Duración: cuánto se mueven los bonos

Ya sabéis que los bonos se mueven al contrario que las rentabilidades: cuando los tipos de interés del mercado suben, el precio de un bono que tenéis en cartera baja. Pero ¿en cuánto? Dos bonos pueden caer ambos cuando los tipos suben — uno apenas se inmuta, el otro se desploma. El único número que os dice cuál es cuál se llama duración, y, pese a cotizarse en años, es en realidad una medida de sensibilidad del precio. Es la respuesta del mercado de bonos a “¿con cuánta fuerza va a sacudirse esto cuando se muevan los tipos?” — y, en cuanto sabéis leerla, podéis calibrar el riesgo de un bono de un vistazo. Busquemos el punto de equilibrio.

La duración como punto de equilibrio de tus flujos de caja

Imaginad los flujos de caja de un bono dispuestos sobre un balancín. La tabla horizontal es el tiempo, que va desde hoy hasta el vencimiento. En cada fecha el bono os paga algo — un pequeño cupón (el pago periódico de intereses) aquí, otro cupón allá, y, al final del todo, el gran pellizco de vuestro valor nominal (el principal que se devuelve al vencimiento) más el último cupón. Apilad un peso en cada fecha de pago, dimensionado según lo valioso que sea ese pago hoy. ¿Dónde se equilibra la tabla? Ese punto de equilibrio es la duración de Macaulay.

Formalmente, la duración de Macaulay es el tiempo medio, en años, ponderado por el valor actual, hasta que recibes los flujos de caja del bono. Cada pago futuro se descuenta a su valor actual (lo que vale hoy), esos valores actuales se convierten en los pesos, y se calcula la media ponderada de los momentos de pago:

$D_{\text{Mac}} = \sum_{t} t \cdot w_t, \qquad w_t = \frac{\text{VA del flujo de caja en el momento } t}{\text{precio total}}$

Los pesos $w_t$ suman 1 (son cuotas del valor total del bono), así que el resultado cae en algún punto entre hoy y el vencimiento — exactamente donde se equilibra el balancín de los flujos de caja.

La gran idea escondida en ese pretest: un bono que te paga antes tiene una duración más corta, porque los flujos de caja tempranos tiran del punto de equilibrio hacia la izquierda. El vencimiento es solo la fecha más tardía posible; la duración es la fecha media en que tu dinero aparece de verdad, ponderada por el valor.

Cuándo importa

Siempre que necesites comparar el riesgo de dos bonos con cupones o vencimientos distintos, la duración — no el vencimiento — es la vara de medir honesta. Un bono a 30 años con cupones enormes puede tener una duración más corta (y, por tanto, menos riesgo de tipos) que un bono cupón cero a 15 años. Si los ordenaras por vencimiento, obtendrías el orden de riesgo al revés.

Duración modificada: convertir años en un porcentaje

La duración de Macaulay es un precioso “tiempo medio”, pero no puedes usar directamente un número en años para predecir un movimiento del precio. Necesitas convertirlo en una sensibilidad. La analogía: la duración de Macaulay es la longitud de la llave inglesa; la duración modificada es cuánto par de apriete aplica de verdad una vuelta del dial de los tipos.

La duración modificada reescala la duración de Macaulay por la rentabilidad por periodo, y es el número que de verdad predice los movimientos del precio:

$D_{\text{mod}} = \frac{D_{\text{Mac}}}{1 + y/n}$

donde $y$ es la rentabilidad anual (el rendimiento de mercado del bono) y $n$ es el número de pagos de cupón al año. La división la encoge ligeramente por debajo de la cifra de Macaulay. Y entonces llega la regla que hace que toda la lección merezca la pena:

$\%\Delta\text{Precio} \approx -D_{\text{mod}} \times \Delta y$

Léela en voz alta: el cambio porcentual del precio es, aproximadamente, menos la duración modificada por el cambio de la rentabilidad. El signo menos es el balancín precio-rentabilidad (tipos arriba, precio abajo). El tamaño del movimiento es la duración modificada.

Ejemplo trabajado — duración modificada 7

Supón que un bono tiene una duración modificada de 7. Las rentabilidades suben 1 punto porcentual, de modo que $\Delta y = 0{,}01$:

$\%\Delta\text{Precio} \approx -7 \times 0{,}01 = -0{,}07 = -7\%$

El precio cae alrededor del 7 %. Sobre un bono de $1.000 eso es una caída de aproximadamente $70 (es decir, $0{,}07 \times 1000$), dejándote cerca de $930. Invierte el movimiento — las rentabilidades bajan un 1 % — y el precio sube alrededor del 7 %, hasta unos $1.070. Una duración de 7 significa “espera alrededor de un 7 % de movimiento del precio por cada 1 % que se mueva la rentabilidad”. Esa es toda la destreza: lee la duración, multiplica por el movimiento de tipos, obtén el golpe al precio.

Cuándo importa

La duración modificada es lo que toda mesa de bonos cotiza de verdad, porque responde a la única pregunta que le importa a quien lo tiene en cartera: si los tipos se mueven, ¿cuánto gano o pierdo? Úsala para movimientos de tipos pequeños y realistas (un cuarto de punto, medio punto, un punto). Para shocks grandes, trátala como una primera estimación que exagera la pérdida e infravalora la ganancia — y echa mano de la convexidad.

Calculándolo: un bono a 3 años al 5 %, paso a paso

Hora de moler de verdad la aritmética del balancín. Toma un bono diminuto para que cada número quede a la vista: valor nominal $100, un cupón anual del 5 % (es decir, $5 cada año), 3 años hasta el vencimiento y una rentabilidad de mercado del 5 %. Como el tipo de cupón es igual a la rentabilidad, este bono cotiza exactamente a la par — $100 —, lo que mantiene la contabilidad limpia.

El flujo de caja de cada año se descuenta entre $(1{,}05)^t$ a su valor actual, cada valor actual se convierte en un peso $w_t = \text{VA} / 100$, y sumamos $t \cdot w_t$:

Los valores actuales suman $100 (el precio — bien, las cuentas son coherentes), los pesos suman 1 y la columna del tiempo ponderado suma alrededor de 2,86 años. Así que:

$D_{\text{Mac}} \approx 2,86 \text{ años}$

Fíjate en que es menor que el vencimiento de 3 años — los dos cupones tempranos de $5 arrastran el punto de equilibrio a la izquierda del pago final, pero solo un poco, porque ese flujo de caja del año 3 (cupón + nominal) carga con más del 90 % del peso. Ahora convierte a duración modificada con $y = 0{,}05$ y $n = 1$:

$D_{\text{mod}} = \frac{2,86}{1 + 0{,}05/1} = \frac{2,86}{1,05} \approx 2,72$

Y ponla a trabajar. Si las rentabilidades suben del 5 % al 6 % ($\Delta y = 0{,}01$):

$\%\Delta\text{Precio} \approx -2,72 \times 0{,}01 = -2,72\%$

El bono de $100 debería caer hasta unos $97,28. (Descuenta los flujos de caja reales al 6 % y obtendrías $97,33 — la estimación en línea recta se desvía en un níquel, exactamente la precisión para movimientos pequeños que prometimos.)

Los cuatro factores — qué alarga y qué acorta la duración

La duración no es un dial misterioso; cuatro palancas la mueven en direcciones predecibles. Aquí tienes todo el mapa de causa y efecto en una tabla, y luego sentiremos cada una en el balancín.

Los casos destacados:

• Un bono cupón cero tiene una duración igual a su vencimiento. Un único flujo de caja, al final — el balancín tiene un solo peso, así que se equilibra justo debajo de ese peso. Un cupón cero a 10 años tiene una duración de Macaulay de exactamente 10 años. Es el bono más sensible a los tipos de su vencimiento, porque nada llega pronto para suavizar el golpe.
• Un cupón mayor acorta la duración. Los cupones gordos entregan más efectivo por adelantado, tirando del punto de equilibrio hacia hoy. Mismo vencimiento, más cupón, menor duración, menos sensibilidad del precio.
• Un vencimiento más largo alarga la duración — el gigantesco pago final del valor nominal se sitúa más lejos, tirando del punto de equilibrio a la derecha.
• Una rentabilidad menor alarga la duración. Menos descuento significa que los flujos de caja lejanos pierden menos valor, así que cargan con más peso, tirando del punto de equilibrio hacia fuera.

Arrastra los deslizadores de abajo. Sube el cupón y observa el triángulo (el punto de equilibrio) deslizarse a la izquierda a medida que la duración se acorta; baja el cupón hacia cero y míralo deslizarse hasta el vencimiento. Empuja el vencimiento hacia fuera o tira de la rentabilidad hacia abajo y el punto de equilibrio se desplaza a la derecha:

Cuándo importa

Estos factores son cómo diseñas el riesgo de tipos. ¿Asustado por la subida de tipos? Acorta la duración — ten vencimientos más cortos o cupones más altos. ¿Apuestas a que los tipos caerán y quieres maximizar el salto del precio? Alarga la duración — vencimientos largos, cupones bajos o nulos. Los fondos de pensiones y las aseguradoras van más allá y casan la duración de sus bonos con la duración de sus pagos futuros, de modo que un movimiento de tipos golpee igual a ambos lados y se cancele.

Poniéndolo todo junto

Un solo número — la duración — colapsa los cupones, el vencimiento y la rentabilidad de un bono en un único “¿cuánto se va a mover esto?”. Trocea toda la idea:

Un repaso mixto que tira de todo lo anterior:

Ideas clave