Muestreo de distribuciones

Todo motor de Montecarlo que construyas jamás funciona con un único y humilde combustible: un chorro de números aleatorios entre 0 y 1. Eso es todo. Rentabilidades normales, desplomes de colas gruesas, cestas correlacionadas de activos, décadas enteras de historial de precios simuladas — todo se fabrica a partir del mismo goteo plano y sin rasgos de extracciones uniformes. El arte del muestreo es el arte de doblar ese chorro plano hasta darle la forma que tu modelo exija.

Así que antes de poder simular un solo precio de una acción, tenemos que responder a una pregunta engañosamente básica: dado un generador que solo sabe escupir $U \sim \mathrm{Uniform}(0,1)$, ¿cómo conjuramos una extracción de una campana de Gauss? ¿O de una t de Student de colas gruesas? ¿O de un par correlacionado de activos que se desploman juntos? Esta lección es el taller donde entran uniformes y sale cualquier distribución que puedas describir.

Extracciones uniformes: la materia prima universal

Analogía. Una máquina de pasta empieza con un soso pegote de masa y lo presiona por distintos moldes para sacar espaguetis, tallarines o raviolis. La masa siempre es la misma; el molde decide la forma. En Montecarlo, $U \sim \mathrm{Uniform}(0,1)$ es la masa — perfectamente plana, igual de probable que caiga en cualquier punto de $[0,1]$ — y cada método de muestreo no es más que un molde distinto.

Definición. Un generador de números pseudoaleatorios (PRNG) produce una secuencia de números que parece estadísticamente aleatoria — repartida uniformemente sobre $[0,1]$, sin patrones detectables — pero que en realidad se calcula de forma determinista a partir de una semilla inicial. Dale la misma semilla y reproduce la misma secuencia exacta, extracción a extracción.

Esa palabra “pseudo” suena a defecto, pero es un regalo. Como el chorro es reproducible, puedes reejecutar la simulación de ayer y obtener byte a byte la misma respuesta — esencial para depurar (“¿por qué reventó la trayectoria 4.182?”), para auditar un número de riesgo que un regulador está cuestionando y para comparar dos modelos sobre el conjunto idéntico de choques aleatorios, de modo que cualquier diferencia sea el modelo, no la suerte del sorteo. Una ejecución de riesgo que no puedes reproducir es una ejecución de riesgo que no puedes defender.

Muestreo por transformada inversa: la llave maestra

Aquí está la idea más importante de toda esta lección, y funciona para cualquier distribución cuya función de distribución acumulada puedas invertir.

Analogía. Piensa en la CDF de una distribución como una tabla de alturas de una multitud. La CDF $F(x)$ responde “¿qué fracción de la multitud mide menos que $x$?” — sube de 0 a 1 a medida que barres $x$ de pequeño a grande. Ahora recórrela al revés: elige un percentil al azar (un número uniforme entre 0 y 1) y pregunta “¿quién está en ese percentil?” Mete 0,5 y obtienes la altura mediana; mete 0,99 y obtienes a alguien del altísimo 1 % de la cola. Suelta percentiles uniformemente aleatorios y las personas que sacas están distribuidas exactamente como la multitud real — gente alta rara, gente media común — porque la CDF estira y comprime la línea plana $[0,1]$ hasta hacerla coincidir con la densidad verdadera de la distribución.

Definición. Muestreo por transformada inversa. Si $F$ es la CDF de una distribución objetivo y $U \sim \mathrm{Uniform}(0,1)$, entonces

$X = F^{-1}(U)$

es una extracción de esa distribución. La función $F^{-1}$ (la CDF inversa, también llamada función cuantil) mapea un percentil de vuelta a su valor. Percentiles uniformes dentro, muestras correctamente distribuidas fuera.

Ejemplo resuelto — la distribución exponencial. La exponencial (tiempos de espera, tiempo hasta impago en modelos de crédito) con tasa $\lambda$ tiene CDF $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$. Invírtela paso a paso. Pon $U = 1 - e^{-\lambda x}$ y despeja $x$:

$e^{-\lambda x} = 1 - U \;\Longrightarrow\; -\lambda x = \ln(1 - U) \;\Longrightarrow\; x = -\frac{\ln(1 - U)}{\lambda}.$

Como $1 - U$ es a su vez uniforme en $[0,1]$, esto se suele escribir $X = -\ln(U)/\lambda$. En concreto, con $\lambda = 2$ y una extracción $U = 0.30$: $X = -\ln(0.30)/2 = -(-1.204)/2 = 0.602$. Un número uniforme, una muestra exponencial — puro álgebra, sin magia.

El pero de la normal. Esta llave maestra tiene una cerradura testaruda que no puede abrir limpiamente: la CDF de la distribución normal no tiene inversa de forma cerrada. Sencillamente no hay fórmula pulcra $F^{-1}(U)$ que puedas escribir con logaritmos y raíces. Puedes aproximarla numéricamente, pero para la distribución más importante de las finanzas recurrimos en su lugar a un truco hecho a medida — Box–Muller — que esquiva la inversa por completo.

Box–Muller: una receta para normales

Como no podemos invertir la CDF de la normal, hacemos trampa de una manera ingeniosa — y la trampa es uno de los trucos más bonitos de la estadística computacional.

Analogía. Imagina lanzar dardos a una diana plana de modo que la nube de agujeros forme una campana 2D perfectamente circular — más densa en el centro, adelgazándose hacia los bordes. Cada dardo tiene dos coordenadas, y cada coordenada es una normal estándar independiente. Box–Muller es la receta que, dados un ángulo aleatorio y una distancia aleatoria desde el centro, coloca exactamente uno de esos dardos — y luego simplemente lee su $x$ e $y$ como dos extracciones normales. Es la distribución normal descrita en coordenadas polares.

Definición. La transformación de Box–Muller toma dos uniformes independientes $U_1, U_2 \sim \mathrm{Uniform}(0,1)$ y produce dos extracciones normales estándar independientes (media 0, varianza 1):

$Z_1 = \sqrt{-2\ln U_1}\,\cos(2\pi U_2), \qquad Z_2 = \sqrt{-2\ln U_1}\,\sin(2\pi U_2).$

El término $\sqrt{-2\ln U_1}$ fija la distancia del dardo desde el centro (fíjate en el $-\ln U_1$ de estilo exponencial de la sección anterior colándose de vuelta — ese es el radio), y el término $2\pi U_2$ elige un ángulo uniformemente aleatorio alrededor de la circunferencia. Juntos esparcen los dardos en una nube gaussiana, y las proyecciones $\cos$/$\sin$ son las dos coordenadas normales.

No necesitas memorizar esto. Esa es justo la cuestión. La conclusión es conceptual: existe una receta determinista que convierte simples extracciones uniformes en extracciones normales, sin necesidad de CDF inversa. Una vez que confías en que existe tal receta, la distribución normal se convierte en un molde más para la máquina de pasta. Toda biblioteca numérica trae Box–Muller (o un primo más rápido como el algoritmo Ziggurat) integrado; llamas a randn() y la fontanería de uniformes-a-normales ocurre invisiblemente por debajo.

De la normal estándar a una rentabilidad real

Una normal estándar $Z$ — media 0, desviación típica 1 — es un choque genérico y sin dimensiones. Las rentabilidades reales tienen un nivel (una deriva) y una escala (una volatilidad). Tender el puente entre ambos es el paso más fácil de toda la cadena.

Analogía. $Z$ es una lectura de temperatura en alguna unidad abstracta centrada en cero. Para convertirla en una rentabilidad del mundo real la deslizas hacia la media correcta (sumas la deriva) y la estiras a la dispersión correcta (multiplicas por la volatilidad) — exactamente como convertir un z-score de un examen de vuelta en una nota real usando la media y la desviación típica de la clase.

Definición — la transformación de localización-escala. Si $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$, entonces

$r = \mu + \sigma Z$

es una extracción de $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$: una rentabilidad normal con media (deriva) $\mu$ y volatilidad $\sigma$. Sumar $\mu$ desplaza la localización; multiplicar por $\sigma$ fija la escala.

Ejemplo resuelto. Una acción con rentabilidad anual esperada $\mu = 8\%$ y volatilidad anual $\sigma = 20\%$. El generador te entrega una extracción normal estándar $Z = -1.5$ — un choque de una desviación típica y media por debajo de la media. La rentabilidad anual simulada es

$r = \mu + \sigma Z = 8\% + 20\% \times (-1.5) = 8\% - 30\% = -22\%.$

Un año sombrío, pero exactamente el tipo de año sombrío que una extracción de $-1.5\sigma$ debería producir. Dale a la misma maquinaria un $Z = +1.0$ y obtendrías $8\% + 20\% = 28\%$, un año de bandera. La deriva recentra; la volatilidad decide cuán violentamente oscilan los choques.

Colas gruesas: la misma máquina, un molde más aterrador

Aquí es donde el muestreo deja de ser un ejercicio de matemáticas y empieza a ser una cuestión de supervivencia. La distribución normal es de colas finas: trata un movimiento de $5\sigma$ como tan absurdamente improbable (más o menos un suceso de una-vez-cada-14.000-años para rentabilidades diarias) que una simulación impulsada por una normal esencialmente nunca producirá uno. Los mercados reales los producen más o menos cada pocos años. La normal no es cauta — es complaciente.

Analogía. Muestrear rentabilidades normales es como diseñar un dique usando solo los niveles del río en tiempo de calma: la mayoría de los días parece generoso, hasta justo la inundación de los cien años que tus datos juraban que no podía ocurrir y se lleva por delante el pueblo. Una distribución t de Student con pocos grados de libertad es el mismo río con las inundaciones reescritas — la mayor parte de la masa sigue sentada en el centro tranquilo, pero un trozo significativo vive muy afuera en las colas, exactamente donde llegan las pérdidas catastróficas.

Definición. La distribución t de Student con $\nu$ (nu) grados de libertad parece una campana normal pero con colas más pesadas; cuanto menor el $\nu$, más gruesas las colas. Cuando $\nu \to \infty$ converge de vuelta a la normal. Con $\nu = 3$ o $\nu = 4$, los movimientos extremos que una normal tacha de imposibles se vuelven meramente raros — que es lo que de verdad muestran los datos de rentabilidad reales.

El punto crucial: la maquinaria no cambia. Sigues extrayendo $U \sim \mathrm{Uniform}(0,1)$ y pasándolo por una receta (transformada inversa o un generador específico de la t); solo has cambiado la distribución objetivo. La misma masa, distinto molde. Este es el poder profundo de Montecarlo — para modelar colas gruesas no reconstruyes el motor, solo le das de comer una distribución de colas más gruesas.

El histograma de abajo hace el contraste visceral. Extrae muestras de una normal de colas finas y observa cómo se apilan en una campana pulcra que converge a su curva objetivo. Luego cambia a la distribución objetivo de colas gruesas y observa cómo las mismas extracciones se dispersan mucho más a menudo hacia los extremos — la zona de peligro donde la normal juraba que no vivía nada.

Por qué esto es una historia de riesgo, no una historia de estadística. Recuerda cómo la VaR paramétrica impulsada por una normal navegó serenamente hacia 2008: los modelos asumían colas normales finas, así que los movimientos de una-vez-por-siglo que de verdad llegaron registraron como imposibles, y los números de riesgo reportados eran, con aplomo, catastróficamente bajos. Una simulación de Montecarlo alimentada con una distribución normal hereda ese punto ciego exacto. Alimentarla en su lugar con una t de Student de colas gruesas es cómo evitas que tu propia simulación te arrulle hacia la misma falsa sensación de seguridad. El molde que elijes es el riesgo que ves.

Extracciones correlacionadas: activos que se desploman juntos

Hasta ahora cada extracción ha sido un activo solitario. Las carteras reales tienen muchos activos, y todo el drama del riesgo es que no se mueven de forma independiente — cuando la tecnología se vende, tiende a arrastrar todo el índice con ella. Una simulación que extrae cada activo de forma aislada juzgará muy mal los días en que todos se hunden a la vez.

Analogía. Imagina una tripulación de remo. Si cada remero diera paladas de forma independiente, el bote se bambolearía al azar y se promediaría. Pero los mercados reales son una tripulación cuyas paladas están parcialmente sincronizadas — cuando uno tira fuerte, los demás tienden a seguir. Para simular eso, empiezas con remeros independientes (normales estándar independientes) y luego los mezclas de modo que sus movimientos se alineen en el grado correcto.

La idea (conceptualmente). Empiezas con un vector de normales estándar independientes — choques no correlacionados — y lo multiplicas por el factor de Cholesky de la matriz de covarianzas objetivo. La matriz de covarianzas codifica cuán fuertemente se mueve junto cada par de activos; su factor de Cholesky es la “receta de mezcla” precisa que combina los choques independientes en correlacionados con exactamente el comovimiento correcto. Extracciones independientes dentro, una cesta correlacionada de rentabilidades fuera — la misma cadena de uniformes-a-normales, con un paso extra de mezcla atornillado para múltiples activos. Hoy no necesitas el álgebra lineal; la cuestión es que la correlación se impone sobre extracciones independientes, no se extrae directamente.

Basura entra, basura sale — fielmente

Hay un principio que se sitúa por encima de toda técnica de esta lección, y merece la pena tatuárselo por dentro de los párpados.

Montecarlo reproduce cualquier distribución que le des — fielmente, incluidos sus defectos. La maquinaria es gloriosamente neutral: muestreará una normal de colas finas con la misma precisión impecable con que muestrea una t de colas gruesas, una distribución asimétrica o una salvajemente equivocada que mal-especificaste a las 2 de la mañana. La simulación nunca editorializa. Si le das una distribución que finge que los desplomes no pueden pasar, generará obedientemente una fantasía sin desplomes y la renderizará en preciosa alta resolución.

Por eso la elección de la distribución es la decisión más trascendental de cualquier simulación — mucho más que el número de trayectorias o lo ingenioso del código. Un muestreador perfecto extrayendo de una distribución equivocada te da una respuesta equivocada perfectamente precisa. Distribución basura dentro, simulación basura fuera — y el lustre de la salida es justo lo que hace la basura tan peligrosa, porque parece autorizada sin importar lo que entró.

Atándolo todo

Toda simulación funciona con un combustible — $U \sim \mathrm{Uniform}(0,1)$, determinista a partir de una semilla para que tus ejecuciones sean reproducibles — y todo el oficio del muestreo es doblar ese chorro plano hasta la forma que tu modelo necesita. El muestreo por transformada inversa ($X = F^{-1}(U)$) es la llave maestra para cualquier distribución con CDF invertible; la normal carece de una, así que Box–Muller convierte dos uniformes en dos normales estándar mediante coordenadas polares. Un paso de localización-escala, $r = \mu + \sigma Z$, convierte una normal estándar en una rentabilidad real. Cambia la normal por una t de Student de $\nu$ bajo y obtienes las colas gruesas que los desplomes reales exigen; multiplica normales independientes por un factor de Cholesky y obtienes una cesta correlacionada. Por encima de todo se sienta la ley de hierro: Montecarlo reproduce fielmente cualquier distribución que le des, defectos incluidos — así que elige el molde con cuidado.

A continuación — Movimiento browniano geométrico — dejamos de extraer rentabilidades sueltas y empezamos a encadenarlas: alimentamos una extracción nueva en cada paso temporal y observamos cómo se desenrolla toda una trayectoria de precios, un día sintético cada vez, en los paseos aleatorios que impulsan por igual la valoración de opciones y la simulación de riesgo.