Qué es Montecarlo

Hasta ahora en esta plataforma has vivido en el mundo de la forma cerrada: metes tus números en una fórmula, le das vueltas a la manivela y sale la respuesta. Black-Scholes te entrega un precio de opción. La distribución normal te entrega una VaR mediante un z-score. La varianza de la cartera es un pulcro producto de matrices. Limpio, exacto, instantáneo. El problema es que el mundo real no para de hacer preguntas que no tienen tal fórmula — y para esas, todo tu elegante álgebra se encoge de hombros.

Montecarlo es el método que se encoge de hombros a su vez y dice: vale, lo haré a lo bruto. Si no puedo resolver la integral, la estimaré generando miles de escenarios aleatorios, midiendo lo que me importa en cada uno y promediando. Es fuerza bruta disfrazada de teoría de la probabilidad, y es una de las herramientas más importantes de todas las finanzas cuantitativas precisamente porque le da igual lo feo que sea tu problema. Lleva el nombre del casino de Mónaco — porque en el fondo no es más que tirar los dados, muy deliberadamente, un montón de veces.

Cuando no hay fórmula, tira los dados

Analogía. Supón que quieres el área de un lago con una forma rarísima. Podrías intentar integrar su retorcida línea de costa — suerte con eso — o podrías plantarte en la orilla y lanzar mil guijarros al azar sobre un rectángulo conocido de tierra-más-lago, contar qué fracción cae al agua y multiplicar por el área del rectángulo. Sin cálculo, solo contando chapuzones. Cuantos más guijarros lances, mejor tu estimación. Eso es Montecarlo en una frase: sustituye un cálculo que no puedes hacer por un recuento que sí puedes.

Definición. Una simulación de Montecarlo estima una cantidad (1) construyendo un modelo que produce resultados aleatorios, (2) extrayendo muchas muestras aleatorias independientes de él, (3) calculando la cantidad de interés en cada muestra y (4) promediando entre todas las muestras. La estimación es el promedio muestral; a medida que crece el número de muestras, ese promedio se aproxima al valor verdadero.

La magia no está realmente en los dados — está en el promedio. Un único escenario aleatorio no te dice casi nada (un guijarro, un chapuzón). Pero el promedio de muchos escenarios aleatorios es una cosa notablemente estable y fiable, y hay un teorema que garantiza que converge a la verdad.

La ley de los grandes números — por qué funciona promediar

Analogía. Lanza una moneda justa diez veces y puede que saques 7 caras — un 70 %, ni de lejos el “verdadero” 50 %. Lánzala diez mil veces y caerás a un pelo del 50 % casi siempre. Los lanzamientos individuales siguen siendo aleatorios para siempre, pero su promedio acumulado es arrastrado inexorablemente hacia la probabilidad verdadera. Aleatoriedad en lo pequeño, casi-certeza en lo grande.

Definición. La ley de los grandes números (LGN) afirma que el promedio muestral de extracciones independientes de una distribución converge al valor esperado verdadero de la distribución a medida que el número de extracciones crece sin límite. Formalmente, si $x_1, x_2, \dots, x_M$ son extracciones independientes de una variable aleatoria $X$, entonces

$\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M} x_i \;\longrightarrow\; E[X] \quad \text{cuando} \quad M \to \infty.$

Este es el teorema que sostiene toda estimación de Montecarlo. Promete que la respuesta que quieres — normalmente un valor esperado — es exactamente aquello hacia lo que promedia un gran montón de muestras aleatorias. No calculas $E[X]$; lo aproximas muestreando y promediando, y la LGN garantiza que esa aproximación mejora a medida que crece $M$.

Ejemplo resuelto. Una apuesta paga 2 dólares si un dado saca 5 o 6, y nada en caso contrario. El pago esperado verdadero es $E[X] = \frac{2}{6}\times 2 = 0.667$ dólares. Tira el dado 6 veces y puede que veas pagos de 2, 0, 0, 2, 0, 0, con promedio $0.667$ — o puede que veas 0, 0, 0, 0, 2, 0, con promedio $0.333$, muy desviado. Tíralo 10.000 veces y el promedio se situará en torno a $0.66$–$0.67$ prácticamente siempre. La LGN no hizo que ninguna tirada individual fuera menos aleatoria; hizo que el promedio fuera de fiar.

Trampa — la falacia del jugador. La LGN dice que el promedio converge, no que el universo te “deba” una corrección. Tras diez caras seguidas, el undécimo lanzamiento sigue siendo 50/50 — la racha no se compensa con una tanda de cruces que la enmiende. La convergencia ocurre porque las extracciones posteriores diluyen las casualidades tempranas, no porque a los dados les remuerda la conciencia.

Estimar π lanzando dardos

Aquí está la demostración canónica — el “hola mundo” de Montecarlo — de que puedes calcular una constante matemática real y exacta usando nada más que aleatoriedad y recuento.

Montaje. Toma el cuadrado unidad: $x$ e $y$ cada uno entre 0 y 1, así que área $1$. Dentro hay un cuarto de círculo de radio 1, centrado en el origen — el conjunto de puntos con $x^2 + y^2 \le 1$. El área de un círculo completo de radio 1 es $\pi$, así que un cuarto de él tiene área $\pi/4 \approx 0.785$.

El truco. Lanza dardos uniformemente al azar por todo el cuadrado. Cada dardo es un punto $(x, y)$ con $x, y$ extraídos uniformemente de $[0,1]$. Un dardo cae dentro del cuarto de círculo si $x^2 + y^2 \le 1$. Como los dardos están repartidos uniformemente, la fracción que cae dentro debería coincidir con el cociente de áreas:

$\frac{\text{dardos dentro}}{\text{dardos totales}} \;\approx\; \frac{\pi/4}{1} = \frac{\pi}{4}.$

Reordena y tienes un estimador del propio $\pi$:

$\pi \;\approx\; 4 \times \frac{\text{dardos dentro}}{\text{dardos totales}}.$

Aritmética resuelta. Lanza 1.000 dardos. Supón que 786 caen dentro del cuarto de círculo. Entonces tu estimación es $\pi \approx 4 \times \frac{786}{1000} = 4 \times 0.786 = 3.144$ — ya a una fracción de un porcentaje del verdadero $3.14159\ldots$, y lo calculaste contando chapuzones, sin escribir ni una sola vez una fórmula de $\pi$. Lanza un millón de dardos y normalmente clavarás tres o cuatro decimales. El gráfico de abajo ejecuta exactamente este experimento en directo — mira cómo la estimación acumulada da bandazos cuando solo han caído unos pocos dardos, y luego se ve empujada hacia el valor verdadero a medida que sube el recuento de muestras.

Esta es toda la filosofía en miniatura: queríamos $\pi$ (una cantidad sin derivación elemental fácil a mano), no nos apetecía hacer la geometría con exactitud, así que lo estimamos como el promedio de un indicador aleatorio — 1 si el dardo está dentro, 0 si no — y la LGN hizo el resto. Dentro-o-fuera, escalado por 4, promediado. Eso es todo.

El valor esperado, lo que Montecarlo de verdad calcula

Da un paso atrás y fíjate en lo que todos los ejemplos de arriba tenían en común: siempre estábamos estimando un promedio, un valor esperado. El pago esperado de la apuesta. La probabilidad de que un dardo caiga dentro (que no es más que el valor esperado del indicador dentro-o-fuera). Esto no es casualidad — es la forma universal de todo problema de Montecarlo.

Definición. El valor esperado de una función $f$ de una variable aleatoria $X$ es, en forma continua, una integral:

$E[f(X)] = \int f(x)\,p(x)\,dx,$

donde $p(x)$ es la densidad de probabilidad de $X$. Esa integral con frecuencia es imposible de evaluar en forma cerrada. Montecarlo la esquiva por completo extrayendo muestras $x_1, \dots, x_M$ de $X$ y formando el simple promedio:

$E[f(X)] \;\approx\; \frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M} f(x_i).$

La integral se convierte en una suma; la densidad se convierte en el propio muestreo (no ponderas por $p(x)$ — extraes de $p$, así que los valores comunes aparecen naturalmente más a menudo). Para los dardos, $f$ es el indicador dentro-o-fuera y $X$ es el punto uniforme. Para una opción, $f$ será el pago descontado y $X$ el precio terminal simulado. La misma máquina, siempre: una integral difícil, aproximada por un promedio fácil de una muestra aleatoria.

Trampa — Montecarlo calcula la media, no el máximo. A veces la gente espera que una simulación les devuelva “el peor caso”. No lo hace — al menos no directamente. La salida cruda es un promedio. Si quieres una cantidad de cola (una pérdida en el percentil 99, pongamos), debes pedir ese estadístico de los resultados simulados, no suponer que la simulación lo saca a relucir gratis. La operación base siempre es promediar.

Por qué las finanzas no pueden vivir sin él

Todo lo que has aprendido hasta ahora funcionaba porque vivía en el rincón pequeño y pulcro de las finanzas donde existen las fórmulas. La práctica real se pasa la mayor parte del tiempo fuera de ese rincón. Tres sabores de pregunta que no tienen fórmula limpia y por tanto exigen simulación:

• ¿Sobrevivirán mis ahorros de jubilación? Retira cada año una cantidad ajustada por inflación, mientras una cartera volátil rebota durante 30 años, y pregunta: ¿en qué fracción de futuros el dinero te dura más que tú? No hay fórmula para la “probabilidad de ruina” bajo rentabilidades secuenciales aleatorias — pero puedes simular 10.000 futuros de treinta años y contar los supervivientes.
• ¿Cuánto vale una opción dependiente de la trayectoria? Una opción barrera que muere si el precio toca alguna vez un nivel, o una opción asiática que paga el precio medio a lo largo de su vida, depende de todo el recorrido, no solo del punto final. Black-Scholes asume un único punto final y no puede ver la trayectoria — así que simulas miles de trayectorias de precios enteras y promedias los pagos.
• ¿Cómo de mala es la cola de un libro de 50 activos? Una cartera enrevesada, correlacionada y con opciones, con rentabilidades de colas gruesas, tiene una distribución de pérdidas que ninguna fórmula describe. Ya te encontraste con esto como VaR por Montecarlo: fabrica miles de escenarios correlacionados, revaloriza por completo, lee el percentil.

Intuición resuelta. Toma el caso de la jubilación. Las finanzas de forma cerrada pueden decirte el saldo final esperado — pero “esperado” es un resumen cruel, porque un 50 % de probabilidad de 2 M$y un 50$ mientras esconden un cara o cruz de la indigencia. Lo que de verdad quieres es la distribución de resultados y la fracción que llega a cero. Montecarlo te da esa distribución entera; una sola fórmula te da un número engañoso. Esta es exactamente la brecha que llena la simulación — devuelve la forma del riesgo, no solo su centro.

Lento pero fiable — el precio de la fuerza bruta

Montecarlo siempre funciona, pero no es gratis, y el truco está en el ritmo al que mejora. Más muestras siempre ayudan — pero la ayuda llega a regañadientes.

Definición. El error de una estimación de Montecarlo se encoge como $1/\sqrt{M}$, donde $M$ es el número de muestras. En lenguaje llano: para reducir el error a la mitad, debes cuadruplicar las muestras. La precisión solo mejora con la raíz cuadrada del esfuerzo, así que exprimir el último dígito de precisión cuesta brutalmente más cómputo que el primero.

Ejemplo resuelto. Estimando $\pi$, supón que 1.000 dardos te dan un error de en torno a $0.05$. ¿Quieres reducirlo a la mitad, a $0.025$? Necesitas $4\times$ los dardos — 4.000. ¿Reducirlo a la mitad otra vez, a $0.0125$? Otro $4\times$ — 16.000 dardos. La estimación es honesta y sí converge, pero pagas cuadráticamente por ganancias lineales de precisión. (Desarrollaremos exactamente por qué el ritmo es $1/\sqrt{M}$ — y los trucos de reducción de varianza que lo burlan — en una lección posterior; por ahora, interioriza “cuadruplica para la mitad”.)

La aleatoriedad es una característica, no un fallo. Como el método se construye sobre extracciones aleatorias, cada ejecución da una respuesta ligeramente distinta — pulsa “Repetir” en el gráfico de los dardos y el camino hacia $\pi$ serpentea distinto cada vez, aun cuando aterriza en el mismo sitio. Ese tembleque de ejecución a ejecución es ruido de muestreo, y es completamente esperado. Lejos de ser vergonzoso, es cuantificable: puedes poner barras de error sobre una estimación de Montecarlo precisamente porque entiendes cómo se comporta el ruido. Una respuesta que volviera idéntica cada vez significaría que en realidad no estabas muestreando.

Atándolo todo

Montecarlo es la escotilla de escape universal de las matemáticas intratables: cuando no existe fórmula, construye un modelo que produzca escenarios aleatorios, mide la cantidad que te importa en cada uno y promedia. La ley de los grandes números garantiza que ese promedio converge al valor esperado verdadero $E[f(X)] \approx \frac{1}{M}\sum f(x_i)$ — lo viste conjurar $\pi$ de un montón de dardos aleatorios. Las finanzas se apoyan en él constantemente, porque la ruina en la jubilación, las opciones dependientes de la trayectoria y las colas gruesas multiactivo no tienen forma cerrada limpia. El precio es una convergencia lenta de raíz cuadrada y una pizca de ruido de ejecución a ejecución — ambos totalmente esperados, ambos totalmente cuantificables.

A continuación — Muestreo de distribuciones — nos hacemos con los dados mismos. El generador de números aleatorios de un ordenador solo escupe números uniformes entre 0 y 1; aprenderemos a transformar ese chorro plano en rentabilidades distribuidas normalmente, precios lognormales y los choques de colas gruesas que los mercados reales te lanzan de verdad. Una vez que puedas muestrear la distribución correcta, puedes simular cualquier cosa.