El VaR os da un número y una omisión silenciosa y peligrosa. «Hay un 99 % de probabilidad de que mañana no perdáis más de 1 M$» suena tranquilizador, hasta que os planteáis la única pregunta que de verdad importa en un mal día: y en el 1 % de días en que sí cruzo esa línea, ¿hasta qué punto se pone fea la cosa? El VaR se encoge de hombros. Traza una raya en la arena y se niega a mirar más allá. El déficit esperado es la respuesta exacta a esa pregunta, y es la razón por la que los reguladores acabaron despidiendo al VaR de su puesto principal.
Ya sabéis qué es el VaR y las tres formas de calcularlo (histórico, paramétrico, Montecarlo). Esta lección trata sobre la medida de riesgo que vive más allá de la línea del VaR: su definición, por qué se comporta mejor matemáticamente y la aritmética trabajada para hacerla concreta.
Antes de leer, adivina
Dos carteras informan ambas de un VaR a 1 día al 99 % de exactamente 1 M$. ¿Qué afirmación está garantizada como verdadera?
El punto ciego del VaR: el borde del precipicio
Analogía. El VaR es un medidor de crecidas que promete que el río se mantendrá por debajo de la coronación del dique 99 de cada 100 días. Útil, pero el día número 100 no os dice nada sobre si el agua roza un centímetro por encima del muro o se traga el pueblo entero. La altura del dique es el umbral; la profundidad de la inundación más allá es una medición completamente distinta, y es la que decide si os habéis incomodado o ahogado.
Formalmente, el VaR a un nivel de confianza es un cuantil: el nivel de pérdida que superaréis solo el de las veces. Es, por construcción, el mejor de los peores casos: la pérdida más pequeña de la cola, no una típica. Todo lo que hay más profundo en la cola se resume como «…y peor», y esos puntos suspensivos son donde las carteras van a morir.
Aquí está la trampa en una sola imagen: tomad dos libros con un VaR al 99 % idéntico.
| VaR al 99 % | Forma de la cola más allá | Pérdida media en un día de superación | |
|---|---|---|---|
| Cartera A (cola fina) | 1,0 M$ | las pérdidas se agrupan justo pasado 1 M$ | ~1,1 M$ |
| Cartera B (cola gruesa) | 1,0 M$ | acechan pérdidas raras pero enormes | ~3,5 M$ |
Mismo VaR, peligro radicalmente distinto. Un gestor de riesgos que mirase solo el VaR calificaría a A y B como igual de arriesgadas y las dimensionaría igual. El día en que la cola muerde, el escritorio que opera B es el que da explicaciones al consejo. Todo el punto ciego del VaR es la severidad condicional, y una medida que lo arregle tiene que promediar sobre la cola, no solo localizar su borde.
Déficit esperado, definido
Analogía. Si el VaR es «cómo de alto es el dique», el déficit esperado es «en los días de inundación, cómo de profunda es el agua de media.» No pregunta si os desbordáis: asume que sí, e informa del daño típico una vez estáis bajo el agua.
Definición. El déficit esperado a un nivel de confianza —también llamado CVaR (VaR condicional), esperanza de cola condicional o pérdida esperada en cola— es la pérdida media sobre la peor fracción de los resultados. En palabras: condicionad al hecho de que habéis superado el VaR, y luego tomad la media de esas pérdidas.
Así, el ES al 95 % promedia el peor 5 % de los resultados de pérdida; el ES al 99 % promedia el peor 1 %. Donde el VaR apunta al borde de la cola, el ES integra sobre la cola entera y os entrega su centro de masa. Ese único cambio —de «borde del precipicio» a «profundidad media del cañón que hay debajo»— lo es todo.
La línea continua es el VaR: el cuantil de pérdida a vuestro nivel de confianza. La región sombreada a su izquierda es la cola de pérdidas, y el déficit esperado es su profundidad media. Subid el deslizador de confianza y la línea avanza más adentro de la cola mientras el ES sigue la media de todo lo que queda más allá.
Leed el gráfico con detenimiento: la línea es el VaR, un único punto. El área sombreada es el conjunto de resultados de superación, y el ES es su media, motivo por el cual la lectura del ES siempre se sitúa a la izquierda de (peor que) la lectura del VaR. No son números rivales; el ES es literalmente un resumen de la región en la que el VaR se niega a entrar.
Fijad la definición.
Pick the right option for each blank, then check.
El déficit esperado a un nivel de confianza c es la pérdida sobre la peor fracción de los resultados. También se conoce como , y como promedia una región que comienza en la línea del VaR, el ES siempre es VaR.
Ejemplo trabajado: VaR frente a ES sobre una muestra ordenada
Los números lo hacen evidente. Tomad un libro de 10 M$ y los 100 peores-a-mejores rendimientos diarios de una ventana histórica. Solo necesitamos la peor cola. Aquí están los 5 peores días, como pérdidas porcentuales:
| Rango (peor primero) | Pérdida (% del libro) | Pérdida en dólares |
|---|---|---|
| 1 | 6,0 % | $600k |
| 2 | 5,2 % | $520k |
| 3 | 4,8 % | $480k |
| 4 | 4,1 % | $410k |
| 5 | 3,9 % | $390k |
VaR al 95 %: el umbral. Con 100 observaciones, el peor 5 % son los 5 peores días, así que el VaR al 95 % es la pérdida que superáis solo el 5 % de las veces: la 5.ª peor pérdida, el miembro menos malo de la cola.
ES al 95 %: la media de la cola. El ES promedia los cinco peores días, no solo el del límite:
Así, los mismos datos arrojan un VaR al 95 % de 390k$ pero un ES al 95 % de 480k$, en torno a un 23 % mayor. El VaR vio solo el límite de 390k$; el ES sintió el peso completo de los días de 600k$ y 520k$ arrastrando la media hacia arriba. Y fijaos en la regla de hierro que esto ilustra: como el ES promedia números que son todos al menos tan grandes como el VaR,
La brecha entre ambos es un medidor del grosor de la cola: una cola fina mantiene el ES apenas por encima del VaR; una cola gruesa la dispara de par en par.
Los cuatro peores días de un libro de 20 M$ (el peor 4 % de una ventana de 100 días) perdieron 8 %, 6 %, 5 % y 3 %. ¿Cuál es el déficit esperado al 96 % en dólares?
Por qué el VaR no es «coherente»: falla la subaditividad
El ES no solo ve más de la cola: también está mejor comportado matemáticamente. Para decirlo con precisión necesitamos la idea de medida de riesgo coherente, definida por cuatro axiomas que un número de riesgo sensato debería cumplir. Mantengámoslos breves:
- Monotonía. Si la cartera A siempre pierde al menos tanto como B, entonces A es al menos tan arriesgada. (Peores resultados → mayor número de riesgo.)
- Subaditividad. . Fusionar dos libros no puede fabricar riesgo de la nada: la diversificación nunca aumenta el riesgo total.
- Homogeneidad positiva. Doblad la posición, doblad el riesgo: .
- Invarianza por traslación. Añadir una cantidad fija de efectivo sin riesgo reduce el número de riesgo exactamente en esa misma cantidad.
El que sostiene todo es la subaditividad, y el VaR la viola. Aquí está el famoso contraejemplo.
Mantened dos bonos digitales (de todo o nada) separados, A y B. Cada uno paga un cupón pequeño pero tiene una probabilidad del 4 % de una gran pérdida por impago, y los dos impagos son independientes. Calculad el VaR al 95 % de cada uno por separado:
- A en solitario solo tiene un 4 % de probabilidad de su gran pérdida, y , así que el resultado de impago queda fuera de la cola al 95 %. Su VaR al 95 % captura solo el pequeño resultado sin impago: minúsculo. Lo mismo para B: es pequeño.
Ahora combinadlos. Con dos impagos independientes del 4 %, la probabilidad de que al menos uno impague es , cómodamente más del 5 %. Así que ahora un resultado de impago sí cae dentro de la cola combinada al 95 %, y el VaR al 95 % de la cartera salta para capturar una pérdida por impago completa:
El VaR acaba de declarar que el libro diversificado es más arriesgado que las dos apuestas en solitario sumadas. Eso no es solo raro: es del revés. Una medida de riesgo que castiga la diversificación se puede manipular: dividid una posición fea en entidades legales hasta que la probabilidad de cola de cada una se cuele por debajo del umbral, y el VaR informará alegremente de menos riesgo. El ES es demostrablemente subaditivo (es una medida coherente), así que nunca puede producir esta paradoja: diversificad, y el ES baja o se mantiene plano, exactamente como exige la intuición.
La paradoja de la diversificación
El VaR puede informar de que dividir un libro arriesgado en dos reduce el riesgo total, o de que combinar dos libros lo eleva por encima de la suma de sus partes. Ambas son violaciones de la subaditividad, y ambas premian el comportamiento equivocado, dejando que un escritorio «diversifique» su VaR a la baja mientras el riesgo de cola real queda intacto. El déficit esperado es subaditivo por construcción, así que fusionar libros nunca infla el ES. Cuando un número de riesgo os dice que la diversificación empeoró las cosas, el roto está en el número, no en la diversificación.
Emparejad cada axioma de coherencia con lo que garantiza.
Pick a term, then click its definition.
¿Qué afirmación sobre el déficit esperado frente al VaR es una TRAMPA, es decir, suena bien pero en realidad es falsa?
Por qué se pasaron los reguladores
Esto no es solo teoría: reescribió la regulación bancaria. Bajo el FRTB de Basilea (Revisión Fundamental de la Cartera de Negociación), la carga de capital por riesgo de mercado se alejó del VaR al 99 % y se trasladó al déficit esperado al 97,5 %. El comité dijo lo que se callaba: el VaR «no captura el riesgo de cola» y no es coherente, mientras que el ES ve la forma de la cola y premia la diversificación correctamente.
¿Por qué 97,5 % de ES en concreto, en lugar de igualar el viejo número del 99 %? Calibración. Para una distribución normal, el ES al 97,5 % ≈ VaR al 99 %, así que el cambio fue aproximadamente neutral en capital para libros bien comportados y de colas finas, evitando un salto disruptivo en el capital exigido el primer día.
Los dientes aparecen fuera de lo normal. Para un libro de colas gruesas, el ES al 97,5 % es estrictamente más duro que el VaR al 99 %, porque el ES integra la cola pesada que el VaR salta por encima. Así, el régimen es suave con las carteras corrientes y muerde exactamente donde debe: los libros atiborrados de riesgo de cola que la vieja carga del VaR dejaba pasar.
Por qué el ES al 97,5 % ≈ VaR al 99 % para una normal
Para una normal estándar, el VaR al 99 % se sitúa en el cuantil . El ES al 97,5 % promedia todo lo que queda más allá del cuantil , y esa media condicional resulta ser unas desviaciones típicas dentro de la cola. Los dos aterrizan casi uno encima del otro, que es exactamente por lo que Basilea pudo cambiar la medida sin reescalar el capital de cada banco de la noche a la mañana. La divergencia solo aparece cuando la distribución deja de ser normal: añadid colas gruesas, y el ES al 97,5 % empuja más profundo que el VaR al 99 %, capturando un riesgo que la vieja carga se perdía.
La pega: el ES es más difícil de contrastar
El ES no es una victoria gratis. Su única debilidad genuina es el contraste retrospectivo (backtesting). Comprobar un modelo de VaR es limpio: solo contáis con qué frecuencia las pérdidas realizadas superaron la línea del VaR y lo comparáis con la tasa de superación esperada, una prueba sencilla, robusta y basada en recuentos (tema de la próxima lección).
El ES es una media condicional de eventos raros, y eso es algo más resbaladizo de validar. No estáis contando cruces; estáis estimando la magnitud media de las pérdidas en el puñado de días en que os desbordasteis, y un puñado es todo lo que tenéis, casi por definición. Con tan pocas observaciones de cola, la estimación es ruidosa y construir una prueba limpia de aprobado/suspenso es genuinamente difícil. Esta dificultad de contraste es la principal objeción práctica al ES, y es la razón por la que el VaR nunca abandonó del todo el edificio: los reguladores fijan el capital con el ES pero siguen apoyándose en el pulcro recuento de superaciones del VaR para vigilar si el modelo subyacente es bueno. Las dos medidas acaban siendo socias, no rivales.
Big picture
Déficit esperado: el panorama completo
- Déficit esperado (CVaR)
- Qué es
- Pérdida media en el peor (1−c) de los resultados
- E[L | L ≥ VaR]: media de la cola pasado el VaR
- Alias: CVaR, VaR condicional, pérdida esperada en cola
- ES ≥ VaR siempre
- El punto ciego del VaR
- El VaR es el borde de la cola, no su profundidad
- El mismo VaR puede ocultar colas radicalmente distintas
- El ES ve la forma de la cola; el VaR no
- Coherencia
- Cuatro axiomas: monótono, subaditivo, homogéneo, invariante por traslación
- El VaR falla la subaditividad
- El VaR puede castigar la diversificación
- El ES es coherente: diversificad y el ES cae o se mantiene
- Regulación
- FRTB de Basilea: del VaR al 99 % al ES al 97,5 %
- ES al 97,5 % ≈ VaR al 99 % para una normal
- El ES es estrictamente más duro en colas gruesas
- La pega
- Media condicional de eventos raros
- Más difícil de contrastar que el VaR
- El recuento de superaciones del VaR aún vigila el modelo
- Qué es
Repaso: déficit esperado
El déficit esperado a un nivel de confianza c se describe mejor como:
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A continuación —Contraste retrospectivo del VaR (y los límites de todo el marco)— ponemos estos modelos a juicio. Contaremos superaciones frente a la expectativa con las pruebas de Kupiec y Christoffersen, preguntaremos si las violaciones se agrupan (un modelo que falla todo a la vez es peor que uno que falla al azar) y nos enfrentaremos a los límites honestos de todo número de tipo VaR: solo es tan bueno como la historia y los supuestos que le disteis, y el peor día siempre es el que vuestra muestra nunca vio.