Lema de Itô y ecuaciones diferenciales estocásticas

Ya sabéis simular una acción encadenando sorteos aleatorios — eso es Monte Carlo, y el motor que llevaba dentro era el movimiento browniano geométrico. Pero ¿de dónde salió ese motor? ¿Por qué el paso del MBG resta un misterioso $\tfrac{1}{2}\sigma^2$? ¿Por qué el precio resulta lognormal en vez de normal? Esta lección es la cima conceptual de todo el tema: escribimos la ecuación diferencial estocástica (EDE) que define cómo se mueve un precio en tiempo continuo, observamos cómo el cálculo ordinario se rompe en el instante en que toca una trayectoria browniana, y conocemos el lema de Itô — la única herramienta que lo repara, fabrica la corrección $\tfrac{1}{2}\sigma^2$ y os entrega el MBG como solución en vez de como una receta que aceptasteis por fe.

Qué dice una ecuación diferencial estocástica

Una ecuación diferencial estocástica es una receta para el siguiente movimiento infinitesimalmente pequeño. Escrita del todo, la EDE para un proceso $X_t$ es:

$dX_t = \mu(X_t, t)\,dt + \sigma(X_t, t)\,dW_t$

Leedla de izquierda a derecha como una frase. A lo largo del siguiente instante diminuto $dt$, el cambio $dX_t$ es la suma de dos piezas:

• El término de deriva $\mu\,dt$ — un tirón predecible, proporcional a la duración del tiempo $dt$. Aquí es adonde el proceso quiere ir: la inclinación constante y determinista.
• El término de difusión $\sigma\,dW_t$ — una sacudida browniana aleatoria, proporcional al incremento $dW_t$ de un proceso de Wiener (el paseo aleatorio en tiempo continuo de la lección anterior). Este es el ruido: impredecible, de media cero, escalando con la volatilidad $\sigma$.

Analogía. Imaginad un velero cruzando una bahía. Hay una corriente constante que lo arrastra en una dirección — esa es la deriva, suave y predecible, actúa igual cada segundo. Y hay ráfagas de viento que lo empujan a izquierda y derecha al azar — esa es la difusión, nerviosa y de media cero. Dónde acaba el barco es el empujón constante de la corriente más el zarandeo acumulado de mil ráfagas aleatorias. La EDE es justo esa frase escrita en matemáticas: posición en el siguiente instante = empujón constante + sacudida aleatoria.

Ejemplo trabajado — movimiento browniano aritmético. La EDE más simple toma coeficientes constantes:

$dX_t = \mu\,dt + \sigma\,dW_t$

Leedla en voz alta: “a lo largo del siguiente instante, $X$ deriva al alza en $\mu\,dt$ (una inclinación fija) y recibe un zarandeo de $\sigma\,dW_t$ (una sacudida aleatoria escalada por la volatilidad)”. No hay ningún $X$ en el lado derecho, así que la deriva y la sacudida no dependen del nivel actual — el proceso vaga por toda la recta real y puede volverse negativo. Eso está bien para un diferencial de tipos de interés o una temperatura, pero, como veréis, está mal para un precio, que es por lo que las finanzas recurren a una EDE dependiente del nivel.

Por qué se rompe el cálculo ordinario

La regla de la cadena que aprendisteis en clase — $df = f'(x)\,dx$ — lleva horneado un supuesto oculto: la trayectoria $x(t)$ es suave. Suave significa que, a lo largo de un paso diminuto, el cambio es diminuto en proporción ($dx$), y cualquier cosa cuadrática ($dx^2$) es despreciablemente aún más diminuta, así que la tiráis. Ese es el truco entero del cálculo diferencial: los términos de segundo orden se desvanecen.

El movimiento browniano hace añicos ese supuesto. Como visteis la lección pasada, una trayectoria de Wiener es continua pero en ninguna parte diferenciable — no podéis trazarle una recta tangente — y tiene la extraña propiedad de variación cuadrática igual al tiempo transcurrido. En la taquigrafía del cálculo estocástico, esa es la regla del cálculo de cajitas:

$(dW)^2 = dt, \qquad (dt)^2 = 0, \qquad dt\,dW = 0$

Esa primera ecuación es la revolución entera. En una trayectoria suave, $(dx)^2$ es de segundo orden y muere. En una trayectoria browniana, $(dW)^2$ es de primer orden — es igual a $dt$, el mismo orden que la deriva — así que se niega a desvanecerse. Cuando desarrolláis en Taylor una función $f$ de una trayectoria browniana, el término de segundo orden

$\tfrac{1}{2}f''(W)\,(dW)^2 = \tfrac{1}{2}f''(W)\,dt$

no desaparece. Sobrevive, contribuyendo con una deriva real del tamaño de $dt$ que el cálculo ordinario nunca ve. Ese término superviviente es la corrección de Itô. Todo lo demás en esta lección es una consecuencia de esos dos personajes: $(dW)^2 = dt$.

El lema de Itô y la corrección ½σ²

El lema de Itô es la regla de la cadena para trayectorias estocásticas. En palabras: cuando transformáis un proceso $X_t$ a través de una función suave $f$, el cambio $df$ es todo lo que os da el cálculo ordinario más un término extra — la pieza superviviente de segundo orden $\tfrac{1}{2}\sigma^2 f''\,dt$. Para $f(X_t)$ donde $dX_t = \mu\,dt + \sigma\,dW_t$:

$df = \underbrace{\left(\mu f' + \tfrac{1}{2}\sigma^2 f''\right)dt}_{\text{deriva}} + \underbrace{\sigma f'\,dW_t}_{\text{difusión}}$

Comparadlo con la regla de la cadena ordinaria $df = f'\,dX = (\mu f')dt + (\sigma f')dW$. Idéntica salvo por la bonificación $\tfrac{1}{2}\sigma^2 f''\,dt$ pegada a la deriva — la huella dactilar de $(dW)^2 = dt$.

La consecuencia estrella para las finanzas. Supongamos que un precio $S$ sigue la EDE $dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW$ (deriva $\mu$, volatilidad $\sigma$, ambas escalando con el nivel de precio). Ahora preguntad: ¿cómo se mueve $\log S$? Aplicad el lema de Itô con $f(S) = \log S$, de modo que $f' = 1/S$ y $f'' = -1/S^2$. La deriva de $\log S$ pasa a ser $\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2$. En palabras:

Un precio con deriva $\mu$ no da un log-precio que derive a $\mu$. El log deriva a $\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2$.

La curvatura de la función log (es cóncava — su segunda derivada $f''$ es negativa) dobla las sacudidas aleatorias hacia abajo en media, y el término de Itô mide exactamente cuánto: media varianza por unidad de tiempo. El gráfico de abajo lo hace visible — subid la volatilidad $\sigma$ y observad cómo la deriva del log-precio se hunde por debajo de la deriva del precio, con la cuña sombreada entre ambas creciendo cuadráticamente a medida que la corrección $\tfrac{1}{2}\sigma^2$ se infla.

Ejemplo numérico trabajado. Tomad $\mu = 8\%$ y $\sigma = 40\%$. La corrección es $\tfrac{1}{2}\sigma^2 = \tfrac{1}{2}(0.40)^2 = \tfrac{1}{2}(0.16) = 0.08 = 8\%$. Así que la deriva del log-precio es $\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2 = 0.08 - 0.08 = 0$. Leedlo otra vez: se espera que el precio crezca un 8 % al año, y sin embargo su log deriva al 0 % — se espera que la trayectoria típica (mediana) no vaya a ninguna parte. La media del precio se sostiene gracias a unos pocos ganadores exponenciales con suerte, pero el inversor mediano, montado en la trayectoria típica, hace el muerto. Esa brecha entera es el impuesto a la volatilidad, y el lema de Itô es lo que le puso un número.

El movimiento browniano geométrico como solución

Ahora todo encaja. La EDE para el precio de una acción es el movimiento browniano geométrico:

$dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t$

La deriva y la difusión escalan ambas con el precio $S_t$ — un movimiento porcentual, no un movimiento fijo en dólares, que es exactamente por qué los precios se mantienen positivos y se comportan igual en una acción de $5 y en una de $5000. Resolver esta EDE (aplicar el lema de Itô a $\log S$ y luego integrar el resultado de deriva constante) da la forma cerrada:

$S_t = S_0 \exp\!\Big(\big(\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2\big)t + \sigma W_t\Big)$

Mirad lo que hay dentro de la exponencial. El log-precio $\log S_t = \log S_0 + (\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t$ es simplemente movimiento browniano aritmético con deriva $\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2$ — la misma corrección que mostró el gráfico. Y como $\log S_t$ es normal (una constante más un valor de Wiener escalado), el precio $S_t$ es lognormal: siempre positivo, sesgado a la derecha, con una larga cola al alza y un suelo en cero. Ese es justo el abanico de trayectorias que generabais en Monte Carlo — ahora sabéis que sale directamente de la EDE.

Ejemplo trabajado — media frente a mediana. Para un precio lognormal, el precio esperado crece como $e^{\mu t}$ (la media, elevada por los afortunados ganadores de la cola derecha), pero el precio mediano crece como $e^{(\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2)t}$ (la trayectoria típica). Con $\mu = 8\%$, $\sigma = 40\%$ a lo largo de un año: el precio esperado se multiplica por $e^{0.08} \approx 1.083$ (sube un 8,3 %), mientras que la mediana se multiplica por $e^{0} = 1.000$ (plana). La media sube mientras la mediana se queda quieta — la firma inconfundible de una lognormal sesgada a la derecha, y la razón de que “rentabilidad esperada” y “lo que típicamente obtendréis” no sean el mismo número.

El lastre de volatilidad, reformulado

Apartaos del cálculo y el mismo $\tfrac{1}{2}\sigma^2$ aparece llevando otro sombrero: lastre de volatilidad, la brecha entre la rentabilidad media aritmética y la tasa de crecimiento geométrica (compuesta). Son el mismo número llegando desde dos direcciones.

La conexión. Vuestra riqueza se compone a la media geométrica, no a la aritmética — y la media geométrica es menor en aproximadamente $\tfrac{1}{2}\sigma^2$. Así que una acción con un 8 % de rentabilidad media aritmética y un 40 % de volatilidad se compone a solo aproximadamente $8\% - 8\% = 0\%$. La media aritmética es la deriva $\mu$; la tasa a la que vuestro dinero realmente crece es $\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2$ — la deriva del log, la trayectoria mediana. Este es exactamente el mismo libro de cuentas que volveréis a ver en el dimensionamiento de apuestas de Kelly y en la CAGR: maximizar el crecimiento a largo plazo significa maximizar $\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2$, no $\mu$.

Trampa 1 — citar la media aritmética y esperar componerla. La gente promedia las rentabilidades anuales de un fondo, obtiene (digamos) un 8 %, y supone que $100 crecen a unos $108 al año de media a largo plazo. No lo harán. La volatilidad silenciosamente desnata $\tfrac{1}{2}\sigma^2$ de la composición de cada periodo. Cuanto más rebota una serie de rentabilidades, más ancha es la brecha entre la alegre media aritmética que citan y la más sosa tasa geométrica que su saldo de cuenta realmente sigue.

Trampa 2 — tratar la corrección de Itô como un “factor de ajuste”. El $\tfrac{1}{2}\sigma^2$ no es un recorte arbitrario que alguien atornilló para que las matemáticas cuadraran. Es el término necesario de segundo orden que aparece siempre que empujáis un proceso aleatorio a través de una transformación curva (no lineal) — aquí, el log. En una transformación lineal ($f'' = 0$) la corrección es exactamente cero; solo muerde con la curvatura. Lejos de ser un ajuste, es la parte de la respuesta que el cálculo ordinario es estructuralmente incapaz de ver.

Juntándolo todo

Una ecuación diferencial estocástica $dX = \mu\,dt + \sigma\,dW$ es una receta para el siguiente movimiento infinitesimal: una deriva determinista ($\propto dt$) más una difusión aleatoria ($\propto dW$) — una corriente constante más viento racheado. El cálculo ordinario se rompe sobre una trayectoria browniana porque $(dW)^2 = dt$ se niega a desvanecerse, así que el término de Taylor de segundo orden sobrevive. El lema de Itô es la regla de la cadena que conserva ese término, añadiendo $\tfrac{1}{2}\sigma^2 f''\,dt$ a la deriva. El titular: un precio con deriva $\mu$ tiene un log-precio que deriva a $\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2$. Resolver la EDE del MBG $dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW$ da $S_t = S_0\exp((\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t)$ — el log-precio es movimiento browniano aritmético, así que el precio es lognormal, con la media ($e^{\mu t}$) montada por encima de la mediana ($e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t}$). Y ese mismo $\tfrac{1}{2}\sigma^2$ es el lastre de volatilidad: el impuesto que la composición paga por rebotar de un lado a otro.

A continuación, en reversión a la media y saltos, dejamos el mundo de deriva constante: la EDE de Ornstein–Uhlenbeck añade un tirón de vuelta hacia un nivel de largo plazo (perfecto para tipos de interés y diferenciales), y la difusión con saltos de Merton atornilla huecos súbitos sobre el MBG suave para capturar desplomes y colas gruesas — ambas escritas como EDE que ahora sabéis leer.