Las griegas

La fórmula de Black–Scholes escupe un único número: la prima. Útil — durante exactamente un instante. En cuanto la acción se mueve, el reloj avanza o cambia el humor del mercado respecto a la volatilidad, ese número queda obsoleto. De lo que vive realmente un operador no es del precio, sino de cómo reacciona el precio — y esas reacciones tienen nombre, tomado (en su mayoría) del alfabeto griego.

Una griega es la derivada parcial del valor de la opción $V$ respecto a un input, manteniendo el resto fijo. Cada una responde a una única pregunta: “si esto se mueve un poco, ¿cuánto se mueve mi prima?”. Piensa en ellas como los indicadores del salpicadero de una posición en opciones: velocidad, gasolina, temperatura del motor. Una ojeada y puedes predecir tu P&L y cubrir tu riesgo antes de que el movimiento ocurra.

Antes de cablear el salpicadero, una comprobación rápida de instinto.

Delta: cuánto se mueve el precio con la acción

Analogía. Delta es el tipo de cambio de tu opción hacia el subyacente. Una delta de 0,5 dice: por cada $1 que se mueve la acción, tu opción se mueve $0,50 — como si tuvieras media acción.

Definición. $\Delta = \dfrac{\partial V}{\partial S}$ — la primera derivada del valor respecto al precio spot. Según Black–Scholes, la delta de una call es $N(d_1)$, que vive entre 0 y 1. La delta de una put es $N(d_1) - 1$, que vive entre −1 y 0. Las opciones muy out-of-the-money apenas reaccionan (delta cercana a 0); las muy in-the-money se mueven casi uno a uno con la acción (delta de call cercana a 1, delta de put cercana a −1). At the money, la delta ronda 0,5 en una call (y alrededor de −0,5 en una put).

Delta tiene dos lecturas, y los buenos operadores sostienen ambas a la vez:

• El ratio de cobertura. Delta es literalmente acciones del subyacente por opción. ¿Largo en una call con $\Delta = 0.5$ sobre un contrato de 100 acciones? Estás efectivamente largo en 50 acciones. Vende en corto 50 acciones y tus pequeños movimientos se cancelan — eres delta-neutral.
• Una probabilidad aproximada de acabar in-the-money. $N(d_1)$ no es exactamente esa probabilidad, pero sirve como cálculo de servilleta: una call de delta 0,30 es, a grandes rasgos, “más o menos un 30% probable de expirar ITM”.

Cobertura delta, con números

Estás largo en 1 call, $\Delta = 0.5$, sobre 100 acciones. Delta de la posición $= 0.5 \times 100 = +50$ — te comportas como alguien largo en 50 acciones. Neutralízala: vende en corto 50 acciones. Ahora comprueba un pequeño bandazo, acción a $100:

• La acción sube a $101. La call gana alrededor de $0.50 \times 100 = 50$, es decir $50. El corto en acciones pierde $50 \times 1 = 50$, es decir $50. Neto $\approx 0$.
• La acción cae a $99. La call pierde unos $50. El corto en acciones gana $50. Neto $\approx 0$.

La posición apenas se inmuta en ningún sentido — eso es lo que te compra ser delta-neutral. La trampa está en esa palabrita alrededor: la delta es solo la pendiente de primer orden, y la propia pendiente cambia a medida que la acción se mueve. Que es justo el siguiente indicador.

Gamma: lo deprisa que cambia la propia delta

Analogía. Si la delta es tu velocidad, gamma es tu aceleración — lo rápido que se mueve la aguja del velocímetro. Un coche a 50 km/h constantes (delta alta, gamma cero) es predecible. Un coche pisando a fondo (gamma alta) hace que tu lectura de “a qué velocidad voy” quede obsoleta en segundos.

Definición. $\Gamma = \dfrac{\partial \Delta}{\partial S} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2}$ — la segunda derivada del valor, la curvatura de la curva precio-vs-spot. Gamma tiene forma de campana: alcanza su máximo at the money, cae hacia 0 muy ITM o muy OTM (donde la delta se ha aplanado en 1 o 0 y deja de cambiar), y es siempre positiva para una opción larga (call o put).

Por qué importa: una gamma alta hace que tu cobertura delta quede obsoleta deprisa. Reequilibras a delta-neutral a $100, la acción salta a $105 y de repente ya no eres neutral — la gamma desplazó silenciosamente tu delta mientras no mirabas. Así que recubres, una y otra vez.

Ese baile de recobertura lleva una dirección grabada en su signo:

• Largo en gamma se beneficia de los grandes movimientos. Recubrir un libro largo en gamma te obliga a comprar bajo y vender alto mecánicamente — comprar acción cuando cae (la delta baja), vender acción cuando sube (la delta sube). La volatilidad literalmente te paga.
• Corto en gamma sangra con los grandes movimientos. Si vendes opciones estás corto en gamma: recubrir te obliga a comprar alto y vender bajo, el peor reflejo posible. Un movimiento violento es un goteo constante de pérdidas.

Un dato más para archivar: la gamma es mayor en las opciones at-the-money próximas al vencimiento. Al acercarse el vencimiento, la delta de una opción ATM salta de “podría ir a cualquier lado” a un duro 0 o 1 en un rango de precios finísimo — una gamma altísima y puntiaguda.

Theta: el precio del paso del tiempo

Analogía. Theta es el cubito de hielo que se derrite. Una opción está hecha en parte de valor temporal — la posibilidad de que las cosas se muevan a tu favor antes del vencimiento — y ese hielo se derrite un poco cada día, se mueva o no la acción.

Definición. $\Theta = \dfrac{\partial V}{\partial t}$ — sensibilidad al paso del tiempo. Para una opción larga suele ser negativa: cada día que pasa erosiona la prima. El sangrado no es lineal — se acelera en las opciones at-the-money a medida que se acerca el vencimiento, y luego se desploma en los últimos días. La theta se suele cotizar como los dólares perdidos por día.

Aquí está el gran trade-off sobre el que gira todo el negocio de las opciones: theta y gamma son dos caras de una misma moneda.

• Las opciones largas pagan theta para tener gamma. Sangras un poco cada día (theta negativa) a cambio del derecho a cosechar grandes movimientos (gamma positiva). Estás alquilando volatilidad.
• Las opciones cortas cobran theta pero están cortas en gamma. Te embolsas el decaimiento temporal cada día (theta positiva) — pero estás expuesto a la ruina si la acción hace un movimiento violento (gamma negativa). Eres el casero que alquila la volatilidad.

No hay comida gratis: sea cual sea el lado de la theta en el que te sientes, te sientas en el lado opuesto de la gamma.

Vega: sensibilidad a la volatilidad

Analogía. Vega mide cuánto le importa a tu opción el pronóstico de turbulencias. Más oleaje esperado significa un cono más ancho de resultados posibles, lo que significa más probabilidad de que la opción acabe muy en el dinero — así que la prima se hincha.

Definición. $\nu = \dfrac{\partial V}{\partial \sigma}$ — sensibilidad a un cambio en la volatilidad. Es siempre positiva para una opción larga (call y put): más volatilidad ayuda al titular, que se queda con el potencial alcista y descarta el bajista. Como gamma y theta, vega tiene forma de campana y alcanza su máximo at the money — y, crucialmente, es mayor en opciones con vencimientos más largos, porque hay más tiempo para que una volatilidad más alta llegue a expresarse de verdad.

Rho: sensibilidad a los tipos de interés

Analogía. Rho es el indicador que casi nadie mira — la temperatura del refrigerante del salpicadero. Solo se enciende en rojo en posiciones de muy largo plazo.

Definición. $\rho = \dfrac{\partial V}{\partial r}$ — sensibilidad al tipo de interés libre de riesgo. Es positiva para las calls (un tipo más alto reduce el valor presente del precio de ejercicio que pagarás más tarde, lo que ayuda a una call) y negativa para las puts (el precio de ejercicio que recibirás vale menos en términos de valor presente). Para las opciones ordinarias de corto plazo, rho es la griega más pequeña y más ignorada — pero para opciones de largo plazo (LEAPS) y en regímenes de tipos altos, importa lo suficiente como para modelarla con cuidado.

Los signos, todos en una tabla

Para una posición larga, los signos de las cinco griegas están completamente fijados. Grábate esta cuadrícula:

El patrón que merece memorizarse: una opción larga está larga en gamma y larga en vega (le encantan el movimiento y la incertidumbre), corta en theta (paga por ese amor cada día), con delta y rho como las únicas griegas cuyo signo depende de call-vs-put.

Griegas de segundo orden (solo de pasada)

Las cinco de arriba son los caballos de batalla, pero las derivadas no se detienen. Hay griegas de segundo orden que miden cómo se mueven las griegas de primer orden: vanna (cómo responde la delta a la volatilidad, o la vega al spot), charm (cómo decae la delta con el tiempo) y vomma (cómo responde la vega a la volatilidad). No las calcularás a mano, pero los profesionales que gestionan libros grandes desde luego las vigilan. Por ahora, basta con saber que la madriguera sigue bajando — cada griega tiene su propia griega.

Juntándolo todo

Las griegas convierten una prima congelada en una imagen viva del riesgo. Delta es tu exposición a la acción (y tu ratio de cobertura); gamma es lo deprisa que cambia esa exposición; theta es el alquiler que pagas (o cobras) por el tiempo; vega es tu exposición al pronóstico de volatilidad; rho es la idea tardía sobre los tipos que solo despierta en operaciones de largo plazo. Las opciones largas están largas en gamma/vega y cortas en theta; las opciones cortas son el espejo exacto — y todos los signos se invierten con la posición.

A continuación — Volatilidad implícita — ponemos el motor a girar al revés. En lugar de meter una volatilidad en Black–Scholes para obtener un precio, tomamos el precio de mercado como dado y despejamos la volatilidad que lo justifica. La vega es la palanca que hace posible esa inversión, y el número que sale — la volatilidad implícita — es la cifra más observada de todo el mercado de opciones.