Convexidad: la curva que la duración se deja por el camino

En la lección anterior, la duración te regaló una frase limpia y redonda: el precio de un bono se mueve aproximadamente menos-la-duración por la variación del tipo. Pulcra. Lineal. Y —para cualquier movimiento de tipos mayor que uno de bebé— un poquito errónea. La verdadera relación precio–tipo no es una recta en absoluto; es una curva suavemente arqueada, y la duración no es más que la regla recta que apoyamos tangente a ella en el tipo de hoy. Cuanto más se alejan los tipos del nivel de hoy, más se despega la curva real de esa regla. Y aquí está lo bonito: siempre se despega a favor del tenedor. Esa curvatura tiene nombre —convexidad— y, en cuanto la veas, no volverás a fiarte de una estimación de duración a secas en un gran movimiento de tipos.

La duración es una recta tangente, no la verdad

Imagina una colina suave vista de perfil. Plántate en un punto y apoya una tabla recta sobre la pendiente de modo que apenas roce el suelo a tus pies: esa tabla es una recta tangente. Justo donde estás de pie, la tabla y la colina coinciden casi a la perfección. Pero da unos pasos en cualquier dirección y la colina se curva mientras la tabla sigue completamente recta; el hueco entre ambas crece cuanto más caminas.

Esa es exactamente la relación entre el precio de un bono y su tipo. La curva precio–tipo —el precio real representado frente al tipo— es una curva de pendiente descendente que se arquea (es convexa, lo que significa que se comba de modo que siempre queda por encima de su propia recta tangente). La duración es la tangente: la aproximación en línea recta que es exacta en el tipo de hoy y se desvía a medida que los tipos se mueven. Formalmente, la estimación de la duración para la variación porcentual del precio es

$\%\Delta P \approx -D \cdot \Delta y$

donde $D$ es la duración modificada (a grandes rasgos, la sensibilidad porcentual del precio del bono por cada punto de variación del tipo) y $\Delta y$ es la variación del tipo en forma decimal. Es la ecuación de una recta, así que por construcción no puede capturar una curva.

Cuándo importa

Para movimientos de tipos de calderilla (unos pocos puntos básicos), la tangente abraza la curva y puedes quedarte con la duración. El desajuste solo merece corregirse cuando los tipos se mueven mucho: exactamente los escenarios (shocks de tipos, bonos largos) en los que más necesitas que el número sea correcto.

La curva siempre se arquea a favor del tenedor

Aquí está la asimetría que hace que la convexidad merezca la pena. Como la curva de precios queda por encima de su tangente por ambos lados, el precio real está siempre por encima de la estimación de la duración, sin importar hacia dónde se muevan los tipos.

Lee lo que eso significa en cada dirección:

• Los tipos suben → tanto la recta como la curva predicen una pérdida, pero la curva está más alta, así que la pérdida real es menor de lo que afirmaba la duración. La duración sobreestima tu pérdida.
• Los tipos bajan → ambas predicen una ganancia, pero la curva vuelve a estar más alta, así que la ganancia real es mayor de lo que afirmaba la duración. La duración subestima tu ganancia.

Pierde un poco menos cuando los tipos van en tu contra; gana un poco más cuando van a tu favor. Eso es un trato inequívocamente bueno para el tenedor del bono, y por eso la convexidad positiva es una propiedad deseable: la curvatura te saca del apuro en el lado malo y te acolcha en el bueno. La curva de abajo lo hace literal: arrastra el deslizador y observa cómo el marcador de color de marca (el precio real sobre la curva) se queda por encima del marcador de color de acento (la conjetura en línea recta de la duración) a ambos lados del tipo de hoy. La barra sombreada entre ellos es el efecto de la convexidad.

Cuándo importa

La asimetría es la razón entera por la que la convexidad acaba teniendo precio: los inversores pagarán un pelín más (aceptarán un tipo algo más bajo) por un bono con más convexidad, porque esa curvatura favorable es genuinamente valiosa. Cuando dos bonos parecen idénticos en duración, la convexidad es el desempate; más sobre esto abajo.

El término de corrección de convexidad

¿Cómo le ponemos entonces un número a la curvatura? Añadimos un término más a la estimación en línea recta. La fórmula mejorada es una aproximación de segundo orden: la duración captura la pendiente recta; la convexidad captura la curvatura:

$\%\Delta P \approx -D \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2$

Aquí $C$ es la convexidad del bono, una medida de cuánto se arquea la línea precio–tipo. Fíjate en dos cosas. Primero, la corrección usa $(\Delta y)^2$ —la variación del tipo al cuadrado— así que es minúscula para movimientos pequeños y crece deprisa para los grandes; por eso exactamente la convexidad solo importa cuando los tipos se mueven mucho. Segundo, como $(\Delta y)^2$ siempre es positivo (un negativo por un negativo da positivo) y la convexidad es positiva, el término de corrección es siempre un más. Empuja la estimación hacia arriba tanto si los tipos subieron como si bajaron, acercando la conjetura en línea recta a la curva real, más alta, en ambas direcciones. Ese único empujón siempre positivo es la matemática detrás de “pierde menos, gana más”.

Ejemplo trabajado — los tipos suben un 2 %

Toma un bono con duración modificada $D = 7$ y convexidad $C = 70$, y dale un shock a los tipos al alza de $\Delta y = +0{,}02$ (un salto de 2 puntos porcentuales). Recorre las dos piezas:

Pieza de solo duración:

$-D \cdot \Delta y = -7 \cdot 0{,}02 = -0{,}14 = -14{,}0\%$

La recta dice que el bono pierde un 14 %. Corrección de convexidad:

$\tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 70 \cdot (0{,}02)^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 70 \cdot 0{,}0004 = +0{,}014 = +1{,}4\%$

Súmalas:

$\%\Delta P \approx -14{,}0\% + 1{,}4\% = -12{,}6\%$

Así que la pérdida real es de alrededor del 12,6 %, no el aterrador 14 % que la duración a secas voceaba. La convexidad recompró 1,4 puntos porcentuales: la duración sobreestimó la pérdida exactamente en esa cantidad.

Ejemplo trabajado — los tipos bajan un 2 % (el espejo)

Ahora la otra cara: mismo bono, los tipos bajan $\Delta y = -0{,}02$.

Pieza de solo duración:

$-D \cdot \Delta y = -7 \cdot (-0{,}02) = +0{,}14 = +14{,}0\%$

Corrección de convexidad —fíjate en que $(\Delta y)^2 = (-0{,}02)^2 = 0{,}0004$, sigue siendo positivo:

$\tfrac{1}{2} \cdot 70 \cdot (-0{,}02)^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 70 \cdot 0{,}0004 = +0{,}014 = +1{,}4\%$

Súmalas:

$\%\Delta P \approx +14{,}0\% + 1{,}4\% = +15{,}4\%$

La ganancia real es de alrededor del 15,4 %, mayor que el 14 % que la recta prometía. El mismo bono de convexidad de 1,4 puntos, pero esta vez se suma por encima de una ganancia. Pierde un 12,6 % en lugar de un 14 % cuando los tipos suben; gana un 15,4 % en lugar de un 14 % cuando bajan. Asimetría, a tu favor, por ambos lados.

Leerlo en una tabla

Alinear la solo-duración, la duración-más-convexidad y el precio real a lo largo de varios movimientos de tipos muestra el patrón de un vistazo. Mismo bono ($D = 7$, $C = 70$):

Saltan a la vista tres cosas. La columna de solo-duración es simétrica: cambia el signo de $\Delta y$ y la magnitud es idéntica ($\pm 7\%$, $\pm 14\%$). Pero los precios reales son asimétricos: el lado bueno ($+15{,}4\%$) es mayor que el malo ($-12{,}6\%$) para un movimiento del mismo tamaño. Y el error de la solo-duración crece con el cuadrado del movimiento: el cuádruple en $\pm 0{,}02$ que en $\pm 0{,}01$ (1,4 frente a 0,35), porque la corrección cabalga sobre $(\Delta y)^2$. Movimientos minúsculos: apenas error. Movimientos grandes: el hueco es dinero de verdad.

Cuándo importa

La convexidad se gana el sueldo en tres sitios: grandes movimientos de tipos (donde el término al cuadrado por fin muerde), bonos de vencimiento largo (que cargan con duración alta y convexidad alta, magnificándolo todo) y comparar dos bonos con la misma duración, donde la convexidad es lo único que queda para distinguirlos.

Dos bonos, la misma duración

Supón que dos bonos tienen una duración modificada idéntica de 7, así que la duración a secas los declara intercambiables. El bono A tiene convexidad 40; el bono B tiene convexidad 90. Dale un shock a los tipos de $\pm 0{,}02$ y míralos divergir:

El bono B pierde menos cuando los tipos suben y gana más cuando bajan: domina al bono A en ambas direcciones, puramente por su mayor convexidad. Por eso, en igualdad de condiciones, más convexidad es más deseable, y por eso el mercado lo valora en silencio: un bono más convexo suele cotizar a un precio algo más rico (un tipo algo más bajo). Esa curvatura favorable no te sale gratis, pero cuando eliges entre dos bonos de la misma duración, es la característica que decide.

Poniéndolo todo junto

La duración dibuja la recta; la convexidad restaura la curva. Empaqueta toda la idea en una sola imagen:

Un repaso mixto: tira de todo lo anterior:

Ideas clave