Paseos aleatorios y martingalas

Ya conocéis la idea de que el azar puede modelarse, paso a paso. Ahora conocemos a las dos criaturas que aparecen allá donde un precio, un saldo o una previsión vagan a lo largo del tiempo: el paseo aleatorio y la martingala. El primero es el modelo más simple posible de azar acumulado: una suma corrida de tiradas de moneda. La segunda es el enunciado matemático preciso de un juego justo: un proceso sin inclinación predecible, donde vuestra mejor conjetura de mañana es exactamente la de hoy. Son el esqueleto bajo “los precios de las acciones parecen impredecibles”, y entenderlos con exactitud —incluyendo lo que no dicen— es lo que separa una comprensión real de la eficiencia de mercado de un eslogan popular.

El paseo aleatorio simple

Analogía. Imaginad a un borracho tirando una moneda sobre una acera. Cara, se tambalea un paso a la derecha; cruz, un paso a la izquierda. Tras muchas tiradas, ¿dónde está? No en ningún sitio en particular, pero tampoco derivando hacia ningún lado. Su posición es la suma corrida de empujones independientes, y esa suma tiene una forma hermosa y predecible aunque cada paso sea puro azar.

Definición. Un paseo aleatorio simple es la suma corrida $S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n,$ donde cada incremento $X_i$ es un paso independiente e idénticamente distribuido —digamos $+1$ o $-1$ con igual probabilidad (o $\pm c$ para un paso de tamaño $c$). $S_0 = 0$; cada nueva posición es simplemente la anterior más una sacudida independiente fresca: $S_n = S_{n-1} + X_n$.

Dos hechos hacen todo el trabajo, y ambos salen directos de la aritmética sobre los incrementos.

Hecho 1 — la media se queda quieta. Cada paso justo tiene $E[X_i] = \tfrac{1}{2}(+1) + \tfrac{1}{2}(-1) = 0$. La esperanza suma, así que $E[S_n] = E[X_1] + \cdots + E[X_n] = 0.$ De media el paseo va a ninguna parte. Un paseo simétrico no tiene inclinación incorporada.

Hecho 2 — la dispersión crece como √n. Las varianzas independientes suman. Para un paso $\pm c$, $\mathrm{Var}(X_i) = c^2$ (ya que la media es 0 y la desviación al cuadrado es siempre $c^2$). Así que $\mathrm{Var}(S_n) = n\,c^2, \qquad \mathrm{DT}(S_n) = c\sqrt{n}.$ La varianza crece linealmente con el número de pasos, pero la desviación típica —la distancia típica al punto de partida— crece solo como la raíz cuadrada del tiempo. Esta es la famosa ley de dispersión √t, y es la razón de que la incertidumbre se acumule más despacio de lo que esperaríais.

Ejemplo trabajado. Tomad 100 pasos justos de $1 cada uno (ganáis o perdéis un dólar en cada tirada), de modo que el tamaño del paso es $c = 1$.

• Posición final esperada: $E[S_{100}] = 0$ — esperáis salir en tablas.
• Desviación típica: $\mathrm{DT}(S_{100}) = 1 \times \sqrt{100} = 10$, es decir, $10.
• Como $S_{100}$ es (por el teorema central del límite) aproximadamente normal, alrededor del 95 % de las veces aterrizáis dentro de $\pm 2$ desviaciones típicas, esto es, entre −$20 y +$20.

Fijaos en la asimetría de escala: 100 pasos, cada uno de $1, podrían en principio dejaros en cualquier sitio desde −$100 hasta +$100, pero el resultado típico está solo a unos $10 de cero. La cancelación es la regla; las rachas extremas son raras.

Añadiendo deriva

El paseo justo es simétrico, pero nada obliga a una moneda a ser justa. Inclinadla —haced que cada paso lleve un pequeño empujón medio— y obtenéis un paseo aleatorio sesgado con deriva.

Definición. Dejad que cada incremento tenga media $E[X_i] = \mu \neq 0$ manteniendo una varianza finita $\sigma^2$. Entonces $E[S_n] = n\mu, \qquad \mathrm{DT}(S_n) = \sigma\sqrt{n}.$ La posición esperada crece ahora linealmente en $n$ (la deriva $n\mu$), mientras que la dispersión sigue creciendo solo como $\sqrt{n}$. Ese desajuste —señal lineal frente a ruido de raíz cuadrada— es toda la historia de distinguir la habilidad de la suerte.

Ejemplo trabajado — una ventaja diminuta. Supongamos que un operador (o una moneda cargada) tiene una ventaja por paso de $\mu = +0.02$ con escala de paso $\sigma = 1$. Sobre $n = 100$ pasos:

• Deriva (señal): $n\mu = 100 \times 0.02 = +2$.
• Ruido (dispersión): $\sigma\sqrt{n} = 1 \times \sqrt{100} = 10$.

Tras 100 pasos la ganancia esperada es $+2$, pero el ruido es $\pm 10$ — cinco veces mayor. La ventaja es real, pero está enterrada; una única muestra de 100 pasos podría mostrar fácilmente una pérdida y no deciros nada. La deriva es invisible a corto plazo.

Ahora estirad el horizonte. La deriva $n\mu$ escala con $n$; el ruido $\sigma\sqrt{n}$ escala con $\sqrt{n}$. Así que la relación señal-ruido es $\frac{n\mu}{\sigma\sqrt{n}} = \frac{\mu}{\sigma}\sqrt{n},$ que crece sin cota a medida que $n$ aumenta. En $n = 100$ es $0.02 \times 10 = 0.2$ (la deriva es un quinto del ruido). En $n = 10{,}000$ es $0.02 \times 100 = 2$ (la deriva es el doble del ruido). Al final la deriva siempre gana, pero “al final” puede ser muchísimo tiempo.

La martingala: un juego justo

Quitadle la deriva de nuevo y obtenéis el objeto más importante de esta lección: una martingala. La palabra nombra una propiedad precisa —un juego justo— y la precisión importa.

Definición. Un proceso $X_0, X_1, X_2, \dots$ es una martingala si, dado todo lo conocido hasta hoy (llamad a ese conjunto de información $\mathcal{F}_t$), la esperanza condicional del valor de mañana es igual al de hoy: $E[X_{t+1} \mid \mathcal{F}_t] = X_t.$ En palabras: vuestra mejor previsión de mañana, usando toda la información que tenéis ahora mismo, es exactamente el valor de hoy. Ningún empujón predecible al alza, ningún empujón predecible a la baja. La propiedad de martingala va sobre la esperanza condicional —la previsión dado el presente— no sobre la varianza.

Ese último punto es toda la trampa. Una martingala no es una constante, y no es de baja varianza. El valor de mañana sigue siendo incierto y puede oscilar salvajemente; la afirmación es solo que el promedio de esa oscilación, condicionado a hoy, está centrado en hoy. Un paseo aleatorio sin deriva es el ejemplo de manual: $E[S_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = S_n + E[X_{n+1}] = S_n + 0 = S_n$. Es una martingala, y aun así (acabamos de verlo) su dispersión crece como $\sqrt{n}$ para siempre.

Ejemplos.

• Un paseo aleatorio sin deriva —tiradas de moneda justa— es una martingala.
• Un saldo de casino justo: cada apuesta tiene cambio esperado cero, así que vuestro saldo esperado mañana es vuestro saldo de hoy. Una martingala.
• Cualquier proceso sin tendencia predecible, donde conocer el pasado no os da ventaja sobre el promedio del próximo movimiento.

Dos primas capturan los juegos sesgados:

• Una submartingala satisface $E[X_{t+1} \mid \mathcal{F}_t] \ge X_t$ — tiende a derivar al alza. Una acción que gana una prima de riesgo es una submartingala: de media os paga mantenerla.
• Una supermartingala satisface $E[X_{t+1} \mid \mathcal{F}_t] \le X_t$ — tiende a derivar a la baja. El saldo de un jugador en un casino injusto (ventaja de la casa) es una supermartingala; también lo es un fondo que se desangra en comisiones.

Una regla mnemotécnica práctica: una supermartingala es mala suerte para quien la posee (se fuga hacia abajo), una submartingala es buena suerte (se construye hacia arriba) — los nombres parecen del revés porque se nombran por la desigualdad sobre la esperanza, no por la dirección del dinero.

Por qué los mercados eficientes parecen martingalas

Aquí está la recompensa: la razón de que esta maquinaria abstracta esté en todas partes en finanzas.

El argumento. Supongamos que un precio ya refleja toda la información disponible. Entonces el cambio esperado siguiente, más allá de la compensación base por tiempo y riesgo, debe ser cero. ¿Por qué? Porque si todos pudieran ver que el precio subiría predeciblemente mañana, comprarían hoy —empujando el precio al alza ahora hasta que la ganancia predecible se desvaneciera. Cualquier movimiento excedente previsible es dinero gratis, y el dinero gratis se compite hasta hacerlo desaparecer al instante. Lo que sobrevive es un proceso cuya mejor previsión del próximo movimiento (debidamente ajustado) es ningún movimiento en absoluto: una martingala.

Con más cuidado: es el precio descontado y ajustado por riesgo el que se comporta como una martingala. Quitad el crecimiento libre de riesgo y la prima de riesgo, y lo que queda tiene cambio esperado cero. (La teoría de valoración formaliza esto como la existencia de una medida de martingala: una reponderación de probabilidades bajo la cual los precios descontados son exactamente martingalas. La conoceréis como es debido más adelante; por ahora, quedaos con la imagen: eficiencia = ningún movimiento excedente predecible.)

Trampa 1 — “paseo aleatorio” no significa “sin deriva”. Los índices bursátiles reales son submartingalas, no martingalas: llevan una deriva al alza, la prima de riesgo de las acciones, vuestra recompensa por soportar riesgo. La eficiencia mata las rentabilidades excedentes predecibles —la parte que podríais arbitrar— no la prima de riesgo, que es compensación, no un almuerzo gratis. Decir “el mercado es un paseo aleatorio, así que no tiene tendencia” funde dos afirmaciones distintas y se equivoca en la segunda.

Trampa 2 — una martingala no es segura. “Ninguna tendencia predecible” no dice nada sobre el riesgo. La varianza de una martingala sigue creciendo como $\sqrt{t}$ (o más rápido), así que puede vagar enormemente lejos de donde empezó. Justo no significa suave. Confundir “no podéis prever la dirección” con “no se moverá mucho” es exactamente el error que señaló el pretest.

Ruina del jugador y parada opcional (intuición)

Un último par de ideas que se siguen de la propiedad de martingala y demuelen mucha ilusión.

Ruina del jugador. Jugad un juego justo (un saldo martingala) con un bolsillo finito contra una casa con dinero efectivamente infinito, y seguid jugando para siempre. Os arruináis con probabilidad 1. El juego es justo —vuestro saldo esperado nunca baja— y aun así la ruina es segura, porque el vagabundeo $\sqrt{t}$ al final tocará el cero, y el cero es una pared absorbente (arruinado es arruinado; la casa, con reservas infinitas, no tiene tal pared). No podéis ganar por agotamiento a la varianza. La justicia protege vuestro promedio, no vuestra supervivencia.

Probabilidad de ruina trabajada. Supongamos que empezáis con la apuesta $a$ y os retiráis o bien en $0 (ruina) o bien en un objetivo $b > a$, jugando un paseo justo $\pm1$. La probabilidad de ruina antes de alcanzar el objetivo es $P(\text{ruina}) = \frac{b - a}{b}.$ Empezad con $20 apuntando a $100 (así $a = 20$, $b = 100$): probabilidad de ruina $= (100 - 20)/100 = 0.8$. Un 80 % de posibilidades de arruinaros antes de ver siquiera $100 — en un juego perfectamente justo. (Y contra una casa infinita, haced $b \to \infty$ y la probabilidad de ruina $\to 1$.)

Parada opcional (intuición). Podríais esperar batir a una martingala con una regla de salida ingeniosa: retiraos en el instante en que vais ganando, doblad cuando vais perdiendo, etcétera. El teorema de parada opcional dice: bajo condiciones razonables, ninguna estrategia de parada cambia vuestro pago esperado. Para una martingala justa, vuestro valor esperado cuando paráis es igual a vuestro valor de partida, sea cual sea la regla que uséis. Los esquemas de “retírate mientras vas ganando” (como el clásico sistema de doblar de la Martingala) no fabrican una ventaja: solo rebarajan una victoria pequeña casi segura contra una pérdida catastrófica rara, dejando la esperanza exactamente donde empezó. No hay almuerzo gratis escondido en el momento de la salida.

Juntándolo todo

Un paseo aleatorio simple es una suma corrida de sacudidas independientes: su media se queda en el punto de partida (para pasos justos) mientras su dispersión se ensancha como $\sqrt{n}$ —la incertidumbre acumulándose más despacio que el recuento de pasos. La deriva añade una inclinación $\mu$ por paso, así que la posición esperada crece linealmente ($n\mu$) mientras el ruido sigue creciendo como $\sqrt{n}$ —razón por la que una ventaja pequeña es invisible a corto plazo pero inevitable a largo plazo. Una martingala es el enunciado preciso de un juego justo: $E[X_{t+1}\mid\mathcal{F}_t] = X_t$, una propiedad de previsión-igual-a-hoy sobre la esperanza condicional, no sobre la varianza —así que puede seguir vagando enormemente. Las submartingalas derivan al alza (la prima de riesgo de una acción), las supermartingalas derivan a la baja (la ventaja de la casa). Los mercados eficientes parecen martingalas porque cualquier movimiento excedente predecible se arbitraría hasta desaparecer —pero los índices reales son submartingalas, que llevan una prima de riesgo, y una martingala nunca es “segura”. Y la ruina del jugador más la parada opcional cierran el caso: no podéis ganar por agotamiento a la varianza, y ninguna regla de salida ingeniosa bate a un juego justo.

A continuación —Movimiento browniano— dejamos que los pasos se encojan hacia cero y llegamos de un paso a la vez, llevando la dispersión √t del paseo aleatorio a su límite suave y continuo. Esa martingala en tiempo continuo es la materia prima de todo modelo de precios que construyáis a partir de aquí: alimentadla con una deriva y una volatilidad, envolvedla en una exponencial, y habréis reinventado el motor que hay tras los precios de activos simulados.