Modelos AR, MA y ARIMA

La ACF y la PACF te dijeron qué tipo de memoria tiene una serie. Ahora construimos las máquinas que la capturan. Las tres letras AR, MA e I — autorregresivo, de media móvil e integrado — se combinan en la familia ARIMA(p,d,q), el caballo de batalla de la previsión clásica de series temporales. Cada letra responde a una pregunta distinta: el AR pregunta “¿cuánto depende el hoy de sus propios valores pasados?”, el MA pregunta “¿cuánto depende el hoy de shocks pasados?” y la I pregunta “¿cuántas veces hay que diferenciar para hacerla estacionaria?”. Domina lo que aporta cada término y podrás leer una especificación ARIMA como una frase.

AR: el hoy depende de su propio pasado

Analogía. Un proceso autorregresivo tiene inercia. Como la temperatura de una habitación derivando de vuelta hacia el ajuste del termostato, el valor de hoy es sobre todo un eco de valores recientes más un empujón fresco. El nivel de ayer predice el nivel de hoy.

Definición. Un modelo AR(p) (autorregresivo de orden $p$) escribe el hoy como una suma ponderada de los $p$ valores anteriores más un shock: $X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \cdots + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t,$ donde $\varepsilon_t$ es ruido blanco. El caso más simple, AR(1), es $X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + \varepsilon_t$ — la misma ecuación que nos dio las raíces unitarias hace dos lecciones.

Condición de estacionariedad. Para el AR(1), el proceso es estacionario solo si $|\phi_1| < 1$. En $\phi_1 = 1$ es un paseo aleatorio con raíz unitaria; más allá, explota. El coeficiente $\phi_1$ es la persistencia: $\phi_1 = 0,9$ significa que un shock se desvanece despacio, $\phi_1 = 0,2$ significa que casi se olvida para mañana.

Ejemplo resuelto — previsión con AR(1). Supón que $X_t = 2 + 0,6 X_{t-1} + \varepsilon_t$ y el valor de hoy es $X_t = 10$.

• Previsión a un paso: $\hat{X}_{t+1} = 2 + 0,6 \times 10 = 8$ (fija el shock futuro en su media, cero).
• A dos pasos: $\hat{X}_{t+2} = 2 + 0,6 \times 8 = 6,8$.
• Media a largo plazo: resuelve $\mu = 2 + 0,6\mu \Rightarrow \mu = 2/(1 - 0,6) = 5$. Las previsiones decaen geométricamente hacia 5 — la media incondicional — que es justo la reversión a la media que produce un AR(1) con $|\phi| < 1$.

La firma AR en los gráficos diagnósticos: la PACF se corta en el retardo $p$, la ACF decae gradualmente.

MA: el hoy depende de shocks pasados

Analogía. Un proceso de media móvil tiene réplicas. Imagina un estanque en calma: una piedra (un shock) crea ondas que persisten unos momentos y luego se desvanecen por completo. El valor de hoy es el shock actual más un eco de los pocos shocks anteriores — no de los valores anteriores. La memoria está en las sorpresas, no en los niveles, y es estrictamente finita.

Definición. Un modelo MA(q) (media móvil de orden $q$) escribe el hoy como el shock actual más una suma ponderada de los $q$ shocks anteriores: $X_t = \mu + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \varepsilon_{t-q}.$ La diferencia clave con el AR: un MA(q) tiene una memoria finita de exactamente $q$ pasos. Un shock de hoy afecta a las siguientes $q$ observaciones y luego desaparece del todo — a diferencia del AR, donde la influencia de un shock decae para siempre pero nunca se desvanece por completo.

Ejemplo resuelto — MA(1). Supón que $X_t = \varepsilon_t + 0,8\varepsilon_{t-1}$ (media cero). Di que el shock del período anterior fue $\varepsilon_{t-1} = 3$ y el de este período es $\varepsilon_t = -1$. Entonces $X_t = -1 + 0,8 \times 3 = 1,4$. El próximo período, la influencia de aquel $\varepsilon_{t-1} = 3$ ha desaparecido del todo — solo importan $\varepsilon_t$ y el nuevo $\varepsilon_{t+1}$. Ese es el corte abrupto.

La firma MA, imagen especular del AR: la ACF se corta en el retardo $q$, la PACF decae gradualmente.

ARMA: combinar ambos

Muchas series reales llevan los dos tipos de memoria — inercia en los niveles y efectos de shocks que perduran. ARMA(p,q) simplemente apila los dos: $X_t = c + \sum_{i=1}^{p}\phi_i X_{t-i} + \varepsilon_t + \sum_{j=1}^{q}\theta_j \varepsilon_{t-j}.$ Necesita que la serie sea estacionaria de antemano. La firma diagnóstica es la pista de que necesitas una mezcla: tanto la ACF como la PACF decaen gradualmente (ninguna se corta limpiamente), porque la parte AR enturbia el corte del MA y viceversa. El ARMA es más parsimonioso que un AR o un MA puros largos — un ARMA de orden bajo puede capturar lo que de otro modo necesitaría muchos términos AR o MA.

La “I”: integración e ARIMA(p,d,q)

El ARMA puro necesita una serie estacionaria — pero la mayoría de las series financieras (¡los precios!) no lo son. La I (“integrada”) se ocupa de eso plegando la diferenciación de la lección 1. ARIMA(p,d,q) dice:

1. Diferencia la serie $d$ veces para hacerla estacionaria (la $d$),
2. luego ajusta un ARMA(p,q) a la serie diferenciada.

Así que los tres números son:

• $p$ = orden autorregresivo (retardos de la serie diferenciada),
• $d$ = número de diferencias necesarias para la estacionariedad,
• $q$ = orden de media móvil (retardos de los shocks).

Leer especificaciones como frases:

• ARIMA(0,0,0) = ruido blanco (sin estructura).
• ARIMA(1,0,0) = AR(1) sobre una serie ya estacionaria.
• ARIMA(0,1,0) = un paseo aleatorio (diferencia una vez, modela la diferencia como ruido puro) — el modelo canónico de precios.
• ARIMA(0,1,1) = diferencia una vez, luego MA(1) — equivalente al suavizado exponencial, un método de previsión clásico.
• ARIMA(1,1,1) = diferencia una vez, luego una mezcla de un término AR y uno MA sobre los rendimientos.

Para el precio de una acción, normalmente tendrías $d = 1$ (diferenciar el log-precio en rendimientos logarítmicos), luego $p$ y $q$ pequeños — porque, como sabemos, los rendimientos son casi ruido blanco, dejando a menudo poco que hacer a los términos AR/MA.

Ajustar y elegir: ¿cuántos términos?

Una vez fijado $d$ (diferencia hasta estacionaria — comprueba con ADF y un gráfico), eliges $p$ y $q$. Dos enfoques complementarios:

1. Lee los gráficos. Usa la chuleta de la lección anterior: el corte de la PACF sugiere $p$, el corte de la ACF sugiere $q$. Bueno para una primera conjetura.

2. Criterios de información. Ajusta varios modelos candidatos y compara su AIC (Akaike) o BIC (bayesiano) criterio de información. Ambos tienen la forma $\text{IC} = -2\ln(\text{verosimilitud}) + (\text{penalización}) \times k,$ donde $k$ es el número de parámetros. El primer término premia el ajuste; la penalización castiga la complejidad. Más bajo es mejor. La penalización del AIC es $2k$; la del BIC es $\ln(n)\,k$, más dura para muestras grandes, así que el BIC tiende a elegir modelos más simples. Elige la especificación con el criterio más bajo, luego valida: ejecuta Ljung–Box sobre los residuos — deberían ser ruido blanco (un p-valor grande). Si queda estructura, añade un término; si estás sobreparametrizado, quita uno.

Ejemplo resuelto — elegir por BIC. Tres candidatos sobre los mismos rendimientos:

El AR(4) ajusta marginalmente mejor en verosimilitud bruta, pero su penalización de parámetros lo hunde. El ARMA(1,1) tiene el BIC más bajo (1200,4), así que lo elegirías — el pequeño ajuste extra sobre el AR(1) justifica un parámetro más, mientras que los términos extra del AR(4) no se ganan su sitio.

Recapitulando

El modelo AR(p) escribe el hoy como una suma ponderada de sus propios valores pasados más un shock — inercia cuya persistencia vive en $\phi$ (estacionario solo cuando $|\phi| < 1$); su firma es un corte de la PACF en el retardo $p$. El modelo MA(q) escribe el hoy como el shock actual más ecos de los $q$ shocks pasados — una memoria estrictamente finita; su firma es un corte de la ACF en el retardo $q$. ARMA(p,q) mezcla ambos (ambos gráficos decaen) y necesita una entrada estacionaria. ARIMA(p,d,q) añade el paso de integración: diferencia $d$ veces para alcanzar la estacionariedad, luego ajusta un ARMA — así que $(0,1,0)$ es un paseo aleatorio, $(0,1,1)$ es suavizado exponencial, y una acción es típicamente $(0,1,q)$ con $q$ pequeño. Eliges $d$ probando la estacionariedad, luego $p$ y $q$ leyendo la ACF/PACF y minimizando AIC/BIC (más bajo es mejor; el BIC favorece modelos más simples), y validas confirmando que los residuos pasan Ljung–Box. Lo único que el ARIMA no toca es la varianza — modela la media y supone volatilidad constante, que es justo la brecha que llena la siguiente lección.

A continuación — agrupamiento de volatilidad y GARCH — pivotamos de modelar la media de los rendimientos a modelar su varianza. Los mercados reales tienen tramos de calma y tramos de tormenta que se agrupan juntos, y la familia ARCH/GARCH es la forma de convertir ese agrupamiento en una previsión del riesgo de mañana.