Los FRA: los ladrillos de un swap

Ya sabéis lo que es un swap — dos partes que intercambian un flujo de caja fijo por uno variable. Pero antes de poder valorarlo, hace falta hacer zoom hasta un solo tornillo de la máquina. Ese tornillo es el FRA: un contrato que os permite fijar un tipo de interés futuro hoy, sobre un único nocional, para un único periodo. Dominad el FRA y un swap deja de ser un amasijo misterioso — se convierte en una hilera ordenada de FRA atornillados unos a otros. ¿Y el tipo que cada FRA fija de forma justa? Es el tipo forward que ya conocisteis en las lecciones de la curva de tipos. Así que empezamos por ahí y luego construimos hacia arriba.

Tipos forward: el tipo que podéis fijar hoy para un periodo futuro

Primero el pretest:

Analogía. Un tipo al contado es el precio de un viaje que empieza ahora. Un tipo forward es el precio, cotizado ahora, de un viaje que empieza más tarde — como reservar el vuelo del verano que viene a la tarifa fijada de hoy. La aerolínea no puede ganar dinero ofreciéndoos una tarifa futura incoherente con los precios de hoy, y un banco tampoco: el tipo forward queda forzado por el no arbitraje a partir de los tipos que ya están en la curva.

La definición. Un tipo forward $f_{1,2}$ es el tipo de interés, acordado hoy, para pedir prestado o prestar durante una ventana futura — aquí del año 1 al año 2. No es una previsión ni un parámetro libre. Queda clavado por la regla de que dos maneras de invertir durante dos años deben pagar lo mismo:

donde $z_1$ y $z_2$ son los tipos al contado (cupón cero) a 1 año y a 2 años de hoy. El lado izquierdo hace crecer vuestro dinero al tipo a 2 años durante dos años. El lado derecho lo hace crecer al tipo a 1 año y luego lo reinvierte al forward durante el segundo año. Si difirieran, podríais pedir barato por un camino y prestar caro por el otro para conseguir dinero gratis — así que el mercado no permite que difieran.

Ejemplo resuelto — extraer el forward a 1 año, dentro de 1 año. Tomad $z_1 = 4\%$ y $z_2 = 5\%$. Despejad $f_{1,2}$:

Haciendo la aritmética: $1.1025 / 1.04 = 1.06010$, así que $f_{1,2} = 0.06010 = 6.01\%$. Fijaos en que aterriza por encima de ambos contados — esa es la firma de una curva ascendente. Si la curva se hubiera invertido ($z_2 \lt z_1$), el forward habría caído por debajo de ambos. El forward es una lectura apalancada de la pendiente de la curva, no de su nivel.

El FRA: un contrato forward cuyo subyacente es un tipo de interés

Pretest:

La definición. Un acuerdo de tipo forward (FRA) es un contrato extrabursátil (negociado en privado, no en bolsa) que fija el tipo de interés de un único periodo futuro, llamado tipo del FRA o strike $K$, sobre un nocional acordado $N$. No cambia de manos ningún principal — el nocional es solo el tamaño sobre el que se calcula el interés. Es un contrato forward como cualquier otro, salvo que el subyacente no es un barril de petróleo ni una fanega de trigo; es un tipo de interés.

Quién gana en cada dirección. Hay dos lados:

• El comprador / largo es, económicamente, un prestatario futuro. Ha fijado su coste en $K$, así que gana si el tipo de referencia sube por encima de $K$ — el mercado se encareció, pero él paga el tipo fijado más barato.
• El vendedor / corto es un prestamista futuro. Ha fijado su rendimiento en $K$, así que gana si el tipo de referencia cae por debajo de $K$ — el mercado se volvió tacaño, pero él sigue cobrando el tipo fijado más alto.

Es una apuesta de suma cero sobre dónde imprime un tipo futuro respecto a $K$. El tipo de referencia $r_{\text{ref}}$ es algún índice acordado (históricamente el LIBOR, ahora tipos como SOFR o EURIBOR), observado al inicio del periodo del contrato — el fixing.

La notación. Los FRA se cotizan como ”$a$ x $b$”, siendo ambos números meses desde hoy: el periodo del tipo empieza en el mes $a$ y termina en el mes $b$. Así que un FRA 3x9 empieza en 3 meses, termina en 9, y fija el tipo a 6 meses cuyo fixing ocurre dentro de 3 meses. Un 1x4 fija un tipo a 3 meses, dentro de un mes. La distancia $b - a$ es la longitud del tipo que estáis fijando.

Liquidación del FRA: efectivo hoy, descontado porque el interés se debe más tarde

Pretest:

La mecánica. Aquí está el detalle que despista a todo el mundo. El interés que un FRA referencia, en un préstamo real, se pagaría al final del periodo. Pero un FRA liquida en efectivo un único pago neto al inicio del periodo, justo después del fixing del tipo. Pagar antes significa que hay que descontar la diferencia de interés hasta la fecha de liquidación. La liquidación al largo (comprador) es:

donde $N$ es el nocional, $K$ el strike, $r_{\text{ref}}$ el tipo de referencia realizado, y $\tau$ la fracción de conteo de días — la longitud del periodo como fracción de un año (p. ej. un periodo de 6 meses es aproximadamente $\tau = 0.5$). El numerador es la simple diferencia de interés; el denominador $1 + r_{\text{ref}}\,\tau$ es el factor de descuento que arrastra ese importe de fin de periodo hasta el inicio. Si $r_{\text{ref}} \gt K$, el número es positivo y fluye al largo; si $r_{\text{ref}} \lt K$, es negativo y el largo paga.

Ejemplo resuelto. Un tesorero compra un FRA 6x12 sobre un nocional de $10 millones a un strike de $K = 5\%$, fijando un tipo a 6 meses. Seis meses después el tipo hace fixing en $r_{\text{ref}} = 6\%$. Conteo de días $\tau = 0.5$.

• Diferencia de interés bruta (lo que un préstamo real liquidaría a fin de periodo): $$N\,(r_{\text{ref}} - K)\,\tau = 10{,}000{,}000 \times (0.06 - 0.05) \times 0.5 = 10{,}000{,}000 \times 0.005 = 50{,}000,$$ es decir, $50.000.
• Factor de descuento (liquidar ahora, no en 6 meses): $$1 + r_{\text{ref}}\,\tau = 1 + 0.06 \times 0.5 = 1.03.$$
• Liquidación pagada al largo al inicio del periodo: $$\frac{50{,}000}{1.03} = 48{,}543.69,$$ es decir, $48.543,69.

Así que el largo se embolsa $48.543,69 por adelantado. ¿Por qué no los $50.000 completos? Porque esos $50.000 eran una cifra de fin de periodo; recibirla seis meses antes vale un pelín menos, así que la llevamos a valor presente. El tesorero queda exactamente compensado: el tipo fijado más barato que el mercado le ahorró $50.000 de interés futuro, y $48.543,69 hoy son $50.000 dentro de seis meses al 6%.

Un swap es una tira de FRA

Pretest:

La idea central. Aquí está la recompensa de toda esa molienda de FRA. Coged un swap multiperiodo y cortadlo periodo a periodo. Cada periodo variable es, económicamente, un único FRA — un tipo de referencia futuro intercambiado contra un tipo fijo, sobre el nocional, para esa ventana. El tipo fijo justo para ese periodo en solitario es simplemente su tipo forward, leído en la curva de hoy. Así que un swap es una tira de FRA: una hilera de fijaciones de tipo de un solo periodo, una por fecha de pago, grapadas juntas.

Ahora el truco que convierte una tira de FRA en un swap. En un swap, ambos lados quieren un tipo fijo constante a lo largo de todos los periodos, no un tipo forward distinto cada periodo. Así que reemplazamos la secuencia dentada de tipos forward por un único tipo fijo — el tipo swap — elegido de modo que el trato siga siendo justo en conjunto. Ese tipo swap es una media de los tipos forward ponderada por los factores de descuento: los periodos no cuentan por igual, porque los flujos de caja posteriores se descuentan más, así que los forwards más cercanos pesan más.

El tipo swap (~5,2% aquí) no es ningún forward individual — es el nivel que, aplicado plano a cada periodo, tiene el mismo valor presente que pagar el forward propio de cada periodo. Fijad cada periodo a su forward (una tira de FRA) o fijad todos los periodos al tipo swap mezclado (un swap): el mismo valor total hoy, por no arbitraje.

Cuándo usarlo

Usad un FRA cuando tengáis exactamente una exposición a un tipo de interés futuro que neutralizar — un único préstamo que renueva en tres meses, un depósito que vence en seis. Usad el tipo forward como el strike justo al que pactarlo, y recordad que la liquidación se descuenta al inicio del periodo, no se paga íntegra a fin de periodo. Echad mano de la visión de tira de FRA en cuanto os enfrentéis a una exposición multiperiodo: eso es un swap, y descomponerlo en sus FRA componentes es como lo valoraréis, lo arriesgaréis y lo cubriréis. El FRA es el átomo; el swap es la molécula.

Recapitulando

Un tipo forward es el tipo de interés que podéis fijar hoy para un periodo futuro, clavado por el no arbitraje de modo que reinvertir el contado cercano en el forward reproduzca el rendimiento capitalizado del contado lejano — empujando el forward por encima de ambos contados en una curva ascendente. Un FRA cristaliza uno de esos tipos en un contrato OTC vinculante: fija un strike $K$ sobre un nocional para una única ventana (cotizado “$a$x$b$” en meses), el largo gana cuando el tipo de referencia sube por encima de $K$, y liquida en efectivo por adelantado al valor descontado $N(r_{\text{ref}} - K)\tau / (1 + r_{\text{ref}}\tau)$ — descontado precisamente porque el interés referenciado pertenece al final del periodo. Y el gran replanteamiento: un swap es una tira de FRA, siendo el tipo justo de cada periodo su forward, con el único tipo swap una media de esos forwards ponderada por los factores de descuento. Sostened esa imagen y un swap deja de ser una caja negra — es Lego.

A continuación — valorar un swap como la diferencia de dos bonos — cobramos la idea de la tira de FRA y valoramos todo el asunto como un bono a tipo fijo menos un bono a tipo variable, despejando el tipo swap que los hace equilibrarse en el origen.