Este es el broche final. Seis lecciones construyeron la maquinaria de la aleatoriedad que se despliega en el tiempo — empezando por la mera definición de un proceso y terminando en las ecuaciones con las que los quants operan de verdad. Aprendiste qué es siquiera un proceso (toda una familia de variables aleatorias indexadas por el tiempo, con una trayectoria muestral recorriendo un universo y una distribución transversal cortando a través de muchos); cómo los paseos aleatorios dejan que la varianza se abra en abanico como √t mientras las martingalas se niegan a derivar; cómo las cadenas de Markov olvidan su pasado y se asientan en una distribución estacionaria; cómo el movimiento browniano es el límite continuo que es dentado en todas partes y diferenciable en ninguna; cómo el lema de Itô cuela una corrección ½σ² porque (dW)² = dt se niega a desvanecerse; y cómo la reversión a la media y los saltos doblan el simple movimiento browniano geométrico de vuelta hacia la realidad. Sin hoja de fórmulas, sin pistas, sin marcha atrás: cada respuesta se bloquea en el instante en que la envías, las opciones equivocadas son las trampas exactas que engañan a las mesas reales, y tu puntuación permanece oculta hasta el final.
Big picture
Procesos estocásticos — la escalera completa
- Procesos estocásticos
- Qué es un proceso
- Trayectoria muestral vs distribución transversal
- Conjunto de índices, espacio de estados, filtración
- Incrementos independientes vs estacionarios
- Paseos aleatorios y martingalas
- La varianza crece como t, la desviación típica como √t
- Deriva nμ vs ruido √n
- Martingala: E[X siguiente | info ahora] = X ahora
- Cadenas de Markov
- Sin memoria: solo importa el presente
- Matriz de transición, n pasos = potencia de la matriz
- Distribución estacionaria πP = π
- Movimiento browniano
- Límite continuo de un paseo aleatorio
- Incrementos Normal(0, intervalo de tiempo)
- Continuo pero diferenciable en ningún punto; (dW)² = dt
- Itô y las EDE
- EDE = deriva dt + difusión dW
- Itô añade ½σ² f″ dt
- El log-precio deriva a μ − ½σ²; el MBG es lognormal
- Reversión a la media y saltos
- Deriva restauradora OU κ(θ − X), semivida ln2/κ
- Varianza a largo plazo finita, a diferencia de un paseo aleatorio
- La difusión con saltos añade saltos de Poisson para huecos y colas gruesas
- Qué es un proceso
Cómo funciona este examen
Este es un examen calificado. Las preguntas llegan de una en una. Una vez que envías una respuesta es definitiva — no hay marcha atrás, ni segundo intento, y una respuesta equivocada simplemente suspende esa pregunta. Tu puntuación permanece oculta hasta el final, donde necesitas un 70 % para aprobar. Lee todas las opciones antes de comprometerte.
¿Qué es un proceso estocástico, con precisión?
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¿Aprobado? Esto es lo que ahora dominas
Puedes leer un proceso como lo hace un quant: distinguir una trayectoria muestral de una distribución transversal, detectar cuándo la varianza se abre en abanico como √t, reconocer la deriva ausente de una martingala, elevar una matriz de transición a su distribución estacionaria, escribir una EDE como deriva más difusión, y recordar que (dW)² = dt es toda la razón por la que existe el cálculo de Itô. Sobre todo, sabes qué modelo se dobla hacia qué realidad — MBG para precios, OU para diferenciales y tipos, y saltos para los huecos que los modelos suaves fingen no ver.
Ese es el kit de procesos estocásticos, de principio a fin — el lenguaje en tiempo continuo que está debajo de la valoración de opciones, los modelos de estructura temporal y los motores de riesgo por igual. Ahora dominas tanto las ecuaciones como el criterio para saber cuál habla de verdad tu problema.