Movimiento browniano geométrico

Ya sabéis muestrear de cualquier distribución que os apetezca (lección 2). Pero un único sorteo aleatorio es un único punto: una tirada de moneda aislada. Un precio es una historia que se despliega en el tiempo: el mañana se construye sobre el hoy, y el día siguiente sobre el mañana. Para simular una acción no queréis un sorteo, queréis una trayectoria: cientos de sorteos encadenados de punta a punta, de modo que cada día herede dónde lo dejó el anterior. El modelo que hace ese encadenado, el caballo de batalla bajo casi todos los motores Monte Carlo en finanzas, es el movimiento browniano geométrico (MBG). Esta lección va sobre el motor en sí: cómo un único número aleatorio por paso se convierte en todo un abanico de futuros plausibles.

El paseo aleatorio, y por qué la versión ingenua está rota

Analogía. Imaginad a un borracho saliendo del bar. En cada paso se tambalea una cantidad aleatoria a izquierda o derecha. Dónde acaba tras cien pasos es un paseo aleatorio: la suma de cien pequeñas sacudidas aleatorias. Los precios se sienten igual: el precio de mañana es el de hoy más algún empujón aleatorio.

El primer modelo tentador lo escribe literalmente. El precio de mañana es igual al de hoy más una sacudida aleatoria medida en dólares:

$S_{t+1} = S_t + \sigma\, Z, \quad Z \sim N(0,1)$

Esto es un paseo aleatorio aditivo (aritmético), y para los precios está roto de dos maneras.

Primero, puede volverse negativo. Una sacudida normal no tiene suelo: encadenad suficientes sorteos malos y $S_t$ marcha directo a través del cero hacia territorio negativo. Una acción no puede costar −$4. El modelo permite un estado imposible.

Segundo, una sacudida fija en dólares es un disparate entre niveles de precio. Un meneo de $1 es un bostezo en una acción de$1000 (0,1 %) y un terremoto en una acción de a penique de $1 (100 %). Los mercados reales no se mueven en dólares fijos: se mueven en porcentajes. Un valor de primera fila y una acción de a penique pueden tener ambos días del 2 %; nunca tendrán los mismos días en dólares. El paseo aditivo lleva incorporada la unidad equivocada.

El arreglo del MBG: pasea en rentabilidades logarítmicas, no en dólares

El MBG repara ambos fallos de un solo golpe: no sumes un número aleatorio al precio, multiplica el precio por un factor aleatorio. Equivalentemente, haz el paseo aleatorio sobre la rentabilidad logarítmica en lugar de sobre el precio en sí. Modela el cambio porcentual y dos cosas salen gratis.

Como el cambio es multiplicativo, el precio solo puede escalarse hacia arriba o hacia abajo, nunca empujarse por debajo de cero. Multiplica $100 por cualquier cosa positiva y sigues en positivo. Y como el movimiento es un porcentaje, una sacudida del 2$5 como $5000. Ambos problemas se desvanecen a la vez.

Esto enlaza directamente con los precios lognormales que conocisteis en la valoración de opciones. Si la rentabilidad logarítmica de cada paso es normal, y sumas muchas rentabilidades logarítmicas normales, la rentabilidad logarítmica total también es normal, lo que significa que el precio (la exponencial de ese total) es lognormal. Una variable lognormal no puede ser negativa y está sesgada a la derecha: una cola larga de grandes ganadores por arriba, un suelo en cero por abajo. Esa es exactamente la forma de las rentabilidades reales de las acciones a largo horizonte, y es la forma que el MBG produce por construcción.

Deriva frente a difusión: el paso discreto

Aquí está el motor en sí, la fórmula que simulas paso a paso:

$S_{t+\Delta t} = S_t \exp\!\left(\left(\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2\right)\Delta t + \sigma\sqrt{\Delta t}\,Z\right),\quad Z \sim N(0,1)$

No os asustéis: cada pieza es algo que ya conocéis. Tomémoslas una a una:

• $S_t$ — el precio de hoy, donde arranca el paso.
• $\mu$ — la deriva: la tasa esperada de crecimiento logarítmico por año (digamos 10 % para una acción que esperáis que crezca). Es el tirón determinista, la dirección en la que el precio se inclina de media.
• $\sigma$ — la volatilidad: la desviación típica anual de las rentabilidades, vuestra vieja amiga. Esto escala la sacudida aleatoria.
• $\Delta t$ — el paso temporal, en años. Para una simulación diaria, $\Delta t = 1/252$ (252 días de negociación por año). Paso más pequeño = trayectoria de grano más fino.
• $Z$ — un nuevo sorteo normal estándar, una muestra $N(0,1)$ recién hecha en cada paso. Esto es precisamente el muestreo de la lección 2, ahora encadenado: un sorteo por día, 252 sorteos para un año.
• $\sqrt{\Delta t}$ — la parte aleatoria escala con la raíz cuadrada del tiempo, porque la varianza (no la desviación típica) se suma linealmente. En un paso de un cuarto de duración, el movimiento aleatorio solo se reduce a la mitad, no a un cuarto.

El exponente se divide limpiamente en dos partes. El término de deriva $\left(\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2\right)\Delta t$ es determinista: es el mismo en cada paso, la inclinación constante. El término de difusión $\sigma\sqrt{\Delta t}\,Z$ es aleatorio: es la tirada de dados, el vagar. La deriva es adonde el precio quiere ir; la difusión es el ruido que lo zarandea por el camino. Cada paso del MBG es un pulso entre ambos.

El misterioso término −½σ²

Probablemente os fijasteis en ese $-\tfrac{1}{2}\sigma^2$ junto a la deriva y os preguntasteis de dónde demonios se coló. Se llama la corrección de Itô, pero olvidad el cálculo: la intuición es la parte genuinamente útil, y ya la conocisteis como lastre de varianza.

Analogía. Una acción cae un 50 % un día y sube un 50 % al siguiente. ¿Estáis donde empezasteis? No: estáis en $100 \to 50 \to 75$. Habéis bajado un 25 %, pese a que la rentabilidad diaria media es un alegre $(-50\% + 50\%)/2 = 0\%$. La volatilidad se comió vuestro dinero sin hacer ruido. La rentabilidad media aritmética (el promedio simple) sobrestima lo que realmente componéis; la media geométrica (a la que de verdad crece vuestra riqueza) es siempre menor, y la brecha entre ambas se ensancha con la volatilidad.

Esa brecha es exactamente $\tfrac{1}{2}\sigma^2$. La deriva que sentís en vuestra riqueza compuesta no es el $\mu$ bruto: es $\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2$. El término de corrección recorta vuestra tasa de crecimiento en media varianza para tener en cuenta el lastre que el zarandeo inflige a la composición. Omitidlo y vuestras trayectorias simuladas se desvían sistemáticamente demasiado alto: estaríais afirmando que el precio crece a su media aritmética, algo que la volatilidad hace imposible de lograr en la práctica.

La consecuencia. Dos acciones con la misma rentabilidad esperada $\mu$ pero distinta volatilidad no hacen crecer vuestro dinero al mismo ritmo. La más volátil sufre más lastre y compone más despacio. Por eso, en un momento, veréis la trayectoria mediana del MBG desviarse por debajo de la media: el promedio es arrastrado hacia arriba por unos pocos ganadores exponenciales con suerte, pero la trayectoria típica se queda atrás, gravada por su propia varianza.

Un paso, trabajado de principio a fin

Demos manivela una vez de verdad. Tomad una acción con:

• $S_0 = 100$ (precio inicial)
• $\mu = 10\%$ por año $= 0.10$ (deriva)
• $\sigma = 20\%$ por año $= 0.20$ (volatilidad)
• $\Delta t = 1/252 \approx 0.003968$ (un día de negociación)

Paso 1 — la deriva por paso. La parte determinista del exponente es $\left(\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2\right)\Delta t$. Primero la deriva ajustada por lastre de varianza: $\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2 = 0.10 - \tfrac{1}{2}(0.20)^2 = 0.10 - 0.02 = 0.08$ por año. Por día: $0.08 \times \tfrac{1}{252} \approx 0.000317$. Diminuta: una inclinación diaria de unos +0,0317 %.

Paso 2 — la magnitud de difusión por paso. La parte aleatoria escala por $\sigma\sqrt{\Delta t} = 0.20 \times \sqrt{1/252} = 0.20 \times 0.06300 \approx 0.01260$. Así que un día de una desviación típica es un zarandeo de aproximadamente 1,26 %, cuarenta veces mayor que la deriva. En un único día cualquiera, la aleatoriedad domina por completo la suave deriva. (Por eso un día no os dice nada y un año os dice mucho: la deriva se acumula, el ruido se cancela en parte.)

Paso 3 — sortea una Z y da el paso. Supongamos que el sorteo normal de hoy cae en $Z = +1.0$ (un día al alza de una sigma). El exponente es:

$0.000317 + 0.01260 \times 1.0 = 0.01292$

Exponencia para obtener el factor de crecimiento: $\exp(0.01292) \approx 1.01300$. Multiplica sobre el precio:

$S_{t+\Delta t} = 100 \times 1.01300 = 101.30$

Un día al alza de una sigma empujó $100 hasta unos$101,30. Si $Z$ hubiera salido en $-1.0$, el factor sería $\exp(0.000317 - 0.01260) \approx \exp(-0.01228) \approx 0.98780$, dejando el precio en unos $98,78.

Paso 4 — házlo rodar 252 veces. Ahora encadénalo: realimenta $101.30$ como el nuevo $S_t$, sortea una nueva $Z$, da otro paso. Haz esto 252 veces, cada una con su propio sorteo normal independiente, y habrás simulado un año completo: una trayectoria de precio completa, un futuro posible para la acción. La deriva se acumula calladamente a lo largo del año; el ruido vaga arriba y abajo pero sus subidas y bajadas se cancelan en parte, así que sobre 252 pasos la deriva acaba haciéndose visible bajo el temblor.

Por qué una trayectoria es inútil y mil son oro

Aquí está la trampa. Ejecutáis el MBG una vez, obtenéis una trayectoria que acaba en $134 y concluís "la acción valdrá$134”. Error. Esa única trayectoria es un sorteo de una nube infinita de futuros posibles: una única tirada de un dado de 252 caras, tirado 252 veces. Ejecutadlo de nuevo con sorteos aleatorios nuevos y acabaréis en un sitio completamente distinto. Una trayectoria no os dice casi nada.

El poder viene de simular miles de trayectorias. Cada una es un futuro posible distinto; juntas trazan toda la distribución de resultados. Ahora podéis hacer preguntas de verdad: ¿cuál es el precio final mediano? ¿El percentil 5 (un mal año)? ¿La probabilidad de acabar por debajo de $80? Ninguna es respondible desde una trayectoria; todas salen de diez mil.

Y la forma de ese abanico es la lognormal que os prometieron. Está sesgada a la derecha: un puñado de trayectorias pilla una larga racha ganadora y se dispara muy por encima del grupo (sin techo por arriba), mientras que las peores trayectorias tienen suelo en cero. Esos pocos ganadores exponenciales arrastran el precio final medio por encima de la mediana: la trayectoria típica acaba más abajo que el promedio, porque el promedio está inflado por un pequeño número de pelotazos. La media no es el resultado más probable; en un mundo sesgado a la derecha, la mayoría de las trayectorias acaban por debajo del promedio.

La isla de abajo es ese abanico. Cada hilo es una trayectoria del MBG que parte del mismo precio; la nube que forman es la distribución de resultados. Arrastra la deriva para inclinar toda la nube arriba o abajo, y sube la volatilidad para ver el abanico ensancharse —y el sesgo a la derecha exagerarse— a medida que el lastre de varianza empuja la trayectoria típica más por debajo de los afortunados valores atípicos.

Trampas: el MBG es una base, no la verdad

El MBG es precioso y está equivocado: útilmente equivocado, como un plano sin fricción es útil en física, pero equivocado de maneras que importan cuando hay dinero en juego. Dos supuestos hacen el trabajo pesado:

Volatilidad constante. El MBG usa una única $\sigma$ fija para siempre. Los mercados reales tienen agrupamiento de volatilidad: las rachas tranquilas y las tormentosas llegan en racimos (los grandes movimientos engendran grandes movimientos). Un modelo con una única $\sigma$ constante no puede capturar ese ritmo; espolvorea su volatilidad de forma uniforme, como un parte meteorológico que predice la misma llovizna cada día del año.

Incrementos normales independientes. El MBG supone que la $Z$ de cada día es un sorteo independiente y normal. La realidad tiene colas gruesas (los desplomes ocurren mucho más a menudo de lo que una normal permite: el movimiento de un solo día de 1987 fue un evento de “25 sigmas” que un modelo normal dice que no debería ocurrir en la vida del universo) y saltos (los precios dan saltos por noticias sin negociar a través de los niveles intermedios). Las trayectorias suaves, continuas y de colas finas del MBG simplemente no pueden saltar ni desplomarse como lo hacen los precios reales.

Así que tratad el MBG como la base honesta: el modelo más simple que acierta en la positividad, los movimientos porcentuales y la forma lognormal, y los cimientos sobre los que se construye todo lo más sofisticado. Cuando sus supuestos rozan, los quants recurren a motores más ricos: difusión con saltos (atornilla saltos súbitos al MBG), volatilidad estocástica (deja que la propia $\sigma$ vague aleatoriamente, p. ej. el modelo de Heston) y otros que conoceréis más adelante. El MBG no es el destino; es la plataforma de lanzamiento.

Juntándolo todo

El movimiento browniano geométrico es el motor bajo los precios simulados. Pasea no el precio en dólares sino la rentabilidad logarítmica, así que los movimientos son porcentajes multiplicativos, lo que mantiene los precios positivos y hace que la distribución de precio sea lognormal. Cada paso discreto, $S_{t+\Delta t} = S_t \exp\!\left(\left(\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2\right)\Delta t + \sigma\sqrt{\Delta t}\,Z\right)$, es un pulso entre una deriva determinista y una difusión aleatoria impulsada por una nueva normal estándar $Z$. El término $-\tfrac{1}{2}\sigma^2$ es el lastre de varianza hecho honesto: recorta el crecimiento para que las trayectorias compongan a la tasa geométrica realista. Encadenad 252 de estos y obtenéis una trayectoria: un único futuro posible. Tirad miles y obtenéis el abanico entero sesgado a la derecha, la distribución de resultados donde unos pocos ganadores exponenciales elevan la media por encima de la mediana. Y recordad que el MBG es una base, no un evangelio: la volatilidad constante y los incrementos normales se pierden el agrupamiento, las colas gruesas y los saltos que los modelos más sofisticados añaden.

A continuación —Simulando resultados de carteras— apuntamos este motor a un objetivo real. Alimentad al MBG con vuestras aportaciones para la jubilación y un horizonte de varias décadas, y el abanico de trayectorias se convierte en un cono de resultados: el rango de pucheros con los que podríais jubilaros, desde el desafortunado percentil 5 hasta el afortunado percentil 95. El mismo motor, ahora respondiendo a la pregunta que de verdad quita el sueño a la gente: ¿tendré suficiente?