VaR por simulación histórica

Ya sabéis lo que dice el VaR: un horizonte, un nivel de confianza y una cifra en dinero — “con un 99% de confianza no perderemos más de $X mañana.” Esa es la frase. Esta lección trata de la forma más honesta de calcularlo de verdad, y casi no requiere matemáticas. Sin campana de Gauss, sin álgebra, sin letras griegas. Solo una pila de los días reales pasados de la cartera, ordenados de peor a mejor, y un dedo apuntando al correcto.

Se llama simulación histórica, y toda su filosofía cabe en un papelito de galleta de la fortuna: la mejor estimación de lo malo que puede ser mañana es mirar lo malo que fue realmente el pasado reciente. Donde el método paramétrico (siguiente lección) supone que los rendimientos siguen una distribución ordenada y hace álgebra sobre ella, la simulación histórica se niega a suponer nada. Deja que los datos hablen — colas gruesas, asimetría, racimos feos y todo lo demás.

Una rápida comprobación de instinto antes de abrir la caja de herramientas.

Reproduce el pasado

Analogía. Imaginad que queréis saber cuánto frío puede hacer mañana por la mañana. Un enfoque: suponer que las temperaturas siguen una bonita campana de Gauss, estimar su media y dispersión, y calcular. El otro enfoque: sacar vuestro diario meteorológico de los últimos 250 días, alinear la temperatura mínima de cada mañana de la más fría a la más cálida, y decir “el 5% de las mañanas más frías estuvieron por debajo de −3 °C, así que planificaré para −3 °C.” La simulación histórica es el método del diario meteorológico, aplicado al dinero.

Definición. El VaR por simulación histórica toma las pérdidas y ganancias diarias realizadas de la cartera durante los últimos $N$ días, trata ese histograma empírico como si fuera la distribución del rendimiento de mañana, y lee el VaR directamente del percentil correspondiente de ese histograma. No hay ninguna curva ajustada. El conjunto de puntos es el modelo.

Hay una sutileza que separa a los profesionales de los aficionados, así que asentadla ya: no tomáis el P&L que vuestra cartera realmente ganó cada día pasado. Tomáis la cartera de hoy y os preguntáis qué habría ganado o perdido si los movimientos de mercado de cada día pasado volvieran a ocurrir. Aplicáis los rendimientos históricos — los movimientos porcentuales de cada factor de riesgo — a vuestras posiciones actuales. Esta es la diferencia entre “¿qué gané el marzo pasado?” y “¿qué ganaría mi libro si los movimientos del marzo pasado se repitieran mañana?” Lo segundo es lo que queréis, porque lo segundo es el riesgo que estáis cargando ahora.

Así que el histograma empírico que ordenáis es un histograma de P&L hipotético para el libro de hoy bajo el movimiento de mercado de cada día pasado. La misma forma de idea, mucho más afilada en la práctica.

La receta, paso a paso

Tres pasos. Ese es genuinamente todo el algoritmo.

1. Reunir $N$ escenarios históricos. Para cada uno de los últimos $N$ días de cotización (una elección habitual es $N = 250$, aproximadamente un año bursátil, o $N = 500$ para dos), registrad el movimiento porcentual de cada factor de riesgo, aplicad esos movimientos a las posiciones de hoy, y sumad el P&L hipotético. Ahora tenéis $N$ números.
2. Ordenarlos de menor a mayor. La peor pérdida a la izquierda, la mejor ganancia a la derecha.
3. Leer el percentil. El VaR a la confianza $c$ es la pérdida situada en la observación $\lfloor(1-c)\cdot N\rfloor$-ésima peor. Con $c = 0{,}99$ y $N = 250$, eso es $\lfloor 0{,}01 \times 250\rfloor = 2$ — vais al día más o menos 2.º peor y leéis la pérdida allí.

La isla de abajo es esa receta hecha tangible. Veinte resultados de P&L diario realizados, ordenados de peor (rojo, a la izquierda) a mejor (azul, a la derecha). Deslizad el nivel de confianza y mirad cómo la línea discontinua avanza hacia la cola de pérdidas: más confianza corta más hondo, más adentro de los desastres.

Elegir el percentil, a mano

Lo único que siempre confunde a la gente es qué observación ordenada coger. Recorramos tres casos:

• $N = 20$ observaciones, 95% de confianza. $(1-0{,}95)\times 20 = 1$. Así que el VaR es la observación 1.ª peor — el único día más brutal de la muestra. Cortad el peor 5% de 20 días, y el 5% de 20 es exactamente 1 día.
• $N = 100$, 99% de confianza. $(1-0{,}99)\times 100 = 1$. El día 1.º peor otra vez. El peor 1% de 100 días es el único peor.
• $N = 100$, 95% de confianza. $(1-0{,}95)\times 100 = 5$. El día 5.º peor: cuatro días fueron peores, y estáis leyendo la pérdida en la frontera entre “el peor 5%” y el resto.

Cuando $(1-c)\cdot N$ no es un número entero, estáis entre dos observaciones — digamos el 2,5.º peor. Los profesionales entonces interpolan entre los valores ordenados vecinos (la interpolación lineal es la convención habitual; algunas mesas simplemente redondean al más cercano, o conservadoramente toman el peor de los dos). La regla exacta es una elección de la casa, pero la interpolación entre estadísticos de orden adyacentes es lo estándar. No perdáis el sueño por ello — con $N = 250$ desplaza la cifra en céntimos.

Ejemplo trabajado: un libro de $10M

Supongamos que gestionáis una cartera de $10.000.000. Habéis calculado el P&L diario hipotético del libro de hoy bajo los movimientos de mercado de cada uno de los últimos 10 días de cotización ($N$ minúsculo, solo para mantener la aritmética a la vista), y los habéis ordenado de menor a mayor — peor rendimiento arriba:

Convertir cada rendimiento a dólares es solo multiplicar por $10M: un día de $-1{,}7\%$ significa $-0{,}017 \times 10{,}000{,}000 = -170{,}000$, es decir, −$170.000. Ahora elegid los percentiles.

VaR al 95%. $(1-0{,}95)\times 10 = 0{,}5$. Eso está entre la observación 0.ª y la 1.ª — efectivamente el peor día. Leyendo el rango 1: una pérdida del $3{,}8\%$, es decir, $380.000. (Algunas convenciones interpolan hacia el extremo peor; con la cola más pequeña posible, el 1.º peor es la lectura natural.) En román paladino: “Estamos 95% seguros de que no perderemos más de $380.000 mañana.”

Ahora hagámoslo concreto con un corte más limpio. Digamos en cambio $N = 20$ al 95%: $(1-0{,}95)\times 20 = 1$, así que el VaR es el 1.º peor de 20 días. Con $N = 100$ al 95%, sería el 5.º peor — y si ese 5.º peor día fuera, digamos, $-1{,}7\%$, vuestro VaR al 95% sería $170.000.

VaR al 99% con $N = 100$. $(1-0{,}99)\times 100 = 1$ → el 1.º peor de 100 días. Si ese único peor día fuera $-3{,}8\%$, vuestro VaR al 99% es $0{,}038 \times 10{,}000{,}000 =$ $380.000. Fijaos en el patrón que muerde más tarde: al 99% con solo 100 días, toda vuestra estimación de VaR descansa sobre una observación — el peor día de la ventana. Perded o ganad ese único día y la cifra da un bandazo.

Por qué se la adora

A pesar de toda su sencillez, la simulación histórica se gana su sitio, y las mesas de riesgo la adoran por tres razones concretas.

Sin suposición distribucional. El método paramétrico tiene que suponer una forma — casi siempre la campana normal — y los rendimientos financieros reales famosamente no son normales. La simulación histórica esquiva toda la cuestión. Nunca dice “los rendimientos son normales” ni nada más; solo usa los puntos que tenéis. Si la verdad es grumosa, asimétrica y mezquina, los puntos también son grumosos, asimétricos y mezquinos.

Captura las verdaderas colas gruesas, asimetría y correlaciones de la ventana — gratis. Este es el superpoder silencioso. Los mercados se desploman más fuerte y más a menudo de lo que predice una campana de Gauss (colas gruesas), las pérdidas y ganancias no son simétricas (asimetría), y los activos se mueven juntos en el pánico (picos de correlación). Un modelo paramétrico tiene que ser informado de cada una de estas, penosamente. La simulación histórica las obtiene todas automáticamente, porque si esas características estaban presentes en los últimos $N$ días, están ahí mismo en el P&L ordenado. La correlación entre vuestras acciones y vuestros bonos en un día de desplome no se estima — está horneada en el movimiento conjunto de ese día, que reprodujisteis de una tacada.

Es sencilla de explicar y auditar. Podéis sentar a un regulador, a un miembro del consejo o a un analista junior y explicárselo en dos frases: “estos son los últimos 250 días; los ordenamos; aquí está el malo que nos preocupa.” Sin matriz de covarianzas, sin descomposición de Cholesky, sin letras griegas. Cuando el VaR tiene que sobrevivir a una auditoría — y bajo Basilea la tiene — ser explicable vale muchísimo.

Dónde muerde

Ahora las verdades duras. La gran virtud de la simulación histórica — “el futuro se parece al pasado elegido” — es también su defecto más profundo, porque a veces el futuro enfáticamente no lo hace.

Cuatro modos de fallo específicos, cada uno digno de nombrarse:

El compromiso de la longitud de ventana. ¿Cuántos días, $N$, deberíais usar? Es un dilema genuino sin respuesta gratis:

Las ventanas cortas son nerviosas y estadísticamente delgadas en la cola (el lugar que más os importa); las ventanas largas son estables pero lentas, mezclando regímenes que ya no existen. No hay un $N$ universalmente correcto — es una cuestión de juicio sobre cuán rápido rota el régimen de riesgo de vuestro mercado.

Ponderar por igual días viejos y nuevos. La simulación histórica simple trata un movimiento de hace 250 días como exactamente igual de relevante que el de ayer. Pero los mercados tienen memoria — la volatilidad reciente predice la volatilidad a corto plazo (la volatilidad se agrupa en racimos). Dar a un día somnoliento de hace diez meses el mismo voto que a uno turbulento de esta mañana infravalora el riesgo cuando se gesta el problema. El arreglo estándar es la variante ponderada exponencialmente (o “BRW” — Boudoukh–Richardson–Whitelaw): ponderar más los días recientes y dejar que los viejos decaigan, de modo que el percentil se apoye en lo que es relevante ahora. La misma receta, orden ponderado.

Nunca puede producir una pérdida mayor que el peor día de la ventana. Esta es estructural y vale la pena decirla claramente: el VaR histórico está acotado superiormente por la única peor observación de vuestra muestra. Si el peor día de vuestra ventana de 250 días fue $-4\%$, vuestro VaR histórico no puede superar el $4\%$ — ni al 99%, ni al 99,9%, ni nunca. El método literalmente nunca ha visto nada peor, así que no puede imaginar nada peor. Para una cartera cuya verdadera catástrofe es un salto del 10% que simplemente no ha ocurrido todavía en vuestra ventana, la simulación histórica os dirá silenciosamente que todo va bien. (Por esto exactamente existen el Expected Shortfall y Monte Carlo — lecciones posteriores.)

El efecto fantasma / eco. Imaginad un monstruoso día de $-9\%$ sentado en vuestra ventana de 250 días. Durante 250 días sostiene vuestro VaR — un recordatorio permanente del dolor. Luego, el día 251, sale rodando de la ventana. Nada cambió en el mercado, pero vuestro VaR de repente cae bruscamente, puramente porque un mal recuerdo envejeció fuera de la muestra. Este salto artificial es el efecto fantasma (o eco): el VaR moviéndose por razones de calendario en lugar de razones de mercado. La ponderación exponencial lo suaviza (el día ya se estaba desvaneciendo), pero la simulación histórica simple con ponderación uniforme tiene un acantilado duro y discontinuo el día en que un gran movimiento sale.

Cuándo usarla

Recurrid a la simulación histórica cuando los factores de riesgo de vuestra cartera tengan un historial de precios decente y relevante y queráis una cifra transparente, ligera en suposiciones, que podáis defender en una auditoría — es el primer motor de VaR por defecto en la mayoría de los bancos exactamente por esa razón. Brilla cuando el pasado reciente se parece genuinamente al futuro próximo (regímenes estables) y cuando capturar correlaciones desordenadas del mundo real importa más que modelar la cola lejana con precisión.

Desconfiad — y recurrid en su lugar a métodos paramétricos o Monte Carlo — cuando necesitéis estresar más allá de cualquier cosa en vuestra ventana (verdaderas catástrofes de cola), cuando mantengáis instrumentos nuevos sin historial de precios, o cuando estéis en un cambio de régimen donde el pasado reciente engaña activamente. La jugada honesta en una mesa real es ejecutar más de un método y preocuparse mucho cuando discrepan.

La simulación histórica es la primera respuesta honesta y ligera en suposiciones — pero es rehén de su ventana, ciega más allá del peor día que ha visto, y estadísticamente delgada en la cola. La siguiente lección, VaR paramétrico (varianza–covarianza), cambia ese registro empírico por una suposición confiada — los rendimientos son normales — y recompra velocidad, suavidad y la capacidad de extrapolar más allá de cualquier cosa que hayáis presenciado. Si esa suposición es un regalo o una mentira es exactamente la pregunta que interrogaremos.