para volver. Eso está bien para un índice bursátil que de verdad tiene tendencia. Pero una enorme porción de las finanzas hace justo lo contrario: los tipos de interés, los diferenciales de crédito, la volatilidad implícita, los precios de las materias primas, el spread de una operación de pares —estas cosas reciben un tirón de vuelta hacia algún nivel. Aléjalas y una fuerza restauradora las recoge. Y hay una segunda cosa que el MBG no sabe hacer: sus trayectorias son perfectamente continuas, así que se deslizan. Los precios reales no siempre se deslizan: a veces dan un salto, despeñándose un 20 % de la noche a la mañana en un desplome, una bomba de resultados o el abandono de un tipo de cambio fijo. Esta lección instala las dos piezas que faltan: la reversión a la media (un precio con hogar) y los saltos (un precio que puede teletransportarse).

Reversión a la media: el proceso de Ornstein–Uhlenbeck

Analogía. Imaginad un muelle con un peso en el extremo, o un perro con correa. Tirad del peso lejos del reposo y el muelle os recoge con fuerza; empujadlo un poco y el tirón es suave. Cuanto más os alejéis, más fuerte el tirón hacia casa. Esa fuerza restauradora, más un poco de zarandeo aleatorio, es la reversión a la media.

La versión matemática es el proceso de Ornstein–Uhlenbeck (OU), escrito como una ecuación diferencial estocástica:

$dX_t = \kappa(\theta - X_t)\,dt + \sigma\,dW_t$

Leedla pieza a pieza: cada símbolo es intuitivo.

• $\theta$ (theta) es la media a largo plazo: el nivel hacia el que $X$ recibe el tirón, la posición de reposo del muelle.
• $X_t$ es dónde está el proceso ahora mismo.
• $(\theta - X_t)$ es la brecha entre el hogar y el ahora. Si $X_t$ está por encima de $\theta$, esto es negativo, así que la deriva empuja hacia abajo; si está por debajo, empuja hacia arriba. La fuerza siempre apunta a casa.
• $\kappa$ (kappa) es la velocidad de reversión, la rigidez del muelle. Un $\kappa$ grande significa un tirón feroz y rápido de vuelta; un $\kappa$ pequeño, una deriva perezosa y lenta hacia casa.
• $\sigma\,dW_t$ es el mismo ruido browniano del MBG: el zarandeo aleatorio que no deja de tirar a $X$ de su percha.

Todo el asunto es un tira y afloja entre un tirón determinista hacia $\theta$ y choques aleatorios que dispersan a $X$. Cuando el ruido gana por un momento, $X$ se desvía; el tirón lo recoge entonces de vuelta. El resultado es una trayectoria que rebota alrededor de $\theta$ en una banda estable en lugar de marcharse al infinito.

Mueve el deslizador de κ y observa cómo la trayectoria se abraza a la línea de la media; bájalo hacia cero y la trayectoria se afloja en el tenue paseo aleatorio que se aleja a la deriva y nunca vuelve a casa.

Vida media: cómo de rápido vuelve de golpe

Saber que un proceso revierte no basta: un trader necesita saber cómo de rápido. El número resumen limpio es la vida media: el tiempo que tarda una desviación respecto de $\theta$ en decaer a la mitad de vuelta, de media (ignorando nuevos choques). Como el tirón decae la brecha exponencialmente a tasa $\kappa$, la vida media es:

$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\kappa}$

Ejemplo trabajado. Supongamos que un diferencial de crédito revierte con $\kappa = 0.5$ por año. Entonces

$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{0.5} = \frac{0.693}{0.5} \approx 1.39 \text{ años.}$

Un choque tarda unos 1,4 años en decaer a la mitad: lento. Ahora tomad una cantidad de reversión rápida con $\kappa = 5$ por año:

$t_{1/2} = \frac{0.693}{5} \approx 0.14 \text{ años} \approx 51 \text{ días.}$

La misma fórmula, una correa mucho más corta. $\kappa$ más grande ⇒ vida media más corta ⇒ vuelta de golpe más rápida.

La banda estacionaria

Aquí está la diferencia estructural respecto de un paseo aleatorio. La varianza de un paseo aleatorio puro crece sin cota: esperad lo suficiente y puede estar en cualquier sitio. El proceso OU, en cambio, se asienta en una varianza a largo plazo finita:

$\text{Var}_\infty = \frac{\sigma^2}{2\kappa}.$

El tirón pone tope a cuán lejos puede arrastrar el ruido a $X$. Con $\sigma = 0.4$ y $\kappa = 0.5$, la varianza estacionaria es $0.16 / 1.0 = 0.16$, una desviación típica de $0.4$ alrededor de $\theta$. Duplicad $\kappa$ a $1.0$ y la varianza se reduce a la mitad, a $0.08$: una banda más estrecha. Reversión más fuerte ⇒ dispersión estacionaria más pequeña. Esa banda acotada, no la deriva, es lo que hace la reversión a la media operable: sabéis aproximadamente cuánto se estira la goma elástica antes de volver de golpe.

Dónde encaja el OU — y dónde no

El proceso OU es la herramienta correcta dondequiera que una cantidad tenga un ancla genuina:

• Tipos de interés a corto plazo. El clásico modelo de Vasicek es OU aplicado al tipo corto: un nivel $\theta$ anclado a la política monetaria, una velocidad de reversión $\kappa$, choques gaussianos. (Su primo, el modelo CIR, añade un retoque para que el tipo no pueda volverse negativo.)
• Diferenciales de crédito. Las primas de riesgo se ensanchan en los pánicos y se comprimen en la calma: respiran alrededor de un nivel en lugar de tener tendencia para siempre.
• Volatilidad implícita. La volatilidad se dispara en un desplome y luego decae de vuelta hacia una media a largo plazo. Reversión clásica.
• Precios de materias primas. Un suelo de coste marginal de producción y un techo de demanda atan precios como el del petróleo o el gas natural a un ancla.
• El spread en una operación de pares / arbitraje estadístico. Esta es la gorda. Tomad dos acciones relacionadas; sus precios individuales tienen tendencia (al estilo MBG), pero un spread bien elegido entre ellas es estacionario y revierte a la media. Operad el spread: cortadlo cuando se estira al alza, compradlo cuando se estira a la baja, y dejad que el tirón haga el trabajo.

La trampa —y es costosa. No le coloquéis OU al precio en bruto de una sola acción. Una acción individual no tiene ancla de precio fija: una empresa que compone valor verá su precio con tendencia alcista indefinidamente, y no hay ninguna ley que lo arrastre de vuelta al nivel del año pasado. Modelar el precio de una acción como reversión a la media os tendrá “comprando la caída” para siempre mientras una acción que cae sigue cayendo: confundisteis una tendencia con una desviación. La reversión a la media vive en spreads, ratios y tipos, no en niveles de renta variable en bruto.

Por eso exactamente importa la cointegración: dos series con tendencia individual (no estacionarias) pueden tener una combinación lineal —su spread— que sí es estacionaria y revierte a la media. Encontrad ese spread cointegrado y habréis encontrado algo a lo que el OU de verdad se ajusta, aunque ninguna pata por sí sola lo haga.

Saltos: cuando los precios dan un gap

La reversión a la media arregla el problema del ancla. Los saltos arreglan uno distinto. La difusión pura —MBG y OU por igual— tiene trayectorias continuas: entre dos instantes cualesquiera el precio pasa por todos los valores intermedios, sin saltarse ninguno. Esa suavidad es matemáticamente cómoda y físicamente falsa. Un modelo de difusión pura no puede producir un gap del −20 % de la noche a la mañana, porque para ir de 100 a 80 tendría que negociar pasando por 99, 98… y sencillamente no hay negociación de madrugada. Sin embargo, los desplomes, las sorpresas de resultados, los anuncios de adquisición y los abandonos de tipos de cambio fijos dan gaps a los precios todo el rato.

El modelo de difusión con saltos (Merton) parchea esto añadiendo un segundo motor encima de la difusión:

$dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t + S_{t^-}\,(J - 1)\,dN_t.$

No os agobiéis con la notación: la estructura es simple. Los dos primeros términos son MBG ordinario: deriva y difusión suaves. El nuevo tercer término es el motor de saltos:

• $N_t$ es un proceso de Poisson con tasa $\lambda$ (lambda): un reloj que se dispara en momentos aleatorios, $\lambda$ veces por año de media. La mayor parte del tiempo no pasa nada y el precio es simplemente MBG suave.
• Cuando el reloj se dispara, el precio se multiplica al instante por un factor de salto $J$ aleatorio (digamos 0,85 para un gap del −15 %, o 1,10 para un subidón del +10 %).

Así que la difusión con saltos es “MBG, pero de vez en cuando el precio se teletransporta”. Vagar continuo y en calma, salpicado de gaps raros y súbitos.

Alterna el gráfico entre solo difusión y con saltos para ver exactamente lo que el componente de salto añade: la trayectoria suave es lo que da el MBG; los acantilados son lo que solo los saltos pueden producir.

Ejemplo trabajado. Con tasa de saltos $\lambda = 2$ por año, esperáis unos 2 saltos en un año (la media de Poisson es simplemente $\lambda$). La probabilidad de ningún salto en absoluto en un año es

$P(0 \text{ saltos}) = e^{-\lambda} = e^{-2} \approx 0.135,$

aproximadamente un 13,5 %. Así que incluso a dos saltos por año, más o menos uno de cada siete años pasa sin ningún gap, y la probabilidad de dos o más saltos es $1 - e^{-2}(1 + 2) \approx 1 - 0.406 = 0.594$, casi un 60 %. Los saltos son raros por evento pero, apilados a lo largo de un año, están muy en juego.

Por qué importan los saltos: colas gruesas y riesgo de gap

Añadir saltos no es cosmético: repara la mayor mentira que un modelo gaussiano/MBG cuenta sobre el riesgo.

Colas gruesas y sesgo. Apilar saltos grandes y raros encima de la difusión suave hace los movimientos extremos mucho más probables de lo que una distribución normal permite y (si los saltos a la baja son mayores o más frecuentes que los saltos al alza) hace la cola izquierda más pesada: sesgo negativo. Esa es precisamente la forma de las rentabilidades reales. También es por qué existe la sonrisa de volatilidad: los mercados de opciones ponen precio al riesgo de salto/desplome que el modelo suave de Black–Scholes (MBG puro) ignora, así que la volatilidad implícita se curva hacia arriba en las alas. La difusión con saltos fue uno de los primeros modelos en explicar la sonrisa en lugar de taparla.

El riesgo de gap rompe la cobertura. La cobertura delta supone que podéis reequilibrar continuamente a medida que el precio se mueve suavemente. Pero no podéis operar dentro de un gap: cuando el precio se teletransporta de 100 a 80, no hay ningún 90 en el que ajustar. Un libro con cobertura delta perfectamente neutral frente a movimientos pequeños puede sufrir una pérdida brutal a través de un salto, porque la cobertura estaba calibrada para el mundo suave que acaba de dejar de existir durante un segundo.

Implicación de riesgo. El valor en riesgo (VaR), las griegas y las cifras de estrés calculadas bajo MBG puro subestiman sistemáticamente el riesgo de cola y de gap. El modelo literalmente no puede imaginar el desplome, así que reporta una cartera como más segura de lo que es. Muchas voladuras se rastrean hasta un modelo de colas finas chocando con un mundo de colas gruesas.

La trampa. Los saltos arreglan las colas pero os cuestan dolor de estimación: un modelo de saltos añade parámetros —la tasa $\lambda$, la media del tamaño de salto, la dispersión del tamaño de salto— y los saltos son raros por definición, así que una muestra de datos corta contiene solo un puñado de ellos (o ninguno). Calibrar $\lambda$ a partir de cinco años de datos cuando la tasa verdadera es un gran salto por década es adivinación estadística. Modelo más rico, más hambriento de datos, y los datos son exactamente lo que los eventos raros se niegan a proporcionar.

Elegir un modelo

Ahora tenéis tres bloques de construcción: MBG (con tendencia, continuo), OU (anclado, continuo) y difusión con saltos (gaps encima de cualquiera de los dos). Elegir el correcto va sobre todo de responder a dos preguntas: ¿tiene esta cantidad un ancla? y ¿puede dar un gap?

Dos juicios que vale la pena interiorizar. Primero, el ancla manda sobre todo: si la cantidad tiene un nivel al que vuelve, partid de OU, no de MBG; modelar un spread como un vagabundo sin tendencia tira por la borda toda vuestra ventaja. Segundo, los gaps exigen saltos: cualquier cosa con riesgo de desplome, de abandono de fijo o de evento binario necesita el término de salto, o vuestras cifras de riesgo son ficción. Y cuando ningún proceso limpio en forma cerrada encaja —una cesta de cosas saltarinas, con reversión, correlacionadas y dependientes de la trayectoria—, dejáis de buscar una fórmula y simuláis, que es para lo que sirve el instrumental de Monte Carlo.

Juntándolo todo

El MBG vaga lejos para siempre, pero franjas enormes de las finanzas —tipos, spreads, volatilidad, materias primas, spreads de pares— reciben un tirón hacia casa. El proceso de Ornstein–Uhlenbeck, $dX_t = \kappa(\theta - X_t)\,dt + \sigma\,dW_t$, es ese muelle: una deriva restauradora hacia la media a largo plazo $\theta$ con rigidez $\kappa$, más ruido. Su vida media $\ln 2 / \kappa$ dice cómo de rápido decaen los choques, y su varianza estacionaria finita $\sigma^2/(2\kappa)$ es la banda acotada que hace la reversión operable, pero solo en spreads, tipos y ratios, nunca en el precio en bruto de una acción. La difusión pura no puede dar gaps, así que el modelo de difusión con saltos (Merton) atornilla un flujo de saltos súbitos de Poisson encima del MBG, con $P(\text{ningún salto en un año}) = e^{-\lambda}$. Los saltos crean las colas gruesas, el sesgo y el riesgo de gap que los modelos suaves se pierden, que es por qué el VaR y las coberturas delta de MBG puro fallan a través de un desplome. Elegid preguntando ¿ancla? (→ OU) y ¿puede dar gap? (→ saltos); cuando nada encaja, simulad.

A continuación, ponemos estos procesos a trabajar, calibrándolos a datos reales y simulando carteras enteras de activos anclados, saltarines y correlacionados. Los bloques de construcción están en su sitio; ahora les hacemos ganarse el sueldo.