La fórmula de Black-Scholes

El árbol binomial era una escalera: troceas el tiempo en pasos, valoras la opción en cada nodo y pliegas hacia atrás. Añade más pasos y la escalera se alisa hasta convertirse en una rampa. En 1973, Fischer Black, Myron Scholes y Robert Merton anotaron dónde aterriza esa rampa: una única ecuación en forma cerrada que da el precio justo de una opción europea sin ningún árbol que plegar. Ganó un Premio Nobel, sostiene un mercado de varios billones y cabe en una sola línea. Vamos a ganarnos esa línea.

Antes, una comprobación instintiva.

El resultado principal

Para una call europea sobre una acción que no paga dividendos, el precio de Black-Scholes es:

$C = S_0\,N(d_1) - K e^{-rT}\,N(d_2)$

donde

$d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + \left(r + \tfrac{1}{2}\sigma^2\right)T}{\sigma\sqrt{T}}, \qquad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}.$

Aquí $N(\cdot)$ es la función de distribución acumulada de la normal estándar: para cualquier número $z$, $N(z)$ es la probabilidad de que una extracción de la campana de Gauss caiga por debajo de $z$. Va de $0$ (extremo izquierdo) pasando por $0.5$ (en cero) hasta acercarse a $1$ (extremo derecho).

La put no necesita su propia derivación: sale directamente de la paridad put-call:

$P = K e^{-rT}\,N(-d_2) - S_0\,N(-d_1).$

Esa es toda la maquinaria. Entran seis entradas, sale un precio. El resto de esta lección trata sobre por qué tiene exactamente esta forma, porque una vez que sabes leer la fórmula, las griegas de la próxima lección son simplemente sus derivadas.

Las seis entradas: cinco que puedes ver, una que no

¿Recuerdas los seis impulsores de la prima de una opción del tema anterior? Black-Scholes es exactamente esos seis impulsores convertidos en aritmética. Cinco de ellos los puedes leer de una pantalla ahora mismo; el sexto tienes que preverlo.

Esa asimetría importa enormemente. Mete cinco conocidos y una conjetura en la fórmula y obtienes un precio. Pero ejecútala al revés —introduce un precio de mercado y despeja la $\sigma$ que lo reproduce— y habrás extraído la previsión de volatilidad del mercado. Ese número tiene un nombre, volatilidad implícita, y es el tema de dos lecciones más adelante.

Los supuestos, y lo que te cuesta cada uno

La fórmula es exacta, pero solo dentro de un modelo concreto del mundo. Seis supuestos te compran la forma cerrada limpia; cada uno es también donde la realidad acaba haciendo un agujero.

El supuesto (a) es la clave de bóveda. “Movimiento browniano geométrico” es una forma elegante de decir que los rendimientos porcentuales de la acción son aleatorios y se distribuyen de forma normal, así que el logaritmo del precio es normal, y por tanto el precio en sí es lognormal: no puede ser negativo y está sesgado con una larga cola por la derecha. Retén esa imagen; todo el significado de la fórmula vive en ella.

Qué significa realmente la fórmula

Esta es la recompensa de la lección. La ecuación no es un conjuro mágico: cada pieza tiene un cometido en lenguaje llano. Léela como (valor presente de lo que recibes) menos (valor presente de lo que pagas), cada parte ponderada por la probabilidad adecuada.

$N(d_2)$: la probabilidad neutral al riesgo de acabar in-the-money

Bajo el mundo neutral al riesgo del modelo, $N(d_2)$ es la probabilidad de que la call acabe in-the-money, es decir, $S_T > K$ al vencimiento. Imagina la distribución lognormal del precio terminal: $N(d_2)$ es la masa sombreada situada por encima del strike, la porción de futuros donde ejercer realmente compensa.

Sube la volatilidad o el tiempo y esa cola derecha engorda, empujando más probabilidad por encima de $K$. Bájalos y la distribución se estrecha en torno al precio de hoy. Juega con ello directamente: arrastra σ y T y observa cómo la masa in-the-money (que es $N(d_2)$) crece y mengua:

$N(d_1)$: la delta, el ratio de cobertura

$N(d_1)$ es la delta de la call: cuánto se mueve el precio de la opción ante un movimiento de $1 en la acción, y la fracción de acciones que debes mantener para cubrirla. El término $S_0\,N(d_1)$ es el valor presente de recibir la acción, condicionado a que realmente ejerzas: el valor esperado de la acción que cobrarás, ponderado hacia los casos en que sí la cobras. (Fíjate en que $N(d_1) \geq N(d_2)$ siempre, ya que $d_1 > d_2$: el valor de la acción recibe más peso que la probabilidad bruta de ejercicio, porque cuando ejerces sueles estar profundamente in-the-money.)

$K e^{-rT}\,N(d_2)$: el valor presente de pagar el strike

El segundo término es lo que entregas. Pagas el strike $K$ solo si ejerces, lo que ocurre con probabilidad $N(d_2)$; lo pagas al vencimiento, así que lo descuentas hacia atrás con $e^{-rT}$. Ese producto —strike, descontado, por la probabilidad de que realmente pagues— es el valor presente del efectivo que desembolsarás.

Así que el precio de la call es sencillamente:

$\underbrace{S_0\,N(d_1)}_{\text{VP de la acción que recibes}} \;-\; \underbrace{K e^{-rT}\,N(d_2)}_{\text{VP del efectivo que pagas}}.$

Entiende esto y la fórmula deja de ser símbolos. Es un “lo que recibes menos lo que entregas” ponderado por probabilidad.

Un ejemplo completo resuelto

Vamos a valorar una call at-the-money a un año con números limpios, mostrando cada paso. Entradas:

• Spot $S_0 = 100$
• Strike $K = 100$ (at the money)
• Tipo sin riesgo $r = 0.05$ (5 %)
• Volatilidad $\sigma = 0.20$ (20 %)
• Tiempo $T = 1$ año

Paso 1: el término de dispersión.

$\sigma\sqrt{T} = 0.20 \times \sqrt{1} = 0.20.$

Paso 2: calcula $d_1$. Como $S_0 = K$, tenemos $\ln(S_0/K) = \ln(1) = 0$, así que el numerador es solo el término de deriva:

$d_1 = \frac{0 + \left(0.05 + \tfrac{1}{2}\cdot 0.20^2\right)\cdot 1}{0.20} = \frac{0.05 + 0.02}{0.20} = \frac{0.07}{0.20} = 0.35.$

Paso 3: calcula $d_2$.

$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} = 0.35 - 0.20 = 0.15.$

Paso 4: consulta la CDF normal. Usa esta pequeña tabla de referencia.

Así que $N(d_1) = N(0.35) \approx 0.6368$ y $N(d_2) = N(0.15) \approx 0.5596$.

Lee $N(d_2)$ como una frase: hay alrededor de un 56 % de probabilidad neutral al riesgo de que esta call acabe in-the-money.

Paso 5: monta el precio. Primero el factor de descuento: $e^{-rT} = e^{-0.05} \approx 0.9512$. Después:

$C = S_0\,N(d_1) - K e^{-rT}\,N(d_2) = 100\cdot 0.6368 - 100\cdot 0.9512\cdot 0.5596.$

$C = 63.68 - 53.23 \approx 10.45.$

El valor justo de esta call a un año at-the-money es de unos $10,45 por acción: aproximadamente el 10,5 % del precio de la acción, una regla práctica útil para una opción a un año, at-the-money y con 20 % de volatilidad.

Valorar la put correspondiente

No volvemos a derivar nada: la paridad put-call hace el trabajo. Con las mismas entradas, el precio de la put usa las probabilidades complementarias $N(-d_1)$ y $N(-d_2)$. Inténtalo antes de mirar.

Poniéndolo todo junto

Black-Scholes convierte la escalera binomial en una única línea cerrada. Aliméntala con seis entradas —cinco observables, solo $\sigma$ una previsión—, supón un precio terminal lognormal con volatilidad y tipo constantes, y sale el valor justo de una opción europea como el valor presente de la acción que recibirías menos el valor presente del strike que pagarías, cada parte ponderada por la probabilidad adecuada. $N(d_2)$ es la probabilidad de que acabes in-the-money; $N(d_1)$ es tu delta.

A continuación —Las griegas— dejamos de tratar el precio como un número y empezamos a derivarlo. A la delta ya la conoces (es $N(d_1)$); ahora conoce a sus hermanas —gamma, theta, vega y rho—, cada una una derivada parcial de esta misma fórmula, que mide cómo reacciona el precio cuando una entrada se mueve.