VaR de Montecarlo

El VaR histórico tiene un defecto fatal: solo puede mostraros mañanas que ya ocurrieron. Vuestro único año de datos es vuestro único año de datos —252 días, lo tomáis o lo dejáis— y el crac que de verdad os asusta probablemente no esté ahí dentro. El VaR paramétrico arregla la escasez de datos suponiendo una pulcra campana normal, pero luego miente sobre cualquier cosa no lineal (hola, opciones). El VaR de Montecarlo es el método que dice: vale —si la realidad no me da suficientes mañanas, las fabricaré yo.

El truco es gloriosamente simple en espíritu. Elegid un modelo estadístico de cómo se mueven vuestros factores de riesgo. Usad un generador de números aleatorios para lanzar miles de mañanas sintéticas a partir de ese modelo. Revaluad toda vuestra cartera en cada una. Ahora tenéis diez mil pérdidas y ganancias falsas: ordenadlas, adentraos en la cola de pérdidas y leed el percentil. Es el VaR histórico, salvo que la historia es una que vosotros inventasteis, y podéis inventar tanta como vuestro ordenador aguante.

Simular un millar de mañanas

Analogía. Una piloto no espera a sufrir diez incendios reales de motor para aprender cómo se comporta el avión ante uno: ejecuta el simulador de vuelo mil veces, cada una con gremlins ligeramente distintos. El VaR de Montecarlo es el simulador de vuelo de vuestra cartera: no os podéis permitir vivir diez mil días de mercado, así que los generáis por software y observáis cómo reacciona vuestro libro.

Definición. El VaR de Montecarlo estima el Valor en Riesgo (1) eligiendo un modelo estadístico para los factores de riesgo que mueven vuestra cartera, (2) extrayendo muchos escenarios aleatorios de ese modelo, (3) revaluando la cartera completa en cada escenario para obtener una ganancia o pérdida y (4) tomando el percentil adecuado de esa distribución de pérdidas simuladas. El nombre viene del casino: es la familia de métodos de tirar los dados y muestrear al azar, aplicada al riesgo.

Un factor de riesgo es cualquier variable de mercado de la que depende el valor de vuestra cartera: la cotización de una acción, un tipo de cambio, un tipo de interés, una volatilidad implícita. El modelo es vuestra suposición sobre cómo se mueven esos factores —lo más habitual, que los rendimientos a un día sean normales (o que los precios sean lognormales, es decir, que sus logaritmos sean normales, lo que mantiene los precios positivos)— con una media $\mu$, una volatilidad $\sigma$ elegidas y —cuando tenéis más de un factor— una matriz de correlaciones que los ata para que se muevan de forma realista al unísono en lugar de independientemente.

Esa pieza de la correlación es el alma del método para un libro real. Si vuestra cartera tiene tecnológicas y petróleo, y vuestro simulador les deja deambular independientemente, juzgaréis muy mal los días que se desploman juntos. La matriz de correlaciones es lo que hace que vuestras mañanas sintéticas se sostengan como días de mercado reales.

La receta, paso a paso

Aquí está todo el método como un recetario de cinco pasos. Memorizad la forma: cada motor de VaR de Montecarlo del planeta es alguna elaboración de estas cinco líneas.

1. Especificad el modelo y sus parámetros. Decidid la distribución (p. ej. precios lognormales) y fijad la $\mu$ y la $\sigma$ de cada factor más la matriz de covarianzas/correlaciones que los enlaza. Este es el único paso creativo y peligroso: todo lo de aguas abajo hereda lo que supongáis aquí.
2. Generad $M$ escenarios. Extraed $M$ escenarios aleatorios —digamos $M = 10{.}000$— de ese modelo. Cada escenario es una «mañana» sintética: un conjunto completo de nuevos valores para cada factor de riesgo, extraídos conjuntamente para que las correlaciones se mantengan.
3. Revaluad por completo la cartera bajo cada escenario. Para cada uno de los $M$ escenarios, recalculad el valor de la cartera con los nuevos valores de los factores y restad el valor de hoy para obtener la P&L de ese escenario. «Por completo» es la palabra clave: volvéis a ejecutar la fórmula de valoración real de cada instrumento, no una aproximación lineal.
4. Ordenad las $M$ P&L de peor a mejor. Ahora tenéis una distribución empírica de resultados simulados: un histograma de diez mil mañanas falsas.
5. Leed el percentil. El VaR a la confianza $c$ es la pérdida en el percentil $(1-c)$ de esa lista ordenada. Para $c = 99\%$ y $M = 10{.}000$, esa es la 100.ª peor pérdida simulada (el 1% de 10.000): todo escenario por debajo de ella está en la cola.

El gráfico de abajo es exactamente el objeto que construís en los pasos 4–5: el histograma de resultados simulados, con la línea del VaR situada en el percentil elegido y la cola de pérdidas más allá de ella sombreada. Arrastrad el deslizador de confianza y ved cómo la línea marcha más adentro en la cola fabricada.

La función estrella: carteras no lineales

Esta es la razón por la que existe el VaR de Montecarlo, y el único argumento que gana la reunión. El VaR paramétrico (delta-normal) aproxima cada posición como una recta: toma la delta de cada instrumento (su sensibilidad de primer orden al subyacente) y supone que la P&L es simplemente delta × movimiento, con movimientos extraídos de una campana normal. Eso está bien para una cartera de acciones simples, cuyo perfil de pago realmente es una recta. Es peligrosamente erróneo para las opciones.

Analogía. El VaR paramétrico dibuja la recta tangente a una curva y finge que la curva es la recta. Cerca del punto de contacto, la mentira es inofensiva. Allá en la cola —exactamente donde vive el VaR— la curva se ha despegado mucho de su tangente, y la recta os cuenta un cuento de hadas.

El perfil de pago de una opción se curva: tiene gamma, la curvatura de su valor según se mueve el subyacente (la propia tasa de cambio de la delta). Montecarlo no aproxima: en el paso 3 revalúa por completo cada opción a cada precio simulado, ejecutando el modelo de valoración real. Así que cuando un escenario lanza un movimiento violento, la P&L simulada refleja el verdadero perfil de pago curvo de la opción, gamma incluida. La cola de un libro con opciones —straddles vendidos, notas estructuradas, cualquier cosa convexa— sale bien en lugar de linealizada en un sinsentido.

Intuición resuelta. Estáis cortos en una put, delta $-0{,}5$ hoy, sobre una acción de $100. El VaR paramétrico ve un movimiento bajista del 10% y predice una pérdida de aproximadamente 0,5 × $10 = $5 por acción —en línea recta—. Pero a medida que la acción cae, la delta de la put se inclina hacia $-1$ (eso es la gamma en acción), así que la pérdida real se acelera más allá de $5, quizá a $8 o $9 por acción. Montecarlo, revaluando la put en los $90 simulados, ve esa pérdida acelerada. El delta-normal nunca lo hace: sigue montado en su tangente plana cayéndose por el precipicio, reportando un número cómodo mientras el libro real se desangra.

Convergencia y error estándar

Montecarlo da una respuesta distinta cada vez que lo ejecutáis, porque se construye sobre extracciones aleatorias. Lanzad 10.000 trayectorias hoy y 10.000 mañana y vuestra estimación de VaR oscilará un poco entre ellas. Esa oscilación es el error de muestreo, y el hecho central sobre él es cómo se encoge.

Definición. El error estándar de una estimación de Montecarlo cae como $1/\sqrt{M}$, donde $M$ es el número de trayectorias. En términos sencillos: para reducir el error a la mitad, hay que cuadruplicar las trayectorias. La precisión es cara: solo mejora con la raíz cuadrada del esfuerzo, así que el último dígito de precisión cuesta brutalmente más cómputo que el primero.

Analogía. Es como un sondeo. Una encuesta de 10.000 personas no es el doble de precisa que una de 5.000: es solo unas $\sqrt 2 \approx 1{,}4$ veces más precisa. Duplicar la muestra apenas mueve el margen de error; tenéis que cuadruplicarla para reducir ese margen a la mitad. Las trayectorias de Montecarlo son votantes, y el VaR es la elección.

Ejemplo resuelto. Supongamos que con $M = 10{.}000$ trayectorias vuestra estimación de VaR tiene un error estándar de muestreo de $1,0 millones. Subid a $M = 40{.}000$ —un aumento de 4×—. El error escala por $1/\sqrt{4} = 1/2$, así que cae a unos $0,5 millones. Cuadruplicad el trabajo, reducid el ruido a la mitad. ¿Queréis reducirlo otra vez a la mitad, hasta $0,25 millones? Eso es otro 4×, hasta 160.000 trayectorias. La factura de cómputo se dispara rápido.

Como la fuerza bruta es tan cara, los quants recurren a trucos de reducción de varianza —maneras de lograr la misma precisión con menos trayectorias—:

• Variantes antitéticas. Por cada escenario aleatorio que extraéis, usad también su imagen especular (cambiad el signo de los choques aleatorios). El par cancela parcialmente el ruido del otro, así que la media converge más rápido.
• Variantes de control. Apoyaos en una magnitud relacionada cuya respuesta conocéis exactamente (digamos, el VaR paramétrico de una versión simplificada) y usad el error conocido de esa para corregir vuestra estimación simulada.

No hace falta que implementéis esto hoy: basta con saber que existen, y que un buen motor alcanza una precisión objetivo con muchas menos trayectorias de las que el ingenuo recuento $1/\sqrt M$ exigiría.

Fortalezas y debilidades

Montecarlo es el método de VaR más flexible, punto. Podéis alimentarlo con cualquier distribución: una t de Student de colas gruesas en lugar de la normal de colas finas, asimétrica, con cambio de régimen, lo que encaje con los datos. Maneja la no linealidad (opciones, convexidad) mediante revaluación completa. Maneja la dependencia de trayectoria (opciones barrera, cualquier cosa cuyo pago dependa del recorrido, no solo del punto final) simulando trayectorias enteras. ¿Múltiples factores correlacionados? Solo ampliad la matriz de covarianzas. Nada más en la caja de herramientas del VaR es tan general.

Pero ese poder viene con dos pesados peajes.

El primero es el que muerde en la práctica: es solo tan bueno como el modelo que le dais. Un modelo normal con una $\sigma$ demasiado baja, una matriz de correlaciones obsoleta o una distribución de colas finas no produce un VaR vago o incierto: produce un número erróneo con confiada precisión. Diez mil escenarios bellamente ordenados extraídos de un mal modelo os dan diez mil mentiras bellamente ordenadas. El bonito histograma blanquea la mala suposición convirtiéndola en algo que parece riguroso.

El segundo es mundano pero real: consume mucho cómputo. La revaluación completa de un libro grande a lo largo de decenas de miles de trayectorias —a veces anidadas, si los propios instrumentos necesitan simulación para valorarse— puede significar millones de valoraciones por ejecución de VaR. El VaR histórico y el paramétrico son casi gratis en comparación.

Los tres métodos, uno al lado del otro

Ya tenéis los tres motores de VaR. Aquí está la chuleta que decide a cuál recurrir.

La lectura rápida: el paramétrico es la opción rápida y barata por defecto para libros lineales; el histórico es la opción ligera en suposiciones cuando confiáis en vuestra ventana de datos y vuestro libro no está locamente lleno de opciones; Montecarlo es el peso pesado que sacáis para libros no lineales, multifactor y de colas gruesas donde acertar con la cola merece el cómputo.

Juntándolo todo

El VaR de Montecarlo fabrica las mañanas que la realidad no os dará: elegid un modelo, lanzad $M$ escenarios aleatorios, revaluad por completo el libro en cada uno, ordenad las P&L y leed el percentil $(1-c)$ de las pérdidas. Su superpoder es la no linealidad —la revaluación completa captura la curvatura de la gamma que el delta-normal lineariza y descarta— y su flexibilidad se extiende a cualquier distribución, estructura de correlación o dependencia de trayectoria que podáis modelar. Su precio es el cómputo y, de forma más insidiosa, la dependencia total del modelo de entrada: alimentadlo con basura y os devuelve una mentira bellamente renderizada y de alta confianza.

A continuación —Déficit Esperado (CVaR)— enfrentamos el defecto más profundo del VaR: os dice la línea que rara vez cruzáis, pero no dice nada sobre lo malo que se pone una vez que la cruzáis. Un VaR de $10M es idéntico tanto si el peor 1% promedia una pérdida de $11M como un descalabro de $100M. El Déficit Esperado responde a la pregunta que el VaR esquiva —dado que hemos rebasado el umbral, ¿cuál es la pérdida media en esa cola?— y es exactamente la región sombreada que habéis estado observando a la izquierda de cada línea de VaR.