Qué es un proceso estocástico

Ya sabéis qué es una variable aleatoria: un único número incierto —una tirada de moneda, un lanzamiento de dado, la rentabilidad de un día sorteada de alguna distribución—. Útil, pero congelada. Una tirada de moneda no evoluciona; simplemente se resuelve, una vez. Y sin embargo casi todo lo que importa en finanzas es precisamente algo que evoluciona: un precio cotiza todo el día, una cartera crece durante décadas, un tipo de interés deriva durante años. Para modelar el cambio bajo incertidumbre, una sola variable aleatoria no basta. Hace falta todo un convoy de ellas, una por cada instante del tiempo, todas enredadas entre sí de modo que el valor de hoy condicione el de mañana. Ese convoy es un proceso estocástico, y es el objeto matemático que hay debajo de cada trayectoria de precio simulada, cada paseo aleatorio, cada movimiento browniano que encontraréis en esta plataforma. Esta lección es la rampa de entrada suave: qué es el objeto, y las cuatro ideas que necesitáis para pensar con claridad sobre él.

Un proceso es toda una familia de variables aleatorias, una por instante

Analogía. Una variable aleatoria es una foto: una sola instantánea, borrosa de incertidumbre, pero un único fotograma. Un proceso estocástico es el rollo de película entero —una instantánea por cada instante, y crucialmente los fotogramas están correlacionados: el fotograma 100 se parece mucho al 99 porque la historia se arrastró—. Un proceso no es un montón de fotos sin relación; es una narración continua y autorreferencial donde cada instante hereda el anterior.

Definición. Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias $\{X_t\}$ indexadas por un parámetro $t$ tomado de un conjunto de índices (casi siempre el tiempo). Para cada valor de $t$, $X_t$ es en sí misma una variable aleatoria. Dos piezas definen el objeto:

• El conjunto de índices — el conjunto de tiempos $t$ permitidos. Puede ser discreto (observáis en $t = 0, 1, 2, \dots$, como precios de cierre diarios) o continuo (el valor está definido en cada instante $t \ge 0$, como un precio cotizando en tiempo real).
• El espacio de estados — el conjunto de valores que cada $X_t$ puede tomar. También puede ser discreto (un recuento, como el número de operaciones) o continuo (cualquier número real, como un precio o un tipo).

Cruzad esas dos elecciones y obtenéis cuatro sabores, todos los cuales aparecen en los mercados:

Lo que hace que un proceso sea más que “una lista de variables aleatorias” es la estructura de dependencia: las correlaciones que ligan $X_s$ y $X_t$. Conocer el precio de hoy os dice muchísimo sobre el de mañana (estará cerca del de hoy), y casi nada sobre el precio dentro de diez años. Capturar esa red de dependencia entre instantes es el trabajo entero del modelo.

Trayectorias muestrales frente al corte transversal

Aquí está el modelo mental: pillad esto y el resto de los procesos estocásticos encaja en su sitio. Hay dos formas completamente distintas de rebanar un proceso, y confundirlas es el error de principiante más común.

Corte 1 — fija el mundo, deja correr el tiempo: una trayectoria muestral. Ejecutad el proceso una vez. La aleatoriedad se resuelve y obtenéis una historia posible: un único valor en cada instante, ensartados en una línea conectada. Esa línea es una trayectoria muestral (o realización, o camino muestral). Es una película fotograma a fotograma de un futuro posible —el garabato que una acción imprimió de verdad el año pasado es exactamente una trayectoria muestral de su proceso de precio—.

Corte 2 — fija el instante, deja variar el mundo: el corte transversal. Ahora congelad el reloj en un instante $t$ y mirad a través de todos los universos paralelos donde el proceso podría haber corrido de otra manera. La colección de valores que $X_t$ toma a lo largo de todos esos mundos posibles es una distribución —el corte transversal en el tiempo $t$—. Responde a “¿dónde podría estar el precio en el tiempo $t$?”, no a “¿dónde acabó esta ejecución concreta?”.

Una sola trayectoria muestral es un hilo horizontal a través del tiempo. El corte transversal es un corte vertical a través de todos los mundos posibles en un instante. El proceso es la tela entera tejida con ambos.

La isla de abajo lo hace concreto. Cada hilo es una trayectoria muestral de un paseo aleatorio que arranca en 0. Observad cómo muchas se dispersan desde el origen —y fijaos en la envolvente que se ensancha: ese es el ancho transversal, la desviación típica $\pm\sqrt{t}$ de dónde podría estar el paseo en cada instante—. Arrastrad la deriva para inclinar toda la nube.

Ejemplo trabajado — el paseo aleatorio $\pm1$. Empieza en 0. En cada paso, lanzad una moneda justa: $+1$ con cara, $-1$ con cruz. Tras $t$ pasos:

• Una trayectoria muestral es una sola línea en zigzag —digamos $0, +1, 0, +1, +2, +1, \dots$— una historia concreta de tiradas de moneda.
• El corte transversal en el paso $t$ es una distribución a través de todas las secuencias de tiradas posibles. Cada paso tiene media cero (el promedio de $+1$ y $-1$ es $0$) con varianza $1$. Los pasos son independientes, así que las varianzas se suman: tras $t$ pasos la varianza total es $t$, la media sigue siendo $0$, y la desviación típica —la distancia típica al punto de partida— es $\sqrt{t}$.

Ponedle números. Tras $t = 100$ pasos, la dispersión es $\sqrt{100} = 10$. Así que el punto final típico se sitúa a unos $\pm10$ del inicio, aunque el punto final esperado sea exactamente $0$. Una trayectoria podría aterrizar en $+8$, otra en $-14$; promediadlas sobre millones de ejecuciones y obtenéis $0$, con una dispersión de $10$. Esa brecha —media $0$ pero dispersión $10$— es el quid entero de rebanar de dos maneras: el centro del corte transversal y su anchura son hechos distintos, y una trayectoria muestral es solo un punto sorteado de él.

La información se despliega: la filtración

Un proceso no es solo lo que ocurre: es también lo que sabéis, y cuándo. A medida que pasa el tiempo, los dados se resuelven uno a uno y vuestra información crece. El mecanismo contable de “lo que se sabe hasta el tiempo $t$” es la filtración.

Analogía. Leer una novela. Al final del capítulo $t$ conocéis los capítulos $1$ a $t$ —cada giro de la trama hasta ahora está fijado, historia inmutable—. Pero el desenlace sigue siendo genuinamente incierto para vosotros; los capítulos posteriores no se han leído. Con cada capítulo vuestro conjunto de historia conocida crece y nunca encoge. No podéis des-leer el capítulo 3. Ese montón creciente de páginas resueltas es exactamente una filtración.

Definición. Una filtración $\{\mathcal{F}_t\}$ es una familia creciente de conjuntos de información: $\mathcal{F}_t$ es “todo lo observable hasta el tiempo $t$” —la historia entera del proceso hasta $t$ incluido—. Es creciente: si $s \le t$ entonces $\mathcal{F}_s \subseteq \mathcal{F}_t$ (más tarde sabéis todo lo que sabíais antes, y más). La información se acumula; nunca se filtra de vuelta hacia fuera.

Un proceso está adaptado a una filtración cuando su valor en el tiempo $t$ es conocido una vez que habéis visto la historia hasta $t$ —es decir, $X_t$ está determinado por $\mathcal{F}_t$—. Esto es solo el requisito sensato de que el proceso no pueda depender del futuro: una estrategia de negociación que “conoce” el precio de mañana hoy no está adaptada, y hace trampas. Los procesos reales e implementables están adaptados por construcción.

Por qué importa — la esperanza condicional. La filtración es lo que os permite escribir la expresión más importante de toda la valoración de activos: la esperanza condicional

$E[X_{t+1} \mid \mathcal{F}_t],$

que se lee “el valor esperado de mañana, dado todo lo que sé hoy.” Esta no es la media incondicional sobre todos los mundos: es la media sobre solo los mundos consistentes con la historia que ya he visto. Una martingala (la siguiente lección) es precisamente un proceso cuya mejor predicción del mañana, dada la información de hoy, es justo el valor de hoy: $E[X_{t+1}\mid\mathcal{F}_t] = X_t$. Ni siquiera podéis enunciar una martingala, o “ningún almuerzo gratis”, o un juego justo, sin una filtración sobre la que condicionar. Es la gramática de la información en el tiempo.

Incrementos, estacionariedad y lo que permanece igual

Para decir algo cuantitativo sobre un proceso, necesitáis vocabulario para sus cambios y para lo que permanece estadísticamente constante a medida que evoluciona.

Incremento. Un incremento es un cambio sobre un intervalo: $X_{t+s} - X_t$, “cuánto se movió el proceso entre el tiempo $t$ y el tiempo $t+s$.” Para un precio, un incremento es esencialmente un movimiento parecido a una rentabilidad; para el paseo $\pm1$, el incremento sobre un paso es justo ese $\pm1$ del paso.

Dos propiedades estructurales de los incrementos hacen un trabajo enorme:

• Incrementos independientes. Los cambios sobre intervalos de tiempo no solapados son estadísticamente independientes. Lo que el paseo hizo del paso 5 al 10 no os dice nada sobre lo que hace del paso 10 al 15. Cada intervalo fresco es una tirada limpia de los dados. (Esta es la característica que define al paseo aleatorio y al movimiento browniano.)
• Incrementos estacionarios. La distribución de un cambio depende solo de la separación $s$, no de cuándo empieza el intervalo. Un movimiento de 10 días tiene la misma distribución tanto si esos 10 días caen en enero como en julio: solo importa la longitud de 10 días, no su posición en el calendario.

Estacionariedad (débil), intuitivamente. Un proceso es (débilmente) estacionario cuando su carácter estadístico no deriva con el tiempo: su media y su varianza son constantes, y la correlación entre dos instantes depende solo de la separación entre ellos, nunca de dónde se sitúan. Deslizad vuestra ventana de observación a lo largo del eje temporal y las estadísticas se ven iguales —mismo promedio, misma dispersión, mismo ritmo—. Un proceso estacionario no tiene época preferida; se ve estadísticamente “igual” para siempre.

Contraste trabajado. Tomad el paseo aleatorio $\pm1$ otra vez. ¿Son sus incrementos estacionarios? Sí —cada paso es un $\pm1$ fresco con la misma distribución, sin importar cuándo lo toméis—. Pero ¿es el nivel (la posición $X_t$ en sí) estacionario? No —su varianza es $t$, que crece sin cota a medida que pasa el tiempo—. La dispersión en el paso 100 es $\sqrt{100}=10$; en el paso 10.000 es $\sqrt{10{,}000}=100$. Un proceso cuya varianza se infla con el tiempo es lo opuesto a estacionario. Así que un paseo aleatorio tiene incrementos estacionarios pero un nivel salvajemente no estacionario. Esas son preguntas distintas sobre el mismo proceso: mantenedlas separadas.

Trampa — los precios no son estacionarios, las rentabilidades casi sí. Los precios reales de los activos enfáticamente no son estacionarios: tienden, crecen, vagan hacia nuevos máximos históricos, y su varianza se abre en abanico con el tiempo (exactamente como el nivel del paseo aleatorio de arriba). Ajustad una “media constante” a una serie de precios y estaréis modelando una ficción. Pero las rentabilidades de los activos —los cambios porcentuales, los incrementos— están mucho más cerca de ser estacionarias: una rentabilidad diaria típica se ve estadísticamente similar a lo largo de los años (promedio similar cerca de cero, volatilidad comparable), aunque el nivel de precio se marche. Por esto los quants modelan rentabilidades, no precios. Diferenciar un nivel no estacionario en sus incrementos casi estacionarios es el primer movimiento en la mitad de las finanzas cuantitativas.

Comprobación rápida

Ordenemos las ideas y pongamos a prueba las fronteras entre ellas.

Juntándolo todo

Un proceso estocástico $\{X_t\}$ no es una variable aleatoria sino toda una familia de ellas, una por instante —un rollo de película de fotogramas correlacionados, definido por un conjunto de índices (los tiempos) y un espacio de estados (los valores), en sabores discreto o continuo de cada uno—. Rebanadlo horizontalmente y obtenéis una trayectoria muestral, una historia posible; rebanadlo verticalmente en un instante fijo y obtenéis la distribución transversal a través de todos los mundos posibles —para un paseo $\pm1$, media $0$ pero dispersión $\sqrt{t}$ (unos $10$ tras $100$ pasos)—. La filtración $\{\mathcal{F}_t\}$ sigue el montón siempre creciente de lo que se conoce hasta el tiempo $t$; un proceso está adaptado cuando nunca espía el futuro, y condicionar sobre $\mathcal{F}_t$ es lo que hace que $E[X_{t+1}\mid\mathcal{F}_t]$ —el corazón de las martingalas y la valoración— sea siquiera expresable. Finalmente, los incrementos ($X_{t+s}-X_t$) pueden ser independientes (los cambios no solapados no se hablan) y estacionarios (la distribución de un cambio depende solo de la separación), y un proceso es estacionario cuando sus estadísticas no derivan —algo que los precios violan flagrantemente pero las rentabilidades casi satisfacen, la razón por la que los quants modelan rentabilidades—.

A continuación —Martingalas y el juego justo— ponemos la filtración a trabajar. Una martingala es un proceso cuya mejor predicción del mañana, dado todo lo conocido hoy, es simplemente el valor de hoy: $E[X_{t+1}\mid\mathcal{F}_t] = X_t$. Es la columna vertebral matemática de “ningún almuerzo gratis”, los mercados eficientes y la valoración neutral al riesgo —y ahora tenéis todas las piezas de vocabulario que necesitáis para enunciarla con precisión—.