VaR paramétrico

El VaR histórico os obliga a fregar los platos: reunís un montón de rendimientos pasados, los ordenáis y contáis hasta el percentil que queréis. Es honesto pero laborioso, y solo os puede hablar de pérdidas que ya ocurrieron. El VaR paramétrico —el método de varianzas–covarianzas— toma un atajo tan descarado que casi parece hacer trampa: asume que la distribución de rendimientos es una campana de Gauss perfecta y, entonces, todo el cálculo del VaR se reduce a una sola línea de álgebra. Sin ordenar. Sin simular. Solo una media, una desviación típica y un número de una tabla z.

Ese supuesto es a la vez el superpoder del método y su talón de Aquiles, pero ganémonos la recompensa antes de auditar la factura.

Asume una campana y luego es solo álgebra

Analogía. El VaR histórico es un retrato dibujado a mano: trazáis cada arruga de los datos reales. El VaR paramétrico es una foto de pasaporte: resumís toda la cara con dos números (posición y dispersión) y confiáis en que el resto sigue una plantilla conocida. Si la cara es realmente simétrica y bien educada, la foto basta. Si tiene una cicatriz en la cola, la foto la retoca y la borra.

La idea. Supongamos que el P&L (o el rendimiento) de vuestra cartera sobre el horizonte elegido se distribuye normalmente con media $\mu$ y desviación típica $\sigma$. La magia que define a la distribución normal es que cada cuantil está al mismo número fijo de desviaciones típicas de la media. Formalmente, el valor en la probabilidad acumulada $c$ es

donde $z_c$ es el cuantil normal estándar (el número de $\sigma$‘s que deja probabilidad $c$ por debajo). Una vez aceptáis la normalidad, nunca volvéis a tocar los datos: simplemente sustituís $\mu$, $\sigma$ y el $z$ correcto. La forma viene precocinada.

Por eso el método también se llama varianzas–covarianzas: los únicos estadísticos que necesita son la varianza de cada posición y las covarianzas entre ellas. Todo lo demás lo hace la campana de Gauss.

VaR paramétrico de un solo activo

Analogía. Pensad en $\sigma$ como el ancho de la diana y en $z_c$ como cuántos anchos de diana tenéis que caminar antes de que solo $1-c$ de los dardos caigan más allá de vosotros. El VaR es justo esa distancia, convertida en un número de pérdida positivo.

Definición. Para una cartera de valor $V$ cuyo rendimiento tiene media $\mu$ y desviación típica $\sigma$, el VaR al nivel de confianza $c$ es

donde $z_c$ es el cuantil normal estándar de cola izquierda —un número negativo, porque miramos el lado izquierdo (de pérdidas) de la campana—. El signo menos inicial convierte la pérdida en una cifra positiva (el VaR se expresa como una cantidad positiva en dólares). Los cuantiles clave:

La convención $\mu \approx 0$. Sobre un único día de negociación, el rendimiento esperado $\mu$ es minúsculo al lado de la $\sigma$ diaria —una acción podría derivar un 0,04% al día mientras oscila un 2%—. Por eso las mesas habitualmente descartan $\mu$ para horizontes cortos, dejando la fórmula limpia de batalla $\mathrm{VaR}_c = -z_c\,\sigma\,V = |z_c|\,\sigma\,V$.

Ejemplo resuelto. Una cartera de $10M con $\sigma = 2\%$ diaria y $\mu \approx 0$:

• VaR al 95% a 1 día $= 1{,}645 \times 0{,}02 = 0{,}0329$, por $10M $\Rightarrow$ $329.000.
• VaR al 99% a 1 día $= 2{,}326 \times 0{,}02 = 0{,}04652$, por $10M $\Rightarrow$ $465.200.

Leedlo en voz alta: «En un día normal, estamos 95% seguros de que no perderemos más de $329k, y 99% seguros de que no perderemos más de $465k». Misma cartera, misma $\sigma$ —solo cambió el $z$—. Subid la confianza y caminaréis más lejos por la misma cola.

Escalar en el tiempo: la regla del √t

Analogía. La volatilidad se acumula como el paseo de un borracho, no como una marcha militar. Dad diez pasos aleatorios a izquierda o derecha y no acabaréis a diez pasos de casa: acabaréis a unos $\sqrt{10} \approx 3{,}2$ pasos, porque los pasos se cancelan en parte. El riesgo en el tiempo se comporta igual: diez días de aleatoriedad no se amontonan hasta diez veces el riesgo de un día.

La regla. Para rendimientos independientes e idénticamente distribuidos (i.i.d.), la varianza se suma a lo largo del tiempo. Sobre $h$ días la varianza es $h\sigma^2$, así que la desviación típica es $\sqrt{h}\,\sigma$. Como el VaR es lineal en $\sigma$,

Ejemplo resuelto. Nuestra cartera de $10M tenía un VaR al 95% a 1 día de $329k. El VaR a 10 días es $\sqrt{10} \approx 3{,}162$ veces eso: $3{,}162 \times 329\text{k} \approx 1{,}040\text{k}$, es decir, unos $1,04M.

No $10 \times 329\text{k} = 3{,}290\text{k}$, es decir, $3,29M. Multiplicar por el horizonte en lugar de por su raíz cuadrada contaría el riesgo por triplicado: un error salvajemente conservador que despilfarra capital.

La letra pequeña. La regla del $\sqrt{t}$ se apoya en dos supuestos: que los rendimientos son i.i.d. y tienen autocorrelación cero (el movimiento de hoy no os dice nada sobre el de mañana). La realidad se desvía en ambos sentidos:

• Bajo reversión a la media (los movimientos tienden a revertirse), el riesgo real a varios días es menor que el que predice $\sqrt{t}$ —así que $\sqrt{t}$ lo sobreestima—.
• Bajo momentum / tendencia (los movimientos tienden a persistir), el riesgo real es mayor —así que $\sqrt{t}$ lo subestima—.

VaR de cartera con correlación

Analogía. Dos niños pequeños revoltosos en una habitación no hacen el doble de ruido que uno: a veces gritan juntos, a veces uno duerme la siesta mientras el otro berrea. La correlación es el dial de «¿tienen las rabietas a la vez?». Subidlo a $+1$ y el ruido simplemente se suma; bajadlo por debajo de $1$ y su caos se cancela en parte. Esa cancelación es la diversificación, y el VaR paramétrico la captura exactamente a través del término de covarianza.

Definición. Para dos activos con pesos $w_1, w_2$ (exposiciones en dólares), volatilidades $\sigma_1, \sigma_2$ y correlación $\rho$, la desviación típica de la cartera es

Entonces el VaR de la cartera es simplemente la fórmula de un solo activo vistiendo $\sigma_p$:

Todo el juego vive en ese término cruzado $2w_1 w_2\rho\sigma_1\sigma_2$. Cuando $\rho < 1$, es menor de lo que sería con correlación perfecta, así que $\sigma_p$ —y por tanto el VaR de la cartera— queda por debajo de la suma de los VaR individuales.

Ejemplo resuelto. Dos posiciones de $5M (de modo que el $V$ total es $10M, con cada peso de $5M), con $\sigma_1 = 2\%$, $\sigma_2 = 3\%$ diarias y correlación $\rho = 0{,}3$. Trabajamos en miles de dólares, $z_{95} = 1{,}645$.

Primero las volatilidades individuales en dólares:

• Activo 1: $5\text{M} \times 0{,}02 = 100\text{k}$, es decir, $100k.
• Activo 2: $5\text{M} \times 0{,}03 = 150\text{k}$, es decir, $150k.

Varianza de la cartera (en unidades de $\text{k}^2$):

Así que $\sigma_p = \sqrt{41{,}500} \approx 203{,}7$, es decir, unos $203,7k. El VaR de la cartera al 95% es $1{,}645 \times 203{,}7 \approx 335{,}1$, es decir, unos $335,1k.

Ahora comparad contra la suma de los VaR individuales:

El VaR de la cartera ($335k) queda muy por debajo de la suma ingenua ($411k): un beneficio de diversificación de $76k, enteramente porque $\rho = 0{,}3 < 1$. Empujad $\rho$ hasta $1$ y el término cruzado se hincha hasta que $\sigma_p$ iguala $250k y el VaR sube exactamente a la suma de $411k: con correlación perfecta, la diversificación se evapora.

Fortalezas y debilidades

Por qué las mesas lo adoran. El VaR paramétrico es rápido: es una fórmula cerrada, sin ordenar un millón de escenarios ni simular trayectorias. Es analítico: podéis ver exactamente cómo responde el VaR a un meneo en $\sigma$ o en $\rho$, lo que lo hace perfecto para el riesgo marginal y la atribución de «qué pasaría si». Y es frugal con los datos: dadle una matriz de covarianzas y habéis terminado, mientras que el VaR histórico exige un histórico de rendimientos largo y limpio.

Por qué puede mentiros. Cada una de esas virtudes se apoya en el supuesto de normalidad, y los mercados reales enfáticamente no son normales:

• Colas gruesas. Las distribuciones de rendimientos reales tienen mucha más masa en los extremos de la que permite una campana de Gauss. El modelo normal trata un día de $-5\sigma$ como un fenómeno de uno cada mil años; los mercados los sirven cada pocos años. Así que el VaR paramétrico subestima sistemáticamente el tamaño y la frecuencia de las peores pérdidas —las pérdidas exactas para las que construisteis un modelo de riesgo—.
• Pagos no lineales. La fórmula trata el P&L de la cartera como una función lineal de los factores de riesgo. Para una cartera repleta de opciones, eso es solo una aproximación local —el llamado método delta-normal captura la exposición delta de primer orden pero ignora la gamma, la curvatura—. Un movimiento grande deja esa linealización equivocada, y para una cartera muy cargada de opciones puede equivocarse por mucho.

Juntándolo todo

El VaR paramétrico es el atajo algebraico del mundo del VaR: asume un P&L normal, y cada cuantil de pérdida es $\mu + z_c\sigma$. Descartad la deriva para un solo día, escalad entre horizontes con $\sqrt{t}$ y cosed las posiciones a través del término cruzado de covarianza, de modo que una correlación por debajo de $1$ os pague un descuento por diversificación. Es rápido, transparente y ligero en datos, y os miente silenciosamente en exactamente la cola y la convexidad sobre las que más necesitáis que os diga la verdad.

A continuación —el VaR de Montecarlo— dejamos de confiar en una única campana de Gauss pulcra y, en su lugar, fabricamos la distribución nosotros mismos: simulamos miles de escenarios futuros aleatorios a partir de la dinámica que queramos (colas gruesas, saltos, pagos no lineales de opciones y todo lo demás), revalorizamos la cartera en cada uno y leemos el VaR del montón resultante. Es la artillería pesada para exactamente las colas y la convexidad que el VaR paramétrico retoca y borra.