Valorar un Swap como la Diferencia de Dos Bonos

Ya sabéis que un swap es una tira de acuerdos sobre tipos forward (FRA) — una forma ingeniosa de trocearlo en apuestas periodo a periodo sobre los tipos. Esa visión es genial para la intuición. Pero los traders no recurren a una pila de FRA cuando quieren valorar un swap existente en dos segundos. Recurren a un truco mucho más elegante: un swap no es más que dos bonos disfrazados con una gabardina. Una pata se comporta exactamente como un bono a tipo fijo; la otra se comporta exactamente como un bono a tipo flotante. Restadlos y tenéis el valor del swap — sin necesidad de ninguna tira de forwards. Esta lección construye esa descomposición desde cero, demuestra el único lema que la hace mágica (la pata flotante vale la par), deduce el tipo swap par como consecuencia que cae por su propio peso, y luego marca a mercado un swap fuera de mercado.

Before you read — take a guess

Un swap de tipos de interés vainilla puede valorarse como la diferencia entre dos instrumentos más sencillos. ¿Cuáles dos?

Dos bonos a tipo fijo con madureces distintasUn bono a tipo fijo y un bono a tipo flotanteUna acción y una opción de compraUn bono cupón cero y un bono con cupón de la misma madurez

La descomposición: un swap de recibir fijo = largo de un bono fijo, corto de un bono flotante

Before you read — take a guess

Las patas fija y flotante solo intercambian cupones — ninguna de las dos partes devuelve nunca el nocional. Entonces, ¿cómo puede cada pata ser un 'bono', que siempre reembolsa el principal al vencimiento?

Los swaps sí intercambian nocional, como un swap de divisasAsumís que el nocional se reembolsa solo en la pata fijaIgnoráis la fecha de vencimiento por completoAñadid un intercambio ficticio del nocional al vencimiento en AMBAS patas — se cancela, así que el swap no cambia, pero ahora cada pata parece un bono

Analogía. Imaginad a dos amigos liquidando una factura recurrente. Cada mes, uno paga unos $40 fijos (el amigo “fijo”) y el otro paga lo que toque esa factura variable (el amigo “flotante”). Ninguno entrega un depósito al principio ni lo reclama al final. Ahora imaginad que acuerdan que en el último mes cada uno además entregará al otro exactamente $1.000. Esos $1.000 extra fluyen en ambas direcciones el mismo día — se anulan por completo. Nadie sale mejor ni peor parado. Pero de repente el flujo de pagos de cada amigo se parece exactamente a un préstamo que se reembolsa: cupones regulares y luego un pellizco de principal al final. Ese pellizco es el nocional, y conjurarlo en ambos lados es todo el truco.

La mecánica. Un swap de recibir fijo significa que vosotros recibís los cupones fijos y pagáis los cupones flotantes. Añadid un nocional $N$ pagado a vosotros al vencimiento en el lado fijo, y un nocional $N$ pagado por vosotros al vencimiento en el lado flotante. Los dos se cancelan, así que:

\text{Swap recibir fijo} = \underbrace{+\,\text{bono a tipo fijo}}_{\text{cupones que recibís} + N} \;-\; \underbrace{\text{bono a tipo flotante}}_{\text{cupones que pagáis} + N}.

Un swap de pagar fijo es el espejo exacto — pagáis los cupones fijos y recibís los flotantes — así que está corto del bono fijo y largo del bono flotante:

\text{Swap pagar fijo} = +\,\text{bono a tipo flotante} - \text{bono a tipo fijo} = -(\text{swap recibir fijo}).

Lado del swap	Bono fijo	Bono flotante	Valor
Recibir fijo	Largo (+)	Corto (−)	$\text{VA}_{\text{fijo}} - \text{VA}_{\text{flot}}$
Pagar fijo	Corto (−)	Largo (+)	$\text{VA}_{\text{flot}} - \text{VA}_{\text{fijo}}$

Por qué la cancelación es exactamente cero, no aproximadamente

Los nocionales añadidos son el mismo número, en la misma fecha, descontados por el mismo factor de descuento. Sus valores actuales son, por tanto, idénticos hasta el último decimal, y la resta es exacta — no una aproximación tolerante al redondeo. Eso es lo que la hace legal: no habéis cambiado nada de los flujos de caja del swap, solo cómo los contabilizáis.

Orientación rápida: ¿qué bono queréis que suba?

Si recibís fijo, estáis largos del bono a tipo fijo. Cuando los tipos de mercado caen, el precio de un bono a tipo fijo sube (sus cupones bloqueados parecen ahora generosos). Así que un swap de recibir fijo gana cuando los tipos caen — sostenéis un bono que acaba de revalorizarse, menos un bono flotante que sigue pegado a la par. Guardad esa idea; la cuantificaremos en la sección de marcaje a mercado.

La pata flotante vale la par en cada reseteo

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Justo después de resetear su cupón, un bono a tipo flotante vale aproximadamente…

Menos que la par, por el riesgo de reinversiónLo que valga el bono a tipo fijoMás que la par, porque los cupones flotantes crecenLa par (su valor facial / nocional)

Esta es la clave de bóveda. Un bono a tipo flotante vale la par inmediatamente después de cada reseteo — y he aquí la razón limpia de por qué.

La intuición de un periodo. Supongamos que solo queda un periodo. El bono pagará su cupón flotante final más el nocional. En el reseteo, ese cupón se fija al tipo de mercado vigente $r$ , así que el cupón es $r \cdot N$ . El valor del bono es todo descontado un periodo a ese mismo tipo $r$ :

\text{VA} = \frac{r\,N + N}{1 + r} = \frac{N\,(1 + r)}{1 + r} = N.

El $(1+r)$ de arriba y el $(1+r)$ de abajo se aniquilan, dejando exactamente el nocional $N$ — la par. El cupón se construyó a partir del mismo tipo con el que descontáis, así que no pueden evitar cancelarse.

Por qué se cumple para muchos periodos, no solo uno. Trabajad hacia atrás. En el último reseteo el bono vale la par (el argumento de un periodo de arriba). Retroceded un reseteo: el bono paga un cupón de $r_{\text{prev}} \cdot N$ y luego vale la par — así que es de nuevo $\frac{r_{\text{prev}} N + N}{1 + r_{\text{prev}}} = N$ . El hecho de “valer la par en el próximo reseteo” rueda hacia atrás hasta hoy. La pata flotante es un camaleón: siempre se reprecia a la par en el instante en que su cupón se refresca.

La recompensa para la valoración de swaps. Si el bono flotante vale $N$ , el valor de recibir fijo colapsa a un único término:

\boxed{\;V_{\text{recibir fijo}} = \text{VA}(\text{bono fijo}) - N\;}

Todo el trabajo está ahora en valorar un bono a tipo fijo corriente y restar el nocional. La isla protagonista de abajo hace exactamente esto: valora el bono a tipo fijo al tipo de mercado vigente, fija el bono flotante a la par y muestra su diferencia con signo. Deslizad el tipo de mercado y cambiad de lado para ver el swap entrar y salir del dinero.

Un swap son dos bonos: VA(bono fijo) − par

Bono fijoBono flotanteValor del swap

Tipo de mercado4.0%

Años5

Tipo de mercado: 4.0%
Tipo de contrato: 4.0%
VA(bono fijo): $10,000,000.00
Par: $10,000,000
Valor del swap: −$0.00 (A la par)

El bono flotante está fijado a la par (línea discontinua). Arrastrad el tipo swap de mercado vigente: cuando se sitúa por debajo del tipo de contrato del 4%, el bono fijo cotiza por encima de la par y el swap de recibir fijo está en el dinero; empujadlo por encima del 4% y el swap se hunde. Cambiad a Pagar fijo para ver el espejo exacto.

'A la par' significa en un reseteo, entre reseteos deriva

El lema de la par es exacto solo en el instante de un reseteo. Entre reseteos, el bono flotante acumula su cupón ya fijado y su valor trepa ligeramente por encima de la par a medida que se acerca la fecha de pago, para luego volver de golpe a la par en el siguiente reseteo. Para valorar un swap en fechas de reseteo estándar esto es irrelevante; para un marcaje intraperiodo arrastráis el pequeño ajuste devengado. El resultado titular — pata flotante ≈ par — es el caballo de batalla, pero sabed que es una instantánea, no una constante.

Completad el lema de la pata flotante.

Elige la opción correcta para cada hueco y comprueba.

Justo después de un reseteo, el cupón de un bono a tipo flotante es igual al , así que descontar el próximo cupón más el nocional a ese mismo tipo devuelve exactamente la . Por tanto, un swap de recibir fijo vale el VA del bono fijo .

El tipo swap par: el tipo fijo que hace que un swap nuevo valga cero

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¿Qué tiene de especial el 'tipo swap par' que se cotiza en el mercado?

Es el cupón de un bono del EstadoEs el tipo al que la pata flotante vale la parEs el tipo fijo que hace que un swap recién creado valga exactamente cero al inicioSiempre es igual al tipo cupón cero de mayor madurez

Cuando dos partes pactan un swap nuevo, ninguna debería pagar a la otra por entrar — el trato debe valer cero al inicio. De nuestra fórmula enmarcada, $V_{\text{recibir fijo}} = \text{VA}(\text{bono fijo}) - N = 0$ exige que el bono fijo se valore a la par. Así que cazamos el cupón $c$ que hace que un bono se valore a la par.

Escribid el precio del bono fijo usando factores de descuento $DF_i$ (el valor actual hoy de $1 pagado en el instante $i$ ). Con un nocional unitario ( $N = 1$ ) y cupones anuales $c$ :

\text{VA}(\text{bono fijo}) = \sum_{i=1}^{n} c\,DF_i + DF_n = 1.

Despejad $c$ — llamadlo el tipo swap par $s$ :

\boxed{\;s = \frac{1 - DF_n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} DF_i}\;}

Con fracciones de cómputo de días realistas $\tau_i$ (la fracción de año de cada periodo, p. ej. 0,5 para semestral), la forma general es

s = \frac{1 - DF_n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \tau_i\,DF_i}.

El denominador $\sum \tau_i DF_i$ tiene su propio nombre — el factor de anualidad (o ladrillo del PV01) — y reaparece una y otra vez en los swaps, así que haceos amigos suyos ya.

Ejemplo completamente resuelto. Supongamos que los factores de descuento extraídos de la curva de hoy son:

Año $i$	$DF_i$
1	0,9709
2	0,9426
3	0,9151
4	0,8885
5	0,8626

Paso 1 — sumad los factores de descuento (anuales, así que $\tau_i = 1$ ):

\sum_{i=1}^{5} DF_i = 0.9709 + 0.9426 + 0.9151 + 0.8885 + 0.8626 = 4.5797.

Paso 2 — leed $DF_5 = 0.8626$ , así que $1 - DF_5 = 0.1374$ .

Paso 3 — el tipo swap par:

s = \frac{1 - DF_5}{\sum DF_i} = \frac{0.1374}{4.5797} = 0.03000 = 3.00\%.

Comprobad que se valora a la par. Sustituid $c = 3.00\%$ de vuelta en el bono fijo:

\text{VA} = 0.03 \times 4.5797 + 0.8626 = 0.13739 + 0.8626 = 0.99999 \approx 1.

Se valora a la par (el diminuto fallo es redondeo), confirmando que el swap vale cero a este tipo. Un swap pactado al 3,00% sobre esta curva es justo para ambas partes.

Think first

En una curva distinta, ΣDFᵢ = 3,80 y el factor de descuento final DF₃ = 0,91. ¿Cuál es el tipo swap par?

Pista: s = (1 − DFₙ) / ΣDFᵢ. Aquí DFₙ = DF₃ = 0,91.

Emparejad cada pieza del álgebra del swap con lo que es.

Elige un término y luego su definición.

Marcar a mercado un swap fuera de mercado

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Un swap se pactó a un tipo fijo del 4%. Seis meses después, los tipos swap de mercado han CAÍDO al 3%. El swap existente de la parte que recibe fijo vale ahora…

Sigue siendo exactamente cero — los swaps siempre valen ceroPositivo — bloquean recibir el 4% mientras el mercado solo ofrece el 3%Indefinido hasta que el swap venzaNegativo — los tipos a la baja perjudican al que recibe

El tipo swap par hace que un swap nuevo valga cero. Pero en el instante en que la curva se mueve, un swap existente deja de ser justo — ha ganado o perdido valor, y alguien debe reportarlo en sus libros. Esto es marcar a mercado.

La dirección del movimiento. Estáis largos del bono fijo si recibís fijo. Los bonos suben cuando los tipos caen. Así que:

Recibir fijo gana cuando los tipos de mercado CAEN (vuestro bono fijo sube por encima de la par).
Pagar fijo gana cuando los tipos de mercado SUBEN (estáis efectivamente cortos de ese bono).

Esto es precisamente el comportamiento del deslizador en SwapValueBridge de arriba: empujad el tipo de mercado vigente por debajo del 4% de contrato y la barra de recibir fijo se vuelve positiva (en el dinero); empujadlo por encima y se vuelve negativa.

La aproximación rápida. Un atajo práctico valora un swap fuera de mercado como el diferencial de tipos por la anualidad por el nocional:

V_{\text{recibir fijo}} \approx (s_{\text{contrato}} - s_{\text{mercado}}) \times A \times N,

donde $A = \sum \tau_i DF_i$ es el factor de anualidad y $N$ el nocional. La lógica: cada periodo recibís $s_{\text{contrato}}$ pero el tipo justo es ahora $s_{\text{mercado}}$ , así que ganáis un exceso de $(s_{\text{contrato}} - s_{\text{mercado}})$ por periodo — y la anualidad descuenta esa ventaja recurrente de vuelta a hoy.

Ejemplo resuelto. Un swap de recibir fijo de $10.000.000 se pactó a $s_{\text{contrato}} = 4\%$ con 5 años por delante. Los tipos swap de mercado caen a $s_{\text{mercado}} = 3\%$ , y en la nueva curva el factor de anualidad es $A = 4.58$ .

V \approx (0.04 - 0.03) \times 4.58 \times 10{,}000{,}000 = 0.01 \times 4.58 \times 10{,}000{,}000.

V \approx 458{,}000 \text{ (dólares)}.

El que recibe gana en torno a $458.000 — bloqueó un flujo del 4% que el mercado ahora solo pagará al 3%, y esa ventaja del 1%, capitalizada a lo largo de cinco años descontados, vale casi medio millón. La contraparte que paga fijo pierde esos mismos $458.000. (El método exacto de diferencia de bonos da una cifra muy próxima; la aproximación es la versión de cálculo mental del trader.)

Concepto erróneo: 'un swap siempre vale cero'

Un swap vale cero solo al inicio, y solo al tipo par. Esa es su característica definitoria el día uno — pero el siguiente tic de la curva lo rompe. A partir de ahí, un swap existente es una posición viva, marcada a mercado, con P&L real, colateral aportado y exposición de crédito. Tratar un swap maduro como perpetuamente sin valor es como os perdéis un marcaje de seis cifras posado en vuestro libro. “Cero al inicio” es un cumpleaños, no una esperanza de vida.

Seleccionad CADA afirmación que sea cierta sobre un swap de recibir fijo después de que los tipos se muevan. (Elegid todas las que correspondan.)

Sigue valiendo exactamente cero durante toda su vidaGana valor cuando los tipos swap de mercado caen por debajo del tipo de contratoLa contraparte que paga fijo sostiene el valor imagen especular exactoSu valor ≈ (tipo de contrato − tipo de mercado) × anualidad × nocionalNunca puede tener valor negativo

Juntándolo todo

Quitadle el misterio y un swap de tipos vainilla son dos bonos disfrazados con una gabardina. Conjurad un pago de nocional en cada pata al vencimiento — se cancela exactamente, sin cambiar nada — y un swap de recibir fijo se convierte en largo de un bono a tipo fijo, corto de un bono a tipo flotante (pagar fijo es el espejo). La pata flotante vale la par en cada reseteo, porque su cupón se fija al mismísimo tipo con el que descontáis, así que el valor colapsa a $V_{\text{recibir fijo}} = \text{VA}(\text{bono fijo}) - N$ . Exigir valor cero al inicio fuerza al bono fijo a valorarse a la par, lo que os entrega el tipo swap par $s = (1 - DF_n)/\sum \tau_i DF_i$ gratis. Y en el momento en que la curva se mueve el swap deja de valer cero: el que recibe gana cuando los tipos caen, el que paga cuando suben, con un marcaje de aproximadamente $(s_{\text{contrato}} - s_{\text{mercado}}) \times A \times N$ . Dominad esta única resta y podréis valorar, cotizar y gestionar el riesgo de un swap en una servilleta.

Big picture

Valorar un swap como dos bonos

Swap = Dos Bonos
- Descomposición
  - Añadir nocional a ambas patas — se cancela
  - Recibir fijo = +bono fijo − bono flotante
  - Pagar fijo = el espejo exacto
- Pata flotante = par
  - El cupón se resetea al tipo de mercado r
  - (1+r)/(1+r) se cancela → VA = par
  - Se cumple en cada reseteo, rodando hacia atrás
  - Así V(recibir) = VA(bono fijo) − nocional
- Tipo swap par
  - Tipo fijo que da valor cero al inicio
  - s = (1 − DFₙ) / Σ τᵢ DFᵢ
  - Hace que el bono fijo se valore a la par
  - Σ τᵢ DFᵢ = el factor de anualidad
- Marcar a mercado
  - Cero solo al inicio, al tipo par
  - El que recibe gana cuando los tipos caen
  - El que paga gana cuando los tipos suben
  - V ≈ (s_contrato − s_mercado) × A × N

Un swap = bono fijo − bono flotante; el bono flotante es la par, así que el valor es VA(bono fijo) − nocional. Eso da el tipo swap par y el marcaje a mercado.

Repaso: valorar un swap como dos bonos

Pregunta 1 de 50 correct

Un swap de recibir fijo es equivalente a:

Largo de dos bonos a tipo fijoLargo de un bono a tipo fijo y corto de un bono a tipo flotanteLargo de un bono a tipo flotante y corto de un bono a tipo fijoCorto de un bono a tipo fijo solamente

Check your answer to continue.

A continuación — la curva swap y el descuento OIS — de dónde salen realmente esos factores de descuento, por qué las mesas post-2008 descuentan los flujos de caja de los swaps sobre la curva a un día (OIS) en lugar de la propia curva swap, y cómo se construye toda la estructura mediante bootstrapping a partir de las cotizaciones de mercado.