Estacionariedad y rendimientos

Todo modelo que construirás en este tema — autocorrelaciones, AR y GARCH, EWMA — supone calladamente que la serie que le das se comporta de forma coherente en el tiempo: que su media y su dispersión no se van deambulando a medida que pasa el calendario. Esa premisa tiene un nombre, estacionariedad, y es la única puerta por la que toda técnica de series temporales debe pasar. La pega es que la serie financiera más obvia de todas — el precio de una acción — la suspende de mala manera, mientras que una transformación diminuta — el rendimiento — la supera sin problemas. Acertar con esa distinción, y saber cómo probarla y arreglarla, es el cimiento sobre el que se sostiene el resto del tema.

Qué significa de verdad la estacionariedad

Analogía. Imagina dos ríos. El primero tiene un nivel de agua fijo y un oleaje constante — saca un cubo hoy o el mes que viene y estadísticamente tiene el mismo aspecto. El segundo es una marea que sube: el nivel no para de crecer y las olas se hacen más grandes. El primer río es estacionario; el segundo es no estacionario. Un modelo entrenado con un cubo del primer río se generaliza a cualquier otro cubo. Un modelo entrenado con la marea creciente se equivocará en cuanto la marea siga su curso.

Definición. Un proceso es (débilmente, o en covarianza) estacionario si tres cosas permanecen constantes en el tiempo:

• la media $E[X_t] = \mu$ no depende de $t$,
• la varianza $\mathrm{Var}(X_t) = \sigma^2$ no depende de $t$,
• la autocovarianza $\mathrm{Cov}(X_t, X_{t+k})$ depende solo del retardo $k$, nunca de cuándo miras.

En palabras llanas: la “forma” estadística de la serie es la misma allá donde deslices tu ventana. Eso es justo lo que te permite estimar un conjunto de parámetros a partir de la historia y confiar en ellos mañana — sin estacionariedad, “el pasado” y “el futuro” se extraen de distribuciones distintas y la estimación se construye sobre arena.

Por qué los precios fallan y los rendimientos pasan

Los precios son no estacionarios. Un nivel de precio no tiene una media fija a la que revertir — deriva al alza durante décadas y su varianza crece cuanto más lo observas (recuerda la dispersión $\sqrt{t}$ de un paseo aleatorio). Desliza tu ventana de 2005 a 2020 y la media y la dispersión son tremendamente distintas. Eso es no estacionariedad de manual.

Los rendimientos son (aproximadamente) estacionarios. Define el rendimiento simple $r_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}}$ o, más habitualmente, el rendimiento logarítmico $r_t = \ln\!\frac{P_t}{P_{t-1}} = \ln P_t - \ln P_{t-1}$. Los rendimientos rondan una media pequeña y más o menos constante con una dispersión más o menos constante. Su distribución de 2005 se parece mucho a la de 2020 (misma media en torno a cero, volatilidad comparable). No son perfectamente estacionarios — la volatilidad se agrupa, como veremos en una lección posterior — pero están lo bastante cerca como para que los modelos construidos sobre rendimientos funcionen, mientras que los construidos sobre precios no.

Por eso todo el kit cuantitativo se construye sobre rendimientos, no sobre precios. La misma serie, transformada una vez, pasa de inmodelable a modelable.

Raíces unitarias: la razón precisa de que un precio no se asiente

Podemos decir por qué un precio deambula de forma más nítida. Modélalo como un proceso AR(1) — hoy es igual a un coeficiente $\phi$ por ayer más un shock: $X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t.$ Todo el comportamiento depende de $\phi$:

• Si $|\phi| < 1$, los shocks decaen — la serie es arrastrada de vuelta hacia su media y es estacionaria.
• Si $\phi = 1$, tienes $X_t = X_{t-1} + \varepsilon_t$ — un paseo aleatorio puro. Los shocks nunca decaen; se acumulan para siempre. Esto es una raíz unitaria, y es la huella definitoria de una serie no estacionaria.
• Si $|\phi| > 1$, la serie explota.

Una raíz unitaria es exactamente el caso $\phi = 1$: la raíz característica del proceso se sitúa sobre el círculo unitario, de modo que un shock de hoy sigue plenamente presente mil pasos después. Los precios se comportan como procesos con raíz unitaria; esa es la razón formal de que su varianza crezca sin cota y se nieguen a revertir.

Ejemplo resuelto — persistencia de un shock. Supón que un shock puntual de $+10$ golpea un AR(1).

• Con $\phi = 0,5$: tras el shock la contribución es $10$, luego $0,5 \times 10 = 5$, luego $2,5$, luego $1,25$ — a la mitad en cada paso, desaparecido en un puñado de períodos. Con reversión a la media.
• Con $\phi = 0,95$: $10, 9,5, 9,025, \dots$ — tarda unos $\ln(0,5)/\ln(0,95) \approx 13,5$ pasos solo en reducirse a la mitad. Pegajoso, pero acaba desvaneciéndose.
• Con $\phi = 1$: $10, 10, 10, \dots$ — el shock es permanente. El nivel ha quedado desplazado para siempre. Eso es una raíz unitaria.

La lección: a medida que $\phi$ sube hacia 1, los shocks perduran cada vez más; en exactamente 1 se vuelven permanentes y la estacionariedad se rompe.

La prueba de Dickey–Fuller aumentada (intuición)

¿Cómo pruebas si una serie tiene una raíz unitaria? El caballo de batalla es la prueba de Dickey–Fuller aumentada (ADF). No necesitas toda su maquinaria, solo la lógica.

El truco. Reescribe el AR(1) restando $X_{t-1}$ a ambos lados: $\Delta X_t = (\phi - 1)X_{t-1} + \varepsilon_t = \gamma X_{t-1} + \varepsilon_t,$ donde $\Delta X_t = X_t - X_{t-1}$ y $\gamma = \phi - 1$. Ahora la pregunta “¿hay una raíz unitaria?” se convierte en “¿es $\gamma = 0$?” (porque $\gamma = 0 \iff \phi = 1$). La prueba ADF regresa el cambio $\Delta X_t$ sobre el nivel retardado $X_{t-1}$ (la parte “aumentada” añade unas pocas diferencias retardadas para absorber autocorrelación extra) y comprueba si el coeficiente $\gamma$ es significativamente negativo.

• Hipótesis nula $H_0$: $\gamma = 0$ — hay una raíz unitaria (no estacionaria).
• Alternativa $H_1$: $\gamma < 0$ — sin raíz unitaria, la serie es estacionaria (un nivel por encima de su media arrastra el siguiente cambio hacia abajo).

Un estadístico muy negativo (más negativo que el valor crítico) te permite rechazar la nula y declarar la serie estacionaria. Un estadístico cercano a cero significa que no rechazas — no puedes descartar una raíz unitaria, así que trátala como no estacionaria.

Hacer estacionaria una serie: logaritmos y diferenciación

Si una serie es no estacionaria, la transformas hasta que deje de serlo. Dos herramientas hacen casi todo el trabajo.

1. Transformación logarítmica — domar la varianza creciente. Cuando una serie crece de forma multiplicativa (precios, PIB, cualquier cosa que se capitalice), su varianza crece con su nivel. Tomar logaritmos convierte el crecimiento multiplicativo en aditivo y estabiliza la varianza. No arregla la tendencia, pero deja el siguiente paso bien portado.

2. Diferenciación — matar la tendencia / raíz unitaria. Sustituye el nivel por su cambio: $\Delta X_t = X_t - X_{t-1}$. Un paseo aleatorio diferenciado una vez se convierte en ruido blanco — su primera diferencia es justo el shock $\varepsilon_t$, que es estacionario. El número de diferencias que necesitas para alcanzar la estacionariedad es el orden de integración, escrito $I(d)$:

• $I(0)$ = ya estacionaria (los rendimientos son más o menos $I(0)$).
• $I(1)$ = estacionaria tras una diferencia (los log-precios son $I(1)$ — diferéncialos una vez y obtienes los rendimientos logarítmicos).
• $I(2)$ = necesita dos diferencias (raro en finanzas).

Fíjate en la cadena: el log-precio es $I(1)$; diferéncialo una vez y obtienes el rendimiento logarítmico, que es $I(0)$ — exactamente la serie estacionaria que quiere todo modelo posterior. Eso no es casualidad; es toda la razón por la que “modela rendimientos, no precios” es dogma.

Ejemplo resuelto — de precio a entrada modelable. Una trayectoria de precios $100 \to 103 \to 101 \to 106$:

• Log-precios: $\ln 100 = 4,605$, $\ln 103 = 4,635$, $\ln 101 = 4,615$, $\ln 106 = 4,663$ — aún en tendencia, no estacionarios.
• Primeras diferencias (rendimientos logarítmicos): $4,635 - 4,605 = +0,030$, $4,615 - 4,635 = -0,020$, $4,663 - 4,615 = +0,048$. Estos rondan una media pequeña sin tendencia — estacionarios, listos para modelar.

Recapitulando

La estacionariedad — media constante, varianza constante, autocovarianza solo del retardo — es la puerta por la que debe pasar todo modelo de series temporales: es lo que te deja aprender parámetros del pasado y confiar en ellos en el futuro. Los precios brutos fallan porque llevan una raíz unitaria ($\phi = 1$ en un AR(1)): los shocks nunca decaen, la varianza crece sin cota y la media deriva. Los rendimientos pasan porque diferenciar el (log-)precio quita la tendencia, dejando una serie más o menos $I(0)$. La prueba de Dickey–Fuller aumentada formaliza la comprobación — su nula es una raíz unitaria, y un estadístico fuertemente negativo la rechaza a favor de la estacionariedad (con la salvedad de su poca potencia, así que corrobora con gráficos y KPSS). Los arreglos son los logaritmos (estabilizar la varianza creciente) y la diferenciación (quitar la tendencia), aplicados justo lo necesario — un log-precio es $I(1)$, y una diferencia lo convierte en el rendimiento logarítmico estacionario sobre el que se construye todo modelo posterior del tema. Y cuando dos precios son individualmente no estacionarios pero están atados, la cointegración permite modelar un diferencial estacionario entre ellos aunque ningún nivel pueda.

A continuación — autocorrelación, la ACF y la PACF — ahora que tenemos una serie estacionaria con la que trabajar, hacemos la pregunta evidente: ¿te dice el rendimiento de hoy algo sobre el de mañana? La función de autocorrelación y su compañera la PACF son las herramientas que responden a eso, y son la forma en que decidirás qué modelo necesita de verdad una serie.