Simulando resultados de carteras

Aquí va una pregunta que ninguna fórmula sobre la Tierra puede responder de forma limpia: tengo $500.000, aportaré$10.000 al año hasta jubilarme y luego retiraré $40.000 al año durante 30 años; ¿durará el dinero? Los mercados rinden “más o menos un 7 %” con “más o menos un 15 % de volatilidad”, lo que suena a información suficiente para zanjarlo. No lo es. Meted el 7 % en una calculadora y obtenéis una única línea exponencial suave que se desliza hacia arriba hasta un número cómodo. Esa línea es una ficción. Los mercados reales no rinden un 7 % cada año; rinden +24 %, luego −12 %, luego +6 %, en un orden que nadie puede predecir, y el orden resulta importar enormemente cuando estáis metiendo o sacando dinero por el camino.

Monte Carlo se niega a fingir. En lugar de una única trayectoria suave y falsa, simula miles de futuros de 30 años dentados y plausibles, cada uno sorteando una nueva rentabilidad aleatoria cada año, componiendo el saldo, sumando vuestras aportaciones y restando vuestros reintegros. Luego cuenta. ¿En cuántos de estos miles de futuros os quedasteis sin dinero? La respuesta no es un número en un gráfico. Es una probabilidad —“tenéis un 78 % de probabilidades de lograrlo”— y esa es la única forma honesta de responder a una pregunta tan atormentada por la suerte.

La pregunta sin forma cerrada

Analogía. Una meteoróloga no os dice “hará exactamente 21 grados el 5 de junio de 2056”. No puede: el sistema es demasiado caótico para fijar un único número tres décadas por delante. Lo que sí puede decir es “dadas estas condiciones, hay un 30 % de probabilidad de lluvia”. La riqueza a largo horizonte es el mismo tipo de sistema caótico, y merece el mismo tipo de respuesta: no un punto, sino una probabilidad.

Definición. Una simulación de trayectoria de riqueza proyecta el saldo de una cartera hacia delante año a año, donde la rentabilidad de cada año es un sorteo aleatorio de una distribución supuesta en lugar de un número fijo. Partiendo de un saldo $W_0$, cada año aplica un factor de crecimiento aleatorio y un flujo de caja:

$W_{t+1} = W_t \cdot (1 + r_t) + C_t$

donde $r_t$ es la rentabilidad aleatoria sorteada para el año $t$ (digamos de una distribución normal con media $\mu$ y volatilidad $\sigma$, o una de colas más gruesas) y $C_t$ es el flujo de caja: una aportación positiva mientras ahorráis, un reintegro negativo una vez que lo estáis gastando. Ejecutad esta recursión durante 30 años y obtenéis un futuro posible. Ejecutadla miles de veces con sorteos aleatorios nuevos cada vez y obtenéis el abanico completo de lo que podría pasar.

Ejemplo trabajado. Empezad con $500.000, sortead tres años de rentabilidades +20$10.000 al final de cada año. Año 1: $500{,}000 \times 1.20 + 10{,}000 = 610{,}000$. Año 2: $610{,}000 \times 0.90 + 10{,}000 = 559{,}000$. Año 3: $559{,}000 \times 1.08 + 10{,}000 = 613{,}720$. Esa es una trayectoria. La siguiente trayectoria simulada sortea un trío de rentabilidades totalmente distinto y aterriza en un lugar completamente diferente. El quid es que ninguna trayectoria es “la” respuesta: la nube de todas ellas lo es.

El cono de resultados

Analogía. Imaginad un mapa de previsión de huracanes: un único punto hoy, y luego un cono de trayectorias posibles que se abre más cuanto más lejos miráis. Nadie cree que la tormenta seguirá la línea central exacta, pero el cono os dice el rango realista, y el borde os dice el peor caso de tocar tierra para el que más os vale prepararos. Un abanico de riqueza de Monte Carlo es ese cono de huracán, dibujado para vuestro dinero.

Definición. En cada año futuro, tomad los saldos de todas las trayectorias simuladas y calculad sus percentiles: el 10, el 25, el 50, el 75 y el 90. La trayectoria mediana (p50) es el resultado “típico” honesto: la mitad de los futuros acaban por encima, la mitad por debajo. La banda p90 es el resultado afortunado; la banda p10 es el resultado “los mercados fueron crueles”. Dibujadlos todos a lo largo del tiempo y obtenéis un abanico que empieza como un único punto y se ensancha con el horizonte, porque la incertidumbre se compone: una pequeña diferencia de rentabilidad al principio se multiplica en una enorme diferencia de saldo 30 años después.

La isla de abajo es exactamente este objeto. Arrastrad los deslizadores de rentabilidad media y volatilidad y ved respirar el abanico: más volatilidad abre el cono más ancho (más dispersión entre las bandas afortunada y desafortunada), una media más alta eleva todo el abanico. Las lecturas de mediana, p10 y p90 son vuestro trío de planificación: típico, malo y bueno.

El hábito crucial. No planifiquéis solo en torno a la mediana: planificad en torno al p10. La mediana dice “si la suerte es media, aquí está vuestro saldo”. El p10 dice “si los dados salen fríos, así de finas se ponen las cosas”. Un plan de jubilación que solo sobrevive a la mediana es un plan que falla aproximadamente la mitad de las veces. La razón entera por la que simuláis es ver esa banda desafortunada y construir un margen para ella.

Trampa. Leer el abanico como si la trayectoria mediana estuviera garantizada. No es una garantía; es una frontera a cara o cruz. La mitad de todos los futuros acaban por debajo de ella. Tratar el p50 como “el plan” ignora calladamente toda la mitad inferior del cono, que es precisamente la mitad que puede arruinaros.

La media es una mentirosa — usa la mediana

Analogía. Entrad en un bar donde todos ganan $40.000 al año, y luego entra Jeff Bezos. El ingreso *medio* en la sala está ahora en cientos de millones; la persona *típica* de la sala sigue ganando$40.000. La media fue secuestrada por un único valor atípico. La riqueza compuesta tiene la misma enfermedad: un puñado de trayectorias espectacularmente afortunadas arrastran el promedio hacia arriba, mientras que la persona que vive un resultado típico ve algo mucho más bajo.

Definición. Como las rentabilidades multiplican en lugar de sumar, la riqueza terminal está sesgada a la derecha (aproximadamente lognormal): acotada por cero por abajo pero con una cola larga de enormes resultados afortunados por arriba. Ese sesgo hace que la riqueza terminal media (promedio aritmético) se sitúe por encima de la mediana. La media responde “el promedio sobre todos los futuros, incluidos los premios gordos”; la mediana responde “el futuro central, el que un inversor típico vive de verdad”. Para planificar, la mediana es el número honesto: tenéis muchas más probabilidades de ser el inversor típico que el del premio gordo.

Ejemplo trabajado. Tres resultados multiplicativos igualmente probables para una inversión: podría $\times 2$, $\times 1.1$ o $\times 0.5$. Empezad con $100{,}000$. Los tres saldos terminales son $200{,}000$, $110{,}000$ y $50{,}000$.

El saldo terminal medio es $(200{,}000 + 110{,}000 + 50{,}000)/3 = 120{,}000$. La mediana es el valor central, $110{,}000$. La media ($120k$) se sitúa por encima de la mediana ($110k$), arrastrada por la única trayectoria afortunada. Ahora estirad esto a lo largo de 30 años de composición en lugar de un paso y la brecha explota: la media puede sobrestimar la experiencia típica por un amplio margen, porque unas pocas trayectorias que componen una racha de años estupendos se disparan hasta saldos absurdos y tiran del promedio con ellas.

Riesgo de secuencia de rentabilidades — la idea asesina

Analogía. Dos senderistas descienden la misma montaña con la misma pérdida total de altitud, pero uno pega con el tramo más empinado y helado mientras su mochila pesa más y sus piernas tienen la energía más fresca para gastar, y el otro pega con él justo al final. Misma altitud, mismo sendero, lesiones radicalmente distintas. Cuando estáis retirando de una cartera, el orden de las rentabilidades es ese tramo helado: el mismo conjunto de rentabilidades anuales puede dejaros ricos o arruinados dependiendo puramente de cuándo caen los años malos.

Definición. El riesgo de secuencia de rentabilidades es el peligro de que un orden pobre de rentabilidades —en concreto un desplome pronto, mientras el saldo es grande y los reintegros lo están drenando— dañe permanentemente una cartera, aunque la rentabilidad media a largo plazo sea idéntica a un escenario benigno. Existe solo por culpa de los flujos de caja. Sin aportaciones ni reintegros, el orden no importa en absoluto: la multiplicación es conmutativa, así que $1.2 \times 0.8 = 0.8 \times 1.2$. En el momento en que sacáis dinero, el orden lo es todo, porque un desplome pronto significa que vendéis más participaciones en el fondo para financiar el mismo reintegro, y esas participaciones se han ido: no pueden recuperarse cuando el mercado lo hace.

Ejemplo trabajado. Un jubilado empieza con $1.000.000 y retira$50.000 al final de cada año. Dos escenarios usan las mismas tres rentabilidades exactas —−30 %, +10 %, +20 %— en órdenes opuestos. La rentabilidad media aritmética es idéntica en ambos. Observad cómo divergen los finales.

Las mismas tres rentabilidades, la misma media, y sin embargo el Escenario A (desplome primero) acaba en $748.000 y el Escenario B (desplome último) acaba en$800.500, una brecha de más de $52.000 tras solo tres años. Estiradlo a lo largo de una jubilación de 30 años y un desplome temprano puede ser la diferencia entre una cartera que dura y una que se agota una década antes. Una calculadora de rentabilidad media no puede ver nada de esto: informa del mismo número para ambos escenarios, porque para ella son el mismo. Solo la simulación, que respeta la secuencia real, expone el peligro.

Probabilidad de éxito, no un único número

Analogía. Una cirujana no promete “sobreviviréis”. Dice “este procedimiento tiene una tasa de éxito del 92 %”. Ese encuadre es más honesto, no menos: admite el papel irreducible de la suerte y os deja sopesar el riesgo con los ojos abiertos. Un plan de Monte Carlo entrega exactamente esto: no “tendréis $1,4M”, sino “vuestro plan tiene éxito en el 82 % de los futuros simulados”.

Definición. La probabilidad de éxito es la fracción de trayectorias simuladas en las que la cartera cumple su objetivo: mantenerse solvente durante todo el horizonte, o alcanzar un saldo objetivo, sin tocar cero. Su complemento es la probabilidad de ruina: la fracción de trayectorias que se quedan sin dinero antes de que termine el horizonte. Si 8.200 de 10.000 jubilaciones simuladas sobreviven los 30 años completos, vuestro plan tiene una tasa de éxito del 82 % y una tasa de ruina del 18 %.

Ejemplo trabajado. Ejecutad 10.000 jubilaciones de 30 años simuladas. Supongamos que 7.500 de ellas todavía tienen dinero en el año 30 y 2.500 tocan cero pronto. Tasa de éxito $= 7{,}500 / 10{,}000 = 75\%$. Esa única cifra lleva más valor de planificación que cualquier estimación puntual: os dice que una cuarta parte de los futuros plausibles fallan, lo que podría empujaros a gastar un poco menos, trabajar un año más o tener más bonos, palancas que podéis accionar ahora, mientras es barato. Un plan presentado como “$1,4M esperados” oculta todo esto tras un promedio reconfortante; “75 % de éxito” fuerza la verdad incómoda y útil a la luz.

Trampa. Perseguir el 100 %. Ningún plan realista es a prueba de balas: empujar la tasa de éxito hacia el 100 % suele significar retirar tan poco o tener tanto efectivo que matáis de hambre vuestro propio nivel de vida para asegurar contra un futuro que probablemente no ocurrirá. El arte está en elegir una tasa de éxito aceptable (a menudo 80–90 %) y los compromisos que la compran, no en exigir una certeza que los mercados nunca pueden dar.

Basura entra, basura sale — a escala de jubilación

Un plan de riqueza de Monte Carlo es solo tan honesto como los supuestos que lo alimentan, y el modo de fallo es el de siempre: la salida parece preciosamente precisa —“82,4 % de éxito”— por podridos que estén los datos. El peligro es que mil trayectorias dentadas se sienten más fiables que una única línea, así que un mal supuesto blanqueado a través de la simulación parece aún más autoritario de lo que parecería en una calculadora.

Los pecados habituales:

• Una rentabilidad media demasiado alta. Meter un 10 % porque es lo que entregó el último mercado alcista. Un único punto optimista de rentabilidad media, compuesto a lo largo de 30 años, puede dar la vuelta a un plan de fallar a aprobar, solo sobre el papel.
• Una volatilidad demasiado baja. Subestimar $\sigma$ encoge el cono y oculta la banda desafortunada donde vive de verdad la ruina. El plan parece seguro porque borrasteis los resultados aterradores de la simulación.
• Colas finas. Suponer rentabilidades normales limpias cuando los mercados reales tienen colas gruesas: desplomes mayores y más frecuentes de lo que predice una curva normal. Esto subestima sistemáticamente la probabilidad de las secuencias de desplome temprano que hacen más daño.
• Ignorar la inflación. Un saldo que “dura 30 años” en dólares nominales puede comprar la mitad al final. Los reintegros y las metas deben modelarse en términos reales o crecerse con la inflación.
• Suponer rentabilidades i.i.d. Las rentabilidades reales tienen regímenes, agrupamiento de volatilidad y reversión a la media. Tratar cada año como un sorteo independiente e idéntico es una mentira cómoda que se pierde cómo se amontonan los años malos.

Cada uno de estos hace que la tasa de éxito parezca mejor que la realidad. Arreglad los datos —media realista, volatilidad honesta, colas gruesas, flujos de caja reales (ajustados por inflación)— antes de fiaros de un solo decimal de la salida.

Juntándolo todo

La pregunta “¿durará mi dinero?” no tiene respuesta en forma cerrada porque las rentabilidades reales son aleatorias y su orden interactúa con vuestras aportaciones y reintegros. Monte Carlo la responde simulando miles de futuros dentados de 30 años y resumiendo la sección transversal: el cono de resultados (abanico de percentiles que se abre con el horizonte; planificad en torno al p10, no solo a la mediana), la brecha entre la riqueza terminal media y mediana (el sesgo a la derecha significa que el promedio halaga; la mediana es la verdad típica), el riesgo de secuencia de rentabilidades (para quien retira, un desplome temprano es permanentemente letal de un modo que ninguna herramienta de rentabilidad media puede ver), y la probabilidad de éxito (una salida mucho más honesta que cualquier número único). Y a través de todo ello, la ley de hierro: los supuestos basura —media demasiado alta, volatilidad demasiado baja, colas finas, inflación ignorada— producen una tasa de éxito confiadamente precisa que está simplemente equivocada.

A continuación —Valorando opciones dependientes de la trayectoria— ponemos las mismas trayectorias simuladas a un trabajo nuevo: valorar opciones cuyo pago depende de todo el recorrido, no solo del punto final. Opciones asiáticas que promedian la ruta entera, opciones barrera que se activan si el precio toca alguna vez un nivel: instrumentos sin fórmula limpia, valorados simulando miles de trayectorias y promediando sus pagos descontados.