Autocorrelación, ACF y PACF

Ya tienes una serie estacionaria — los rendimientos — y la pregunta obvia es si lleva alguna memoria. ¿Hace un gran día de subida que mañana sea más (o menos) probable que suba? ¿Hay un ritmo semanal, un efecto momento, una reversión? La autocorrelación es la medición que responde a esto, y sus dos gráficos diagnósticos — la ACF y la PACF — son los lectores de huellas dactilares del análisis de series temporales. Te dicen si hay alguna estructura prevedecible en absoluto (la pregunta del ruido blanco) y, si la hay, qué tipo de modelo la capturará. Aprende a leer estos dos gráficos y la mitad de la selección de modelos se vuelve reconocimiento de patrones.

Autocorrelación: una serie correlacionada con su propio pasado

Analogía. La autocorrelación es preguntar: “¿Cuánto rima el hoy con el ayer?”. Si a los días calurosos suelen seguir días calurosos, la temperatura tiene autocorrelación positiva en el retardo 1. Si a una caída suele seguir un rebote, la serie tiene autocorrelación negativa. No es más que el coeficiente de correlación ordinario, pero entre una serie y una copia desplazada en el tiempo de sí misma.

Definición. La autocorrelación en el retardo $k$ es la correlación entre $X_t$ y $X_{t-k}$: $\rho_k = \frac{\mathrm{Cov}(X_t, X_{t-k})}{\mathrm{Var}(X_t)} = \frac{\sum_{t=k+1}^{n}(X_t - \bar{X})(X_{t-k} - \bar{X})}{\sum_{t=1}^{n}(X_t - \bar{X})^2}.$ Como cualquier correlación, $\rho_k$ vive en $[-1, 1]$. Por construcción $\rho_0 = 1$ (una serie está perfectamente correlacionada consigo misma en el retardo 0). Toda la secuencia $\rho_1, \rho_2, \rho_3, \dots$ es la función de autocorrelación (ACF).

Ejemplo resuelto. Toma una serie diminuta $X = (2, 4, 6, 4, 2)$ con media $\bar{X} = 3,6$. Desviaciones: $(-1,6, 0,4, 2,4, 0,4, -1,6)$.

• Denominador (suma de varianza): $(-1,6)^2 + 0,4^2 + 2,4^2 + 0,4^2 + (-1,6)^2 = 2,56 + 0,16 + 5,76 + 0,16 + 2,56 = 11,2$.
• Numerador del retardo 1: $(0,4)(-1,6) + (2,4)(0,4) + (0,4)(2,4) + (-1,6)(0,4) = -0,64 + 0,96 + 0,96 - 0,64 = 0,64$.
• Así que $\rho_1 = 0,64 / 11,2 \approx 0,057$ — una autocorrelación positiva débil en el retardo 1 de esta serie de juguete.

La aritmética es solo correlación; la interpretación es “memoria a través de un paso en el tiempo”.

Ruido blanco: la hipótesis nula de “sin estructura”

Antes de poder llamar significativa a cualquier autocorrelación, necesitas una referencia para “sin memoria alguna”. Esa referencia es el ruido blanco.

Definición. Un proceso de ruido blanco tiene media cero, varianza constante y cero autocorrelación en todo retardo no nulo ($\rho_k = 0$ para todo $k \neq 0$). Cada valor no está correlacionado con ningún otro — ruido puro impredecible. Es el equivalente en series temporales de “aquí no hay nada que ver”.

La banda de significancia. Aquí está la sutileza que señaló el pretest: incluso el ruido blanco verdadero produce pequeñas autocorrelaciones muestrales no nulas, porque estás estimando a partir de una muestra finita. Bajo la nula de ruido blanco, cada $\hat\rho_k$ muestral es aproximadamente normal con error típico $1/\sqrt{n}$. Así que la banda de confianza al 95 % es aproximadamente $\pm \frac{2}{\sqrt{n}}.$ Una barra dentro de la banda es indistinguible de cero — ruido muestral. Una barra que asoma fuera es una autocorrelación estadísticamente significativa: estructura real.

Ejemplo resuelto — la banda se encoge con los datos. Para $n = 100$ observaciones la banda es $\pm 2/\sqrt{100} = \pm 0,20$ — una autocorrelación muestral necesita superar $0,20$ en magnitud para contar. Para $n = 2500$ (unos diez años de datos diarios) la banda es $\pm 2/\sqrt{2500} = \pm 0,04$. Más datos significa una banda más ajustada, así que efectos reales más pequeños se vuelven detectables — pero también significa que no debes impresionarte con un $0,10$ cuando $n = 100$ (dentro de la banda) aunque ese mismo $0,10$ sería significativo con $n = 2500$.

La PACF: autocorrelación con el medio quitado

La ACF tiene un punto ciego. Si el hoy está correlacionado con el ayer, y el ayer con el día anterior, entonces el hoy mostrará correlación con dos días atrás aunque no haya vínculo directo — el efecto simplemente se filtra a través de la cadena. La ACF no puede distinguir una relación directa de una indirecta, transmitida. La función de autocorrelación parcial (PACF) arregla exactamente esto.

Definición. La autocorrelación parcial en el retardo $k$ es la correlación entre $X_t$ y $X_{t-k}$ tras quitar la influencia de todos los retardos intermedios $X_{t-1}, \dots, X_{t-k+1}$. Es el efecto directo de hace $k$ períodos, con la transmisión indirecta eliminada.

Analogía. La ACF pregunta: “¿Están correlacionados los abuelos con los nietos?” — y la respuesta es sí, pero en parte porque los padres están en medio. La PACF pregunta: “¿Hay un vínculo directo abuelo–nieto una vez que tenemos en cuenta a los padres?” — normalmente mucho más pequeño. La PACF aísla la dependencia genuinamente directa.

Por eso los dos gráficos juntos identifican el modelo — responden a preguntas distintas, y cada tipo de modelo deja una firma conjunta distintiva.

La chuleta de identificación de modelos

Aquí está la recompensa que hace indispensables a estos dos gráficos. Cada uno de los modelos básicos (los conocerás en detalle la próxima lección) deja un patrón característico en la ACF y la PACF:

La regla mnemotécnica: el AR muestra su orden en el corte de la PACF; el MA muestra su orden en el corte de la ACF. Son imágenes especulares. Un AR(2), por ejemplo, tiene una PACF con dos picos significativos y luego silencio, mientras que su ACF se atenúa de forma suave. Un MA(1) hace lo contrario: un pico significativo en la ACF, luego silencio, con una PACF que se atenúa.

Lectura resuelta. Supón que graficas una serie de rendimientos y ves: la ACF tiene un único gran pico en el retardo 1 (fuera de la banda), todo lo posterior dentro; la PACF se atenúa gradualmente a lo largo de varios retardos. Leyendo la tabla: la ACF se corta tras el retardo 1 → ese es el $q$ de un MA(1). Ajustarías un MA(1) y comprobarías los residuos.

Ljung–Box: ¿queda ALGUNA estructura?

Examinar 20 barras individuales invita al problema — con una banda al 95 %, esperas que aproximadamente 1 de cada 20 asome fuera por puro azar. Quieres una sola prueba de la pregunta conjunta: “en su conjunto, ¿son las primeras $m$ autocorrelaciones colectivamente distintas de cero?”. Esa es la prueba de Ljung–Box.

La idea. Agrupa las primeras $m$ autocorrelaciones muestrales en un solo estadístico: $Q = n(n+2)\sum_{k=1}^{m}\frac{\hat\rho_k^2}{n-k},$ que, bajo la nula de ruido blanco, sigue una distribución chi-cuadrado. Una $Q$ grande (p-valor pequeño) significa que las autocorrelaciones son conjuntamente demasiado grandes para ser ruido — queda estructura. Una $Q$ pequeña (p-valor grande) significa que la serie es estadísticamente indistinguible del ruido blanco en esos retardos.

Las dos formas en que los quants la usan:

1. Sobre la serie bruta: ¿hay alguna autocorrelación prevedecible que merezca la pena modelar? Un p-valor pequeño dice que sí.
2. Sobre los residuos del modelo: el diagnóstico crucial. Tras ajustar un modelo, los residuos deberían ser ruido blanco — has extraído toda la estructura. Ejecuta Ljung–Box sobre ellos: un p-valor grande (no rechazar) es lo que quieres — significa que no queda autocorrelación, el modelo ha hecho su trabajo. Un p-valor pequeño significa que aún se filtra estructura y el modelo está mal especificado.

Intuición resuelta. Ajustas un AR(1), luego ejecutas Ljung–Box sobre los residuos y obtienes p = 0,62. Como $0,62 > 0,05$, no rechazas el ruido blanco — los residuos parecen limpios, así que el AR(1) capturó la autocorrelación. Si en cambio p = 0,001, rechazarías: aún hay estructura (quizá necesites un AR(2) o un término MA) y tu modelo está incompleto.

Recapitulando

La autocorrelación mide cuánto rima una serie con su propio pasado: $\rho_k$ es la correlación entre $X_t$ y $X_{t-k}$, y la secuencia es la ACF. La referencia es el ruido blanco — cero autocorrelación en todo retardo no nulo — y como las muestras finitas oscilan, juzgas la significancia frente a la banda $\pm 2/\sqrt{n}$: las barras dentro son indistinguibles de cero, las de fuera son estructura real. La PACF quita la correlación indirecta, transmitida a través de retardos intermedios, para aislar el efecto directo en cada retardo. Leídos juntos, los dos gráficos son una chuleta de identificación de modelos: el AR(p) se corta en la PACF, el MA(q) se corta en la ACF, el ARMA decae en ambas, el ruido blanco queda dentro de la banda en todas partes. La prueba de Ljung–Box agrupa las primeras $m$ autocorrelaciones en un solo estadístico chi-cuadrado — úsala sobre la serie bruta para preguntar “¿hay algo que modelar?” (p-valor pequeño = sí) y sobre los residuos para confirmar “¿extrajo el modelo todo?” (p-valor grande = éxito). Y cuidado: una ACF de rendimientos limpia aún puede ocultar una autocorrelación feroz en los rendimientos al cuadrado — el agrupamiento de volatilidad, la puerta a GARCH.

A continuación — modelos AR, MA y ARIMA — convertimos los patrones que revelan estos gráficos en ecuaciones ajustadas de verdad: los modelos autorregresivo, de media móvil e integrado que convierten “la PACF se corta en el retardo 2” en una máquina de previsión que puedes estimar e interpretar.