Valoración de opciones dependientes de la trayectoria

Black–Scholes es un truco de magia que solo funciona con un tipo de opción. Valora una call europea sencilla en forma cerrada —metes cinco números y sale un precio— y puede hacerlo porque el pago depende de exactamente una cosa: dónde acaba la acción al vencimiento. Todo el viaje intermedio es irrelevante; solo cuenta el destino. Así que Black–Scholes nunca necesita conocer la trayectoria. Solo le hace falta la distribución final.

Pero una enorme porción del mercado real de derivados paga por el viaje, no por el destino. Una opción cuyo pago es el precio medio a lo largo de seis meses. Una opción que paga como una vainilla salvo que la acción haya tocado en algún momento un nivel de knock-out, en cuyo caso se esfuma. Para estas, el destino no te dice casi nada: necesitas la trayectoria entera. Y en cuanto tu pago necesita la trayectoria, la fórmula limpia se evapora y te quedas con Montecarlo, que casualmente está construido sobre trayectorias. Esta lección es su terreno de juego.

Valoración neutral al riesgo: poner precio en un mundo de mentira

Analogía. Imagina a dos personas apostando a una moneda. Para acordar un precio justo de la apuesta, no necesitan discutir hacia qué lado se inclina “de verdad” la moneda: acuerdan valorarla como si la moneda fuera justa y luego liquidan. La valoración neutral al riesgo es esa misma ficción diplomática para los mercados: para valorar un derivado, todos acuerdan calcular como si la acción derivara al aburrido tipo libre de riesgo, aunque nadie crea que ese sea su verdadero rendimiento esperado.

Definición. La valoración neutral al riesgo dice que el precio justo de un derivado hoy es igual al pago esperado calculado en un mundo de mentira donde todo activo deriva al tipo libre de riesgo $r$, descontado a ese mismo tipo $r$. Formalmente:

donde la esperanza $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}$ se toma bajo la medida neutral al riesgo $\mathbb{Q}$ —el mundo donde la deriva es $r$, no el rendimiento esperado real de la acción $\mu$.

Aquí está la sutileza que hace tropezar a todo el mundo, así que vamos de frente. Cuando simulaste trayectorias GBM en la lección 3, la deriva que usaste era el rendimiento esperado real del activo $\mu$. Para valorar, tiras $\mu$ a la basura y la sustituyes por $r$. ¿Por qué demonios simularías un mundo en el que no crees?

Por la ausencia de arbitraje. Un derivado puede cubrirse negociando continuamente el subyacente y un bono libre de riesgo. Una vez que un pago puede replicarse con una cobertura autofinanciada, su precio queda fijado por completo por el coste de esa cobertura, y ese coste no tiene nada que ver con lo alcista que te sientas sobre la acción. El argumento de cobertura hace que la deriva real $\mu$ se cancele por completo. Lo que queda es un mundo donde todo lo negociable crece a $r$ de media y descuentas a $r$. Usa la $\mu$ real en su lugar y estarías cotizando un precio que nadie podría cubrir: dinero gratis para quien tome el otro lado.

La receta de valoración de opciones con Montecarlo

Quita la jerga y valorar cualquier opción por simulación es un recetario de cuatro líneas. Memoriza la forma: cada exótica de esta lección son los mismos cuatro pasos con una función de pago distinta en el paso 2.

1. Simula $M$ trayectorias neutrales al riesgo. Lanza $M$ trayectorias de precio GBM desde el spot de hoy hasta el vencimiento $T$, usando deriva $= r$ (el tipo libre de riesgo) y la volatilidad del activo $\sigma$. Cada trayectoria es un futuro sintético completo: el viaje entero, no solo el punto final.
2. Evalúa el pago en cada trayectoria. Aplica la regla de pago de la opción a cada trayectoria. Para una call vainilla eso es solo $\max(S_T - K, 0)$; para una exótica podría leer la media de la trayectoria, o comprobar si alguna vez cruzó una barrera.
3. Promedia los pagos. Toma la media aritmética simple de esos $M$ pagos. Esa media es tu estimación Montecarlo del pago esperado bajo $\mathbb{Q}$.
4. Descuenta hasta hoy. Multiplica por $e^{-rT}$. Ese es el precio:

Maravillosamente, esto funciona también para una opción europea sencilla, y cuando lo hace, el precio simulado converge a la fórmula de Black–Scholes cuando $M\to\infty$. Eso convierte a la vainilla en una prueba de cordura perfecta: valórala de las dos maneras, confirma que coinciden y habrás validado tu simulador antes de fiarte de él en la exótica que no tiene fórmula contra la que comprobar. (También es la base de una variable de control, un truco de reducción de varianza que veremos en la próxima lección: apóyate en el precio exacto conocido de la vainilla para afinar la estimación de la exótica.)

Mira los viajes: un abanico de trayectorias neutrales al riesgo

Los pagos dependientes de la trayectoria necesitan todo el hilo, no solo dónde acaba. El abanico de abajo es exactamente el objeto que produce el paso 1: un lote de futuros GBM, ahora derivando al tipo libre de riesgo. Imagina cada hilo de dos maneras: una opción asiática lee la altura media de todo el hilo, y una opción barrera se pregunta si algún hilo cruzó alguna vez una línea horizontal de knock-out. En ambos casos, el punto final por sí solo no dice nada: tienes que conservar el viaje entero.

Opciones asiáticas: pagar sobre la media

Analogía. Una opción vainilla se juzga por una sola foto: el precio de cierre de un día concreto. Una opción asiática se juzga por la nota media de todo el semestre. Una impresión afortunada (o amañada) del examen final no puede hacerla ni deshacerla, porque la puntuación está repartida entre cada observación intermedia.

Definición. Una opción asiática tiene un pago basado en el precio medio del subyacente a lo largo de la vida de la opción, en lugar de solo el precio final. Para una call asiática con strike $K$, muestreando el precio en las fechas $S_1, S_2, \dots, S_n$:

Ejemplo resuelto. Supón que una call asiática se monitoriza en cinco fechas y una trayectoria simulada imprime:

La media es

Con strike $K = 102$, el pago en esta trayectoria es $\max(104 - 102, 0) = 2$. Fíjate en que el precio final era $104$, pero una call vainilla también habría usado un único punto: la media suaviza el pico en $112$ y la caída en $96$ hasta un único y más tranquilo $104$. Repite a lo largo de $M$ trayectorias, promedia esos pagos, multiplica por $e^{-rT}$ y tienes el precio asiático.

Por qué es más barata. Promediar estrangula la volatilidad. La media de varias extracciones es menos variable que cualquier extracción individual (el clásico “la media de los dados es más mansa que un solo dado”), así que la volatilidad efectiva que alimenta a la opción es menor, y menor volatilidad significa una opción más barata. También hay una razón de negocio: promediar hace el pago difícil de manipular. A veces un operador puede empujar una única impresión de cierre para meter una vainilla en dinero; empujar una media de seis meses es mucho más difícil. Por eso las asiáticas son populares en los mercados de materias primas y divisas, donde una empresa cubre un flujo de compras, no un único día dramático de liquidación.

Opciones barrera: el pago con trampilla

Analogía. Una call up-and-out es una velocista que gana la carrera solo si nunca pisa una mina. Cruza la barrera de precio $H$ aunque sea una vez —durante un solo instante, a mitad de trayectoria— y la opción muere en el acto, por gloriosamente que termine. El tiempo final en el cronómetro no significa nada si tropezó el cable de camino.

Definición. Una opción barrera tiene un pago que depende de si la trayectoria del precio tocó alguna vez un nivel de barrera $H$ durante la vida de la opción. Los dos sabores:

• Knock-out — la opción se comporta como una vainilla salvo que se toque la barrera, en cuyo caso paga 0 (se “desactiva”).
• Knock-in — la opción no paga nada salvo que se toque la barrera, momento en el que cobra vida como una vainilla.

Para una call up-and-out con strike $K$ y barrera $H$ (con $H > K$):

Ejemplo resuelto — dos trayectorias, mismo final, destinos distintos. Toma strike $K = 100$, barrera $H = 120$ y dos trayectorias simuladas:

Ambas trayectorias acaban en $112$. Una call vainilla pagaría $12$ en cada una. Pero la trayectoria A asomó por encima de $120$ de camino hacia arriba, así que la call up-and-out se desactiva y no paga nada, mientras que la trayectoria B, que nunca traspasó la barrera, paga los $12$ completos. El punto final es idéntico; los viajes son lo que las separa. Este es el argumento más limpio en favor de la simulación de trayectorias completas: físicamente no puedes distinguir A de B sin mirar cada paso.

Por qué las barreras son más baratas que las vainillas. Una knock-out solo puede pagar menos que la vainilla (a veces muere pronto, nunca al revés), así que es estrictamente más barata, que es precisamente por lo que los clientes las compran: la misma exposición al alza con descuento, a cambio de aceptar el riesgo de knock-out.

Un primo rápido que vale la pena conocer: una opción lookback paga sobre el máximo o mínimo recorrido de la trayectoria —p. ej. una call lookback paga $\max(S_T - \min_t S_t,\,0)$, dejándote “comprar al precio más bajo que la acción haya impreso jamás”. Misma lección, distinto funcional de la trayectoria: el punto final por sí solo no puede decirte el mínimo recorrido, así que una vez más simulas el viaje entero.

Por qué este es el argumento para simular trayectorias

Todo en esta lección apunta a una verdad: para un pago dependiente de la trayectoria, el viaje lleva información que el punto final físicamente no lleva. Guarda solo $S_T$ y habrás tirado la media, el máximo recorrido y cada cruce de barrera: las mismísimas cantidades con las que se construye el pago. No hay forma de reconstruirlas después; dos trayectorias con el mismo final pueden tener medias salvajemente distintas y destinos de knock-out opuestos (acabas de verlo). Montecarlo gana aquí no por ser ingenioso, sino porque es el único método que conserva toda la trayectoria para poder hacerle estas preguntas.

Y estas trayectorias no son nada nuevo: son los exactos abanicos GBM de la lección 3, con una sustitución: la deriva ahora es $r$ en lugar de la $\mu$ real, porque estamos valorando, no pronosticando. Mismo motor de simulación, cableado neutral al riesgo.

Trampas: dónde se tuercen los precios simulados de exóticas

La simulación es potente, pero tiene sus propias trampas, y la más fea es específica de las barreras.

Sesgo de discretización en barreras. Montecarlo comprueba la barrera solo en los pasos de tiempo discretos que simula. Pero la trayectoria verdadera es continua: puede dispararse por encima de $H$ y volver entre dos de tus pasos, un cruce que tu rejilla gruesa nunca ve. El simulador entonces registra “barrera no traspasada” cuando la realidad dice que sí, infracontando knock-outs y sobrevalorando la opción knock-out. Los arreglos: simular sobre una rejilla temporal más fina (más pasos = menos cruces perdidos, a mayor coste de cómputo), o aplicar una corrección de puente browniano —una fórmula para la probabilidad de que la trayectoria continua cruzara $H$ entre dos puntos simulados, que parchea el sesgo sin reventar el número de pasos a lo bruto. Las asiáticas y lookbacks tienen versiones más suaves del mismo desajuste discreto-vs-continuo.

Basura de σ entra, precio basura sale. La maldición universal de Montecarlo de las lecciones de VaR aplica aquí con toda su fuerza. Tu precio de opción es tan honesto como la volatilidad que alimentaste al simulador. Una $\sigma$ equivocada no da un precio vago: da un precio equivocado con confiada precisión, y las barreras y asiáticas son más sensibles a la volatilidad que las vainillas (la volatilidad gobierna cuántas veces las trayectorias besan la barrera y cuán salvajemente oscila la media). Somete a estrés la entrada, no solo la salida.

Sin ejercicio anticipado fácil. El Montecarlo simple valora pagos de estilo europeo —ejercicio solo al vencimiento— de maravilla. Tiene dificultades con las opciones americanas (ejercitables en cualquier momento antes del vencimiento) porque en cada paso necesitarías comparar “ejercer ahora” contra “el valor esperado de mantener”, y ese valor futuro esperado es a su vez desconocido a mitad de simulación. La cura estándar es el Montecarlo por mínimos cuadrados de Longstaff–Schwartz, que regresa el valor de continuación a partir de las trayectorias simuladas: potente, pero maquinaria extra más allá de esta lección.

Juntándolo todo

Para valorar una opción por simulación, calculas en un mundo neutral al riesgo de mentira: simula $M$ trayectorias GBM con deriva $= r$ (no la $\mu$ real —la ausencia de arbitraje hace que la deriva real se cancele), evalúa el pago en cada trayectoria, promédialas y descuenta a $e^{-rT}$. Para una vainilla esto simplemente redescubre Black–Scholes —una prueba de cordura limpia. Pero el método se gana el sueldo con pagos dependientes de la trayectoria que ninguna fórmula puede tocar: opciones asiáticas que leen la media de la trayectoria (más baratas, más difíciles de amañar), y opciones barrera que viven o mueren según si la trayectoria tocó alguna vez un nivel. Dos trayectorias pueden compartir un punto final y tener destinos opuestos, que es la razón entera por la que debes simular el viaje, no solo el destino. Cuidado con las trampas —sesgo de discretización en barreras, basura-de-$\sigma$-entra, y sin ejercicio americano fácil— y podrás valorar casi cualquier exótica del menú.

A continuación —Convergencia y reducción de varianza— nos ponemos cuantitativos sobre el precio de la precisión: cuántas trayectorias necesitas de verdad antes de que un precio simulado sea fiable, por qué el error solo encoge como $1/\sqrt{M}$, y los trucos ingeniosos (variables antitéticas, variables de control y la idea de la vainilla-como-variable-de-control que insinuamos aquí) que compran la misma precisión con una fracción de las trayectorias.