Montecarlo en finanzas
Cuando no existe una fórmula — o cuando asume una pulcra campana de Gauss que la realidad se niega a respetar — dejas de resolver y empiezas a tirar los dados. Diez mil futuros sintéticos, ordenados, se convierten en una probabilidad. Aprende a fabricar el mañana cuando la realidad solo te da uno.
Cómo los quants sustituyen las matemáticas imposibles por aleatoriedad a la fuerza bruta — la simulación de Montecarlo. La ley de los grandes números, el muestreo de distribuciones de rentabilidad, las trayectorias de precios con movimiento browniano geométrico, la simulación de la jubilación y de resultados de cartera, la valoración de opciones dependientes de la trayectoria, la convergencia y el error estándar, y los trucos de reducción de varianza que compran precisión sin fundir tu ordenador.
Las preguntas por las que de verdad le pagan a un quant rara vez tienen fórmula: ¿Sobrevivirá mi bote de jubilación a 30 años de mercados aleatorios? ¿Cuánto vale una opción barrera cuando su pago depende de toda la trayectoria? ¿Cuánto engorda la cola cuando diez posiciones correlacionadas se hunden juntas? Cuando al lápiz se le acaba el camino, dejáis de resolver y empezáis a tirar los dados — la simulación de Montecarlo: generad diez mil futuros aleatorios, medid cada uno y dejad que la ley de los grandes números haga converger el promedio hacia una respuesta que ninguna ecuación os puede dar.
Esto es lo que construimos, desde los cimientos:
- Qué es Montecarlo — la ley de los grandes números, por qué converge el muestreo aleatorio y el truco de lanzar dardos que estima π sin fórmula de la circunferencia.
- Muestreo de distribuciones — convertir números aleatorios uniformes en rentabilidades normales, choques de colas gruesas, cualquier cosa que podáis describir.
- Movimiento browniano geométrico — el motor de precios tras el abanico que se ensancha de trayectorias simuladas que sostiene la mitad de las finanzas modernas.
- Resultados de cartera y jubilación — el cono de futuros, el riesgo de secuencia de rentabilidades y la probabilidad de que vuestro dinero os sobreviva.
- Opciones dependientes de la trayectoria — valorar asiáticas y barrera simulando todo el viaje y promediando el pago.
- Convergencia y error — la brutal regla , intervalos de confianza sobre un número simulado y los trucos de reducción de varianza (variables antitéticas y de control) que exprimen la misma precisión de la cuarta parte de las trayectorias.
Este es el caballo de batalla de las finanzas cuantitativas — debajo de los motores de VaR, las mesas de opciones, las calculadoras de jubilación y los cuadros de mando de riesgo. Al terminar sabréis coger un problema sin solución limpia, construirle un simulador y leer su convergencia con honestidad — incluido cuándo una preciosa respuesta de diez mil trayectorias no es más que una representación precisa de una suposición basura.
En este tema
- 1 Qué es Montecarlo Por qué los quants sustituyen las matemáticas imposibles por aleatoriedad a la fuerza bruta: la ley de los grandes números, el muestreo aleatorio, estimar pi lanzando dardos y por qué el promedio de muchas simulaciones converge a la respuesta verdadera. 9 min
- 2 Muestreo de distribuciones La materia prima de toda simulación: convertir un chorro de números aleatorios uniformes en rentabilidades normales, choques de colas gruesas y cualquier distribución que puedas describir. El muestreo por transformada inversa y el truco de Box-Muller. 9 min
- 3 Movimiento browniano geométrico El motor que hay bajo los precios de activos simulados: paseos aleatorios, deriva frente a difusión, por qué el MBG mantiene los precios positivos y lognormales, y cómo convertir un único sorteo aleatorio por paso en todo un abanico de trayectorias de precio. 9 min
- 4 Simulando resultados de carteras Monte Carlo para la pregunta sin fórmula: ¿durará mi dinero? El cono de resultados, los abanicos de percentiles, el riesgo de secuencia de rentabilidades, la brecha entre riqueza media y mediana, y la probabilidad de que tu cartera alcance su meta. 10 min
- 5 Valoración de opciones dependientes de la trayectoria Donde las fórmulas se rinden y gana la simulación: valorar opciones cuyo pago depende de toda la trayectoria del precio. Montecarlo neutral al riesgo, opciones asiáticas y barrera, descontar el pago medio simulado y por qué Black-Scholes no puede con ellas. 9 min
- 6 Convergencia y reducción de varianza Cuán precisa es una simulación, y cómo hacerla precisa por menos: la brutal regla del uno-entre-raíz-de-M, los intervalos de confianza sobre un número simulado, las variables antitéticas y de control, y las trampas que ningún número de trayectorias puede arreglar. 9 min
- 7 Montecarlo en finanzas — Examen final El examen final calificado de Montecarlo en finanzas: la ley de los grandes números, el muestreo, el movimiento browniano geométrico, la simulación de carteras y jubilación, la valoración de opciones dependientes de la trayectoria, la convergencia, el error estándar y la reducción de varianza. 15 min
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