Agrupamiento de volatilidad y GARCH

El ARIMA modeló la media de los rendimientos y supuso que la varianza era constante. Esa premisa es espectacularmente falsa. Mira fijamente cualquier gráfico de rendimientos y lo verás: tramos de plácidos oleajes pequeños, luego ráfagas de oscilaciones violentas, luego calma de nuevo. Los grandes movimientos se agrupan con los grandes movimientos; la calma con la calma. Esto es el agrupamiento de volatilidad, y es uno de los hechos empíricos más robustos de todas las finanzas — y uno que la familia ARCH/GARCH se construyó para capturar. Modelarlo es como prevés el riesgo de mañana, valoras opciones y dimensionas posiciones. Si el ARIMA es la gramática de la media, el GARCH es la gramática de la varianza.

El agrupamiento de volatilidad: el hecho estilizado

Analogía. La volatilidad se comporta como el tiempo meteorológico, no como el clima. No puedes predecir si mañana traerá lluvia o sol (la dirección), pero sí puedes predecir que se avecina una temporada de tormentas — los días turbulentos vienen en rachas, y los días de calma vienen en rachas. Los mercados son iguales: a un día de pánico suelen seguir más días de pánico, y a un día somnoliento más días somnolientos.

La evidencia. Recuerda de la lección de autocorrelación la firma reveladora: la ACF de los rendimientos es casi plana (dirección impredecible), pero la ACF de los rendimientos al cuadrado (o absolutos) es fuertemente positiva y decae despacio a lo largo de muchos retardos. Ese lento decaimiento en los rendimientos al cuadrado es la huella del agrupamiento de volatilidad — el rendimiento al cuadrado de hoy ayuda a predecir el de mañana.

Por qué importa. Un modelo de riesgo que supone varianza constante subestimará gravemente el riesgo en regímenes turbulentos (y lo sobreestimará en los de calma). Durante una crisis, la volatilidad “media” es inútil; necesitas la volatilidad actual, elevada. El agrupamiento de volatilidad significa que la volatilidad reciente es tu mejor guía de la volatilidad a corto plazo — y eso es estructura prevedecible que vale dinero de verdad en la gestión de riesgo y la valoración de opciones.

ARCH: varianza que depende de shocks recientes

El avance (Robert Engle, 1982, con el tiempo un Nobel) fue simple y radical: dejar que la varianza misma sea función de datos recientes. El modelo ARCH — Heterocedasticidad Condicional AutoRregresiva — dice que la varianza de hoy depende del tamaño de los shocks recientes.

Desempaquetando el nombre: Heterocedasticidad = varianza no constante. Condicional = dado el pasado reciente. Autorregresiva = la varianza se alimenta de su propia historia reciente. En conjunto: la varianza, condicionada a los rendimientos recientes, varía en el tiempo y depende de sus propias entradas recientes.

Definición. Un modelo ARCH(1) fija la varianza condicional como una base más una porción del último shock al cuadrado: $\sigma_t^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2,$ donde $\varepsilon_{t-1}$ es el shock del rendimiento anterior, $\omega > 0$ es una base y $\alpha \geq 0$. El mecanismo: un gran movimiento el período pasado ($\varepsilon_{t-1}^2$ grande) empuja al alza la varianza de este período — agrupamiento, integrado de raíz.

La limitación. El ARCH puro necesita muchos términos al cuadrado retardados (ARCH(q) con q grande) para capturar el lento y persistente decaimiento que muestra la volatilidad real. Eso es engorroso y sobreparametrizado — que es justo el problema que resuelve el GARCH.

GARCH(1,1): el caballo de batalla

El arreglo — Tim Bollerslev, 1986 — fue añadir un término que deja a la varianza alimentarse de su propio valor anterior, no solo de shocks pasados. Eso es GARCH (ARCH Generalizado), y la versión que domina la práctica es GARCH(1,1).

Definición. $\sigma_t^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2 + \beta\,\sigma_{t-1}^2.$ Tres fuerzas fijan la varianza de mañana:

• $\omega$ — una base constante (el ancla a largo plazo).
• $\alpha\,\varepsilon_{t-1}^2$ — la reacción al último shock: cuánto sacude la volatilidad una sorpresa fresca (el término de “noticias”).
• $\beta\,\sigma_{t-1}^2$ — la persistencia de la varianza de ayer: cuánto se traslada la volatilidad elevada (el término de “memoria”).

Esta recursión es enormemente eficiente. Como $\sigma_{t-1}^2$ depende a su vez de $\sigma_{t-2}^2$, y así sucesivamente, el GARCH(1,1) contiene implícitamente una suma ponderada infinita de todos los shocks al cuadrado pasados — capturando el lento decaimiento para el que el ARCH puro necesitaba decenas de términos, con solo tres parámetros. Esa parsimonia es por la que el GARCH(1,1) se convirtió en el estándar.

Ejemplo resuelto — una actualización. Supón que $\omega = 0,00001$, $\alpha = 0,08$, $\beta = 0,90$. La varianza de ayer fue $\sigma_{t-1}^2 = 0,0004$ (una vol diaria de $\sqrt{0,0004} = 0,02 = 2\%$), y el shock del rendimiento de ayer fue un grande $\varepsilon_{t-1} = -0,03$ (un día del $-3\%$, así que $\varepsilon_{t-1}^2 = 0,0009$). Entonces: $\sigma_t^2 = 0,00001 + 0,08(0,0009) + 0,90(0,0004) = 0,00001 + 0,000072 + 0,00036 = 0,000442.$ La previsión de vol de hoy es $\sqrt{0,000442} \approx 0,021 = 2,1\%$ — el gran movimiento subió la volatilidad esperada. Un día de calma ($\varepsilon_{t-1} = 0$) daría en cambio $\sigma_t^2 = 0,00001 + 0 + 0,00036 = 0,00037$, vol $\approx 1,92\%$ — la volatilidad derivando de vuelta hacia abajo. Ese comportamiento de subir-con-shock, decaer-con-calma es el agrupamiento.

Persistencia y la varianza a largo plazo

La magnitud más importante de un GARCH ajustado es la suma $\alpha + \beta$ — la persistencia.

Qué controla. $\alpha + \beta$ mide cuán despacio se apaga un shock de volatilidad. Para los datos diarios típicos de renta variable suele rondar $0,95$–$0,99$ — muy persistente: un pico de volatilidad tarda semanas en desvanecerse. Cuanto más cerca de 1, más perdura la turbulencia.

La varianza incondicional (a largo plazo). Siempre que $\alpha + \beta < 1$, la varianza es reversora a la media y se asienta hacia un nivel a largo plazo: $\bar{\sigma}^2 = \frac{\omega}{1 - \alpha - \beta}.$ Este es la volatilidad “climática” a la que el proceso revierte entre tormentas. Fíjate en el paralelismo con la media a largo plazo del AR(1) $c/(1-\phi)$ — misma estructura, aplicada a la varianza.

Ejemplo resuelto — el ancla a largo plazo. Con $\omega = 0,00001$, $\alpha = 0,08$, $\beta = 0,90$: persistencia $= 0,98$, y $\bar{\sigma}^2 = \frac{0,00001}{1 - 0,98} = \frac{0,00001}{0,02} = 0,0005,$ así que la vol diaria a largo plazo $= \sqrt{0,0005} \approx 0,0224 = 2,24\%$ (anualizada, $\times\sqrt{252} \approx 35,5\%$). La previsión de hoy del $2,1\%$ queda justo por debajo de este ancla y derivará de vuelta hacia ella a medida que vuelva la calma.

Prever la varianza futura

La recompensa del GARCH es una estructura temporal de volatilidad — una previsión no solo para mañana sino para cualquier horizonte.

A un paso es directa de la ecuación: $\sigma_{t+1}^2 = \omega + \alpha\varepsilon_t^2 + \beta\sigma_t^2$, usando el shock y la varianza conocidos de hoy.

A varios pasos es donde aparece la reversión a la media. La previsión a $h$ pasos tira geométricamente desde la varianza de hoy hacia el ancla a largo plazo: $E[\sigma_{t+h}^2] = \bar{\sigma}^2 + (\alpha + \beta)^{h-1}\big(\sigma_{t+1}^2 - \bar{\sigma}^2\big).$ La brecha entre la varianza actual y la de largo plazo se encoge en un factor de $(\alpha + \beta)$ cada paso. Persistencia alta → convergencia lenta → la vol elevada de hoy importa muy adentro del futuro. Persistencia baja → convergencia rápida → la previsión vuelve de golpe al ancla deprisa.

Ejemplo resuelto — la estructura temporal de volatilidad. Usando $\bar{\sigma}^2 = 0,0005$, $\alpha + \beta = 0,98$ y una $\sigma_{t+1}^2 = 0,0009$ actual elevada (vol $\approx 3\%$, en plena crisis):

• 1 día: $0,0009$ → vol $3,00\%$.
• 10 días: $0,0005 + 0,98^{9}(0,0009 - 0,0005) = 0,0005 + 0,834 \times 0,0004 = 0,000834$ → vol $\approx 2,89\%$.
• 50 días: $0,0005 + 0,98^{49}(0,0004) = 0,0005 + 0,372 \times 0,0004 = 0,000649$ → vol $\approx 2,55\%$.
• 250 días: $0,0005 + 0,98^{249}(0,0004) \approx 0,0005 + 0,0066\times 0,0004 \approx 0,000503$ → vol $\approx 2,24\%$ (de vuelta en el ancla).

La previsión se desliza suavemente desde el nivel de crisis de hoy de vuelta hacia el clima a largo plazo — exactamente la forma que permite a una mesa de riesgo decir “elevada ahora, normalizándose a lo largo del trimestre”.

Recapitulando

El agrupamiento de volatilidad — tramos turbulentos y de calma que se agrupan en rachas — es el hecho estilizado robusto de que los rendimientos tienen una ACF de nivel plana pero una ACF de rendimientos al cuadrado fuertemente persistente: la magnitud es prevedecible aunque la dirección no lo sea. El ARCH capturó esto dejando que la varianza de hoy reaccione al último shock al cuadrado ($\sigma_t^2 = \omega + \alpha\varepsilon_{t-1}^2$), pero necesitaba demasiados retardos. El GARCH(1,1) lo arregló añadiendo un término de persistencia, $\sigma_t^2 = \omega + \alpha\varepsilon_{t-1}^2 + \beta\sigma_{t-1}^2$: $\omega$ ancla la base, $\alpha$ es la reacción a las noticias frescas, $\beta$ es el traslado de la varianza de ayer, y tres parámetros ponderan implícitamente todos los shocks pasados. El diagnóstico clave es la persistencia $\alpha + \beta$ — cerca de 1 para la renta variable diaria, así que los shocks perduran — y, siempre que esté por debajo de 1, la varianza revierte al nivel a largo plazo $\omega/(1-\alpha-\beta)$. Las previsiones forman una estructura temporal de volatilidad que decae geométricamente en $(\alpha + \beta)$ por paso desde el nivel de hoy de vuelta hacia ese ancla. El GARCH-normal ya fabrica algunas colas gruesas a través del agrupamiento; los errores t de Student y las variantes asimétricas (GJR/EGARCH, el efecto apalancamiento) cierran el resto de la brecha con los rendimientos reales.

A continuación — EWMA y RiskMetrics — conocemos al famoso primo simplificado del GARCH: la media móvil ponderada exponencialmente. Es el caso especial $\alpha + \beta = 1$, alimenta el clásico sistema de riesgo RiskMetrics, y su único parámetro de decaimiento $\lambda$ la convierte en el estimador de volatilidad pragmático al que las mesas recurren primero.