EWMA y RiskMetrics

GARCH es potente, pero ajustarlo implica estimar tres parámetros por máxima verosimilitud — una exageración cuando solo necesitas un número de volatilidad rápido y robusto para un informe de riesgo esta noche. Aquí entra la media móvil exponencialmente ponderada (EWMA): un estimador de volatilidad de un solo parámetro que captura el rasgo más importante — los movimientos recientes pesan más que los antiguos — con una aritmética lo bastante simple como para hacerla en una hoja de cálculo. Se convirtió en el corazón del sistema RiskMetrics de J.P. Morgan, el marco que llevó el Valor en Riesgo a toda la industria. EWMA es la herramienta pragmática de volatilidad: no la más precisa, pero la primera a la que recurre una mesa.

El problema de las ventanas de pesos iguales

Analogía. Una volatilidad con ventana móvil simple es como juzgar el tiempo de hoy promediando los últimos 100 días por igual — un huracán de hace 99 días cuenta exactamente igual que ayer, y luego se desvanece por completo en el momento en que envejece hasta el día 101. Siguen dos artefactos: los datos rancios tienen igual voz, y la estimación salta cuando una observación antigua grande sale de la ventana aunque hoy no haya pasado nada.

El arreglo. El sentido común dice que los rendimientos recientes deberían pesar más que los antiguos, y que la influencia debería desvanecerse, no caer por un precipicio. EWMA codifica justo eso: pesos que decaen geométricamente hacia el pasado, sin corte brusco.

EWMA: varianza con memoria que se desvanece

Definición. La actualización de varianza de EWMA es una mezcla ponderada de la estimación de varianza de ayer y el rendimiento al cuadrado de ayer: $\sigma_t^2 = \lambda\,\sigma_{t-1}^2 + (1 - \lambda)\,r_{t-1}^2,$ donde $\lambda$ (lambda), el factor de decaimiento, está entre 0 y 1. Desenrollar la recursión muestra la ponderación geométrica de forma explícita: $\sigma_t^2 = (1 - \lambda)\sum_{k=0}^{\infty}\lambda^{k}\,r_{t-1-k}^2.$ El rendimiento de hace $k$ días lleva un peso $(1-\lambda)\lambda^k$ — un decaimiento geométrico. Los pesos suman 1 (una media ponderada propia), y el rendimiento más reciente siempre se lleva la porción mayor, $(1-\lambda)$.

Qué controla $\lambda$. $\lambda$ es el dial de la memoria:

• $\lambda$ alta (cerca de 1, p. ej. 0,97): los pesos decaen despacio → memoria larga → estimación suave y lenta de reaccionar.
• $\lambda$ baja (p. ej. 0,85): los pesos decaen rápido → memoria corta → estimación nerviosa y de reacción rápida que se ajusta a los movimientos recientes.

Ejemplo resuelto — una actualización EWMA. Toma $\lambda = 0.94$, la varianza de ayer $\sigma_{t-1}^2 = 0.0004$ (vol $2\%$) y el rendimiento de ayer $r_{t-1} = -0.03$ (día de $-3\%$, $r_{t-1}^2 = 0.0009$): $\sigma_t^2 = 0.94(0.0004) + 0.06(0.0009) = 0.000376 + 0.000054 = 0.00043.$ La estimación de vol de hoy es $\sqrt{0.00043} \approx 0.0207 = 2.07\%$ — el día de $-3\%$ la empujó al alza, ponderado por $(1-\lambda) = 6\%$.

La semivida: ¿cuánto dura la memoria de EWMA?

Una forma limpia de resumir $\lambda$ es su semivida — el número de días atrás en el que el peso ha decaído a la mitad del del día más reciente. Resuelve $\lambda^h = 0.5$: $h = \frac{\ln 0.5}{\ln \lambda}.$

Ejemplos resueltos.

• $\lambda = 0.94$ (RiskMetrics diario): $h = \ln(0.5)/\ln(0.94) = -0.693 / -0.0619 \approx 11.2$ días. Aproximadamente las últimas dos semanas de cotización contienen la mitad del peso.
• $\lambda = 0.97$ (RiskMetrics mensual): $h = -0.693/-0.0305 \approx 22.8$ días — una memoria más larga, estimación más suave.
• $\lambda = 0.85$: $h = -0.693/-0.1625 \approx 4.3$ días — memoria muy corta, se ajusta rápido a los movimientos recientes.

La semivida convierte un factor de decaimiento abstracto en algo interpretable: “esta estimación recuerda efectivamente unas dos semanas de rendimientos”.

EWMA es el caso especial de GARCH (IGARCH)

Aquí está la elegante conexión con la lección anterior. Compara las dos ecuaciones de varianza:

• GARCH(1,1): $\sigma_t^2 = \omega + \alpha\,r_{t-1}^2 + \beta\,\sigma_{t-1}^2$.
• EWMA: $\sigma_t^2 = (1-\lambda)\,r_{t-1}^2 + \lambda\,\sigma_{t-1}^2$.

Son la misma ecuación bajo tres identificaciones: $\omega = 0$, $\alpha = 1 - \lambda$ y $\beta = \lambda$. Así que EWMA es exactamente GARCH(1,1) con $\omega = 0$ y $\alpha + \beta = (1-\lambda) + \lambda = 1$ — el caso IGARCH (GARCH integrado) de la lección de GARCH.

La consecuencia: como la persistencia $\alpha + \beta = 1$, EWMA no tiene reversión a la media ni varianza a largo plazo (la fórmula $\omega/(1-\alpha-\beta)$ divide por cero). Los shocks de volatilidad se tratan como permanentes: EWMA nunca arrastra su pronóstico de vuelta hacia un nivel “climático” de largo plazo como sí hace un GARCH estacionario. Su pronóstico a varios pasos es solo una línea plana en la estimación actual. Ese es el precio de la simplicidad — y la diferencia clave de comportamiento frente a GARCH.

RiskMetrics y la famosa λ = 0,94

En 1994, J.P. Morgan publicó RiskMetrics, una metodología (y conjunto de datos gratuito) para medir el riesgo de mercado que puso el Valor en Riesgo (VaR) en todas las mesas. Su motor de volatilidad era EWMA, y venía con un valor por defecto hoy icónico:

• $\lambda = 0.94$ para datos diarios, y $\lambda = 0.97$ para datos mensuales.

Estos no se ajustaban por activo — eran constantes fijas, elegidas por RiskMetrics para funcionar razonablemente bien en una enorme sección transversal de activos. Esa universalidad era el quid: una receta única, simple y sin estimación que cualquier institución pudiera aplicar de forma coherente para calcular el VaR.

Cómo alimenta EWMA al VaR. Un VaR al 99 % a un día bajo el supuesto de normalidad es aproximadamente $\text{VaR} \approx 2.33 \times \sigma_t \times (\text{valor de la posición}),$ donde $\sigma_t$ es la estimación de volatilidad EWMA y $2.33$ es el cuantil normal del 99 %. Como $\sigma_t$ se actualiza a diario con la recursión EWMA, el VaR respira con el mercado — subiendo en turbulencias, bajando en la calma — sin reajustar nada.

Ejemplo resuelto — VaR diario. Una posición de $10.000.000, vol diaria EWMA $\sigma_t = 2\%$, VaR a un día al 99 %: $2.33 \times 0.02 \times 10\,000\,000 = 466\,000$ dólares. Si una semana turbulenta empuja la estimación EWMA al $3\%$, el VaR sube a $2.33 \times 0.03 \times 10\,000\,000 = 699\,000$ dólares — automáticamente, solo por la volatilidad actualizada.

EWMA frente a GARCH: cuándo usar cuál

La disyuntiva. EWMA gana en simplicidad, velocidad y robustez: sin ajuste, sin riesgo de estimación, transparente, reproducible en miles de activos — ideal para sistemas de riesgo en producción y VaR de horizonte corto. GARCH gana en precisión y estructura: captura la reversión a la media, produce una estructura temporal de volatilidad propia para pronósticos multihorizonte y (con errores t o asimetría) ajusta mejor los datos. La regla práctica: EWMA para números de riesgo rápidos, uniformes y de horizonte corto; GARCH cuando importan la precisión del pronóstico y la estructura temporal de la volatilidad (valoración de opciones, horizontes más largos, investigación).

Recapitulando

EWMA estima la varianza como una media ponderada geométricamente decreciente de rendimientos al cuadrado pasados, $\sigma_t^2 = \lambda\sigma_{t-1}^2 + (1-\lambda)r_{t-1}^2$, arreglando los dos defectos de las ventanas de pesos iguales: pondera más los rendimientos recientes y deja que los shocks antiguos se desvanezcan suavemente en vez de caer por un precipicio (el artefacto fantasma). El único parámetro $\lambda$ es el dial de la memoria — más alto significa más suave y de memoria más larga — y su semivida $\ln(0.5)/\ln\lambda$ hace esa memoria interpretable en días. Algebraicamente, EWMA es exactamente GARCH(1,1) con $\omega = 0$ y $\alpha+\beta=1$ (IGARCH), así que no tiene reversión a la media ni varianza a largo plazo — su pronóstico a varios pasos es una línea plana. RiskMetrics construyó el VaR sobre EWMA con los icónicos valores por defecto fijos $\lambda = 0.94$ (diario) y $0.97$ (mensual), valorando una receta única, sin ajuste y coherente para toda la firma. La disyuntiva es limpia: EWMA para números de riesgo rápidos, robustos, de horizonte corto y uniformes; GARCH cuando importan la precisión, la reversión a la media y la estructura temporal de la volatilidad.

Lo siguiente — trampas del backtesting — pasamos de construir modelos a fiarnos de ellos. El sesgo de anticipación, el sobreajuste y el data-snooping son las trampas que hacen que una estrategia parezca brillante en la historia y fracase en real. La última lección antes del examen va de no engañarte a ti mismo.