Convergencia y reducción de varianza

Lanza tu simulación. Obtienes un número. Lánzala otra vez —obtienes un número distinto. Bienvenido a la ansiedad central de Montecarlo: toda respuesta es una variable aleatoria disfrazada de hecho. Toda esta lección son dos preguntas. Primera, cuán equivocada está mi estimación —y cómo le pongo una barra de error honesta en lugar de fingir que los últimos tres dígitos significan algo. Segunda, cómo la equivoco menos con el mismo cómputo —siendo ingenioso con la aleatoriedad en lugar de limitarme a arrojarle más trayectorias. Y luego la coda humillante: el único tipo de error que ningún número de trayectorias arreglará jamás.

Una respuesta Montecarlo es una variable aleatoria

Analogía. Una única ejecución de simulación es una encuesta, no las elecciones. Pregunta a 1.000 votantes al azar y obtienes un porcentaje; pregunta a otros 1.000 y obtienes uno ligeramente distinto. Ninguno es “la verdad”: la verdad es lo que obtendrías de infinitos votantes, y cada encuesta es una instantánea ruidosa de ella. Tu simulación es exactamente esto: cada ejecución es una encuesta fresca del universo del modelo, y el número que escupe tiembla alrededor del valor que de verdad quieres.

Definición. Cuando estimas una media por Montecarlo, calculas la media de $M$ cantidades por trayectoria (pagos por trayectoria, P&L, lo que sea). Esa media $\hat\mu$ es ella misma aleatoria, y su dispersión es el error estándar:

$\mathrm{SE} = \frac{s}{\sqrt{M}}$

donde $s$ es la desviación típica muestral de la cantidad por trayectoria (cuán dispersos están los valores individuales) y $M$ es el número de trayectorias. Dos cosas determinan tu error: cuán salvajes son los valores por trayectoria ($s$), y cuántos de ellos promedias ($M$). No siempre puedes encoger $s$ —esa es la volatilidad del modelo—, pero siempre puedes subir $M$. La pega está en lo lento que ayuda eso.

Sensación con números. Digamos que tus pagos de opción por trayectoria tienen una desviación típica muestral $s = 100$ y lanzas $M = 10{,}000$ trayectorias. Entonces $\mathrm{SE} = 100/\sqrt{10{,}000} = 100/100 = 1.0$. Así que tu precio estimado arrastra un ruido de alrededor de 1,0 en torno al precio verdadero del modelo. Reporta “el precio es 4,73” sin ese contexto de $\pm 1.0$ y estás faroleando.

Trampa. La gente lee los dígitos finales de una salida Montecarlo como precisión. No lo son: pasado el error estándar, cada dígito es pura semilla aleatoria. Un número simulado a secas es un timo que te haces a ti mismo.

La regla brutal: el error encoge como uno entre raíz de M

Analogía. Imagina que la precisión cuesta dinero y la compras a granel —salvo que el precio por unidad de precisión no para de subir. El primer decimal es barato. El segundo cuesta cien veces más. ¿El tercero? No preguntes. La precisión de Montecarlo es el peor tipo de descuento por volumen: corre hacia atrás.

Definición. Como $\mathrm{SE} = s/\sqrt{M}$, el error encoge como $1/\sqrt{M}$. La raíz cuadrada es la villana. Para recortar el error por un factor $k$, debes multiplicar las trayectorias por $k^2$. Así que:

• Para reducir a la mitad el error, debes cuadruplicar las trayectorias ($k=2 \Rightarrow 4\times$).
• Para ganar un decimal más de precisión (10× más ajustado), necesitas 100× las trayectorias.

Ejemplo resuelto — muestra la aritmética. Empieza en $M = 10{,}000$ trayectorias con un error estándar de 1,0M.

Pasar de una barra de error de 1,0M a una de 0,1M —un decimal— te cuesta 100× el cómputo, de diez mil trayectorias a un millón redondo. El primer 90 % de precisión es casi gratis; el último 10 % es donde nace la factura de la nube.

Trampa. Los ingenieros acostumbrados a “el doble de núcleos, el doble de rendimiento” piensan que doblar las trayectorias dobla más o menos la precisión. No lo hace: doblar $M$ recorta el error solo en $1/\sqrt{2}\approx 0.71$, un mísero 29 %. Pensar de forma lineal sobre una ley de raíz cuadrada es como quemas el presupuesto de cómputo de un trimestre persiguiendo un dígito que no importaba.

Reporta siempre la barra de error: intervalos de confianza

Analogía. Una app del tiempo que dice “23 grados” oculta algo que una buena muestra: “23, más o menos 4”. El más-o-menos es la parte honesta. Un número de Montecarlo sin su intervalo es la app del tiempo deshonesta: segura hasta el decimal, callada sobre el margen.

Definición. Como $\hat\mu$ es (para $M$ grande, por el Teorema Central del Límite) aproximadamente normal en torno al valor verdadero, un intervalo de confianza al 95 % es

$\hat\mu \pm 1.96\,\mathrm{SE}$

El $1.96$ es el multiplicador de la distribución normal que abraza el 95 % central de una campana. Interpretado con cuidado: si reejecutaras toda la simulación muchas veces, alrededor del 95 % de los intervalos que construyeras así cruzarían el valor verdadero del modelo. No es un 95 % de probabilidad de que la verdad esté en este intervalo concreto —es una afirmación sobre el procedimiento— pero para reportar en la práctica, $\pm 1.96\,\mathrm{SE}$ es tu barra de error honesta.

Ejemplo resuelto. Supón que tu simulación devuelve una estimación $\hat\mu = 25.0$ (en millones de dólares) con un error estándar $\mathrm{SE} = 1.0$ (millones). El intervalo de confianza al 95 % es $\hat\mu \pm 1.96\,\mathrm{SE}$:

$25.0 \pm 1.96 \times 1.0 = 25.0 \pm 1.96$

así que el IC va desde unos 23,04M hasta 26,96M. Esa es la forma correcta de enunciar el resultado: “25,0M, IC 95 % [23,0M, 27,0M]”, no un “25,0M” desnudo que finge una precisión que el margen de $\pm 1.96$ niega rotundamente.

Reducción de varianza: la misma precisión, menos trayectorias

La palanca de fuerza bruta es $M$ —y acabamos de ver lo punitiva que es esa palanca. La palanca ingeniosa es $s^2$, la varianza de la cantidad por trayectoria. Si puedes reducir a la mitad la varianza sin tocar $M$, obtienes la misma precisión que doblando las trayectorias —gratis. Ese es el juego entero de la reducción de varianza: ataca el numerador $s$, no el denominador $\sqrt{M}$.

Definición. La reducción de varianza es cualquier técnica que reingeniería el estimador para que sus valores por trayectoria estén menos dispersos ($s$ menor), produciendo un $\mathrm{SE}$ menor para el mismo número de trayectorias. Dominan dos caballos de batalla.

Variables antitéticas

Analogía. Contrata a dos exploradores para estimar la altura de una montaña, pero manda a uno por la cara soleada y a otro por la cara umbría: sus sesgos personales (uno siempre se pasa con buen tiempo, otro se queda corto con mal tiempo) se cancelan en parte cuando promedias sus informes. Las variables antitéticas emparejan cada extracción aleatoria con su imagen espejo para que sus errores se inclinen en direcciones opuestas.

Cómo funciona. Para cada extracción uniforme $u$, usa también su espejo $1-u$ (o, para shocks normales, voltea $Z \to -Z$). Ahora simulas la trayectoria y su reflejo, luego promedias el par. Como las dos están negativamente correlacionadas, la varianza de su media es menor que la que darían dos extracciones independientes. El efecto es más fuerte cuando el pago es monótono en la extracción —un gran shock al alza que se pasa se empareja con un gran shock a la baja que se queda corto, y la media aterriza más cerca de la verdad. En casos bien portados esto más o menos reduce a la mitad la varianza gratis, como comprar precisión de $2M$ trayectorias al precio de $M$ trayectorias.

Variables de control

Analogía. Estás adivinando el peso de un desconocido, y a su lado hay un amigo cuyo peso conoces exactamente. Compara al desconocido con tu amigo, fíjate en cuánto se equivocó tu estimación a ojo del amigo y corrige la estimación del desconocido por ese mismo error conocido. Si los dos tienen complexiones similares, la corrección es oro.

Cómo funciona. Supón que quieres el precio de una opción exótica dependiente de la trayectoria que solo puedes simular, y una opción vainilla relacionada que puedes valorar exactamente con Black–Scholes. Simula ambas en los mismos escenarios. Puedes ver cuánto se desvió la vainilla simulada de su precio verdadero conocido: ese es el error aleatorio que este conjunto concreto de extracciones inyectó. Resta una versión escalada de ese error conocido de tu estimación de la exótica. Cuando la control (vainilla) está altamente correlacionada con el objetivo (exótica), esto cancela una porción enorme del ruido compartido y puede recortar la varianza drásticamente, mucho más que la modesta reducción a la mitad de las antitéticas.

Y unas cuantas que pueden batir el muro de raíz de M

Tres más, mencionadas de pasada: el muestreo estratificado fuerza a las extracciones a cubrir la distribución de forma uniforme en lugar de apelotonarse por suerte; el muestreo por importancia sobremuestrea la cola rara-pero-importante (donde vive el pago) y reponderar para mantenerse insesgado; y el cuasi-Montecarlo cambia las extracciones pseudoaleatorias por secuencias de baja discrepancia (Sobol, Halton) que llenan el espacio más uniformemente y pueden converger más rápido que $1/\sqrt{M}$, a veces más cerca de $1/M$. Son más delicadas de desplegar, pero en las manos adecuadas rompen la regla brutal por completo.

El error que ningún número de trayectorias arregla

Aquí está la precaución clave de todo el tema, y la que separa a un quant de un pulsador de botones.

La convergencia es hacia la respuesta de tu modelo, no de la realidad. Cada resultado hasta ahora —el error estándar, el intervalo de confianza, los trucos de varianza— describe cuán rápido tu estimación se acerca a lo que el modelo diría con infinitas trayectorias. No dice nada sobre si el modelo es correcto.

Definición. El error de Montecarlo tiene dos componentes. La varianza es el bamboleo aleatorio entre ejecuciones —eso es lo que atacan $M$ y la reducción de varianza. El sesgo es la brecha entre el valor verdadero de tu modelo y el valor verdadero de la realidad, y más trayectorias nunca lo tocan. Cuando $M \to \infty$, tu estimación converge al número del modelo con un IC menguante ceñido a su alrededor. Si el número de ese modelo está mal, simplemente has renderizado una respuesta equivocada en gloriosa alta resolución.

Sensación con números. Valoras el riesgo de cola asumiendo que los rendimientos son normales (colas finas), pero los rendimientos reales tienen colas gruesas. Lanza un millón de trayectorias y tu IC se reduce a un pelo en torno a, digamos, un VaR de 10M. Parece autoritario —intervalo ajustado, montones de trayectorias, histograma precioso. Pero las colas gruesas de la realidad significan que el riesgo verdadero es 18M. Ningún número de trayectorias cierra esa brecha de 8M, porque la brecha es sesgo horneado en el supuesto de normalidad, no varianza que puedas promediar para hacerla desaparecer. Has fabricado precisión sobre una falsedad.

Los sospechosos habituales de los que el sesgo sobrevive a cualquier número de trayectorias:

• σ equivocada — una volatilidad demasiado baja, y cada cola que simulas es demasiado mansa.
• Colas finas donde la realidad es gruesa — normal donde los datos gritan Student-t.
• Correlaciones rancias — una matriz de covarianzas de tiempos de calma que colapsa a “todo cae junto” en una crisis.
• I.i.d. donde hay agrupamiento — asumir días independientes cuando la volatilidad de verdad llega en tormentas (calma, calma, caos caos caos).

Juntándolo todo

Una respuesta Montecarlo es una variable aleatoria, así que viene con dos números: la estimación y su error estándar $\mathrm{SE} = s/\sqrt{M}$. Esa raíz cuadrada es brutal: reducir a la mitad el error cuadruplica las trayectorias, un decimal más cuesta 100×. Envuelve siempre el resultado en un intervalo de confianza, $\hat\mu \pm 1.96\,\mathrm{SE}$, porque un número a secas farolea una precisión que no se ha ganado. Cuando la fuerza bruta se pone demasiado cara, ataca la varianza en lugar del número de trayectorias: las variables antitéticas espejan tus extracciones para cancelar el ruido, las variables de control toman prestada una respuesta conocida para corregir tu estimación, y el muestreo estratificado/por importancia/cuasi-Montecarlo van más lejos, a veces batiendo el muro de $1/\sqrt{M}$ por completo. Y luego la frase que nunca olvidas: más trayectorias reducen la varianza, nunca el sesgo. Ajusta el intervalo todo lo que quieras: si el modelo está mal, solo has afinado la resolución sobre una mentira.

Con eso se cierra el kit de Montecarlo. Ahora puedes generar el futuro a partir de un modelo, simular carteras y valorar opciones sobre él, y —la parte que la mayoría de practicantes se salta— decir honestamente cuán precisa es la respuesta, comprar esa precisión barata y reconocer las mentiras de aspecto preciso que ningún cómputo puede salvar. Lo único que queda es demostrarlo: te espera el examen final calificado, de una pregunta bloqueada cada vez. Trae tus barras de error.