Black–Scholes traga seis datos y escupe un precio. Ya conoces los seis. Aquí está el truco que nadie te cuenta de entrada: en el mundo real, los traders casi nunca ejecutan la fórmula como te la enseñamos. La ejecutan al revés — y el número que sale de ahí, la volatilidad implícita, se convierte en el idioma que habla todo el mercado de opciones. Al final de esta lección, “precio” te parecerá una traducción torpe, y “vol” te sonará a lengua materna.
Empecemos con una suposición.
Before you read — take a guess
Black–Scholes toma seis datos: contado, strike, tiempo, tipo de interés, dividendos y volatilidad. Para una opción cotizada, ¿cuál NO puedes simplemente leer en una pantalla?
Cinco datos que ves, uno que no
Pon en fila los seis datos de Black–Scholes y ordénalos por honestidad. ¿Precio de contado? En la pantalla. ¿Strike? Escrito en el contrato. ¿Tiempo hasta vencimiento? Cuenta los días. ¿Tipo sin riesgo? Una rentabilidad del bono del Tesoro. ¿Dividendos? Anunciados o previstos con bastante confianza. Cinco de los seis son hechos observables que puedes consultar en segundos.
Luego está la volatilidad, — la desviación típica de los rendimientos futuros del subyacente. Se refiere a cuánto se bamboleará la acción entre ahora y el vencimiento, algo que aún no ha sucedido. No puedes consultarla, porque el futuro no se ha imprimido todavía. Es el único ingrediente genuinamente desconocido de la receta.
Así que Black–Scholes, ejecutada hacia delante, tiene un problema: para obtener un precio debes suponer una que en realidad no puedes conocer. Incómodo — hasta que te das cuenta de que hay un séptimo número justo ahí en la pantalla que hemos estado ignorando.
El número que olvidamos usar
El precio de mercado de la opción también es observable. Alguien acaba de negociarlo. Esa prima cotizada es un hecho firme, exactamente igual que el contado y el strike — y secretamente lleva información sobre , porque quien fijó ese precio tenía una visión de volatilidad en la cabeza. Estamos a punto de extraerla.
Ejecuta la fórmula al revés
Aquí está la inversión, la idea más importante de esta lección. Hacia delante, Black–Scholes es:
Cinco datos son conocidos y el precio también es conocido. Así que queda exactamente una incógnita en la ecuación: . En lugar de meter una volatilidad para obtener un precio, metemos el precio y despejamos la volatilidad que hace que la fórmula devuelva ese precio.
Ese valor despejado es la volatilidad implícita (VI): la volatilidad implícita en el precio de mercado. Es la previsión colectiva del mercado sobre la volatilidad futura, obtenida por ingeniería inversa a partir de lo que la gente está pagando realmente. Si una call cotiza cara, la VI es alta — la multitud se prepara para un gran movimiento. Si cotiza barata, la VI es baja — la multitud espera calma.
Enuncia la inversión en una frase.
Pick the right option for each blank, then check.
La volatilidad implícita se halla fijando el de la opción y resolviendo Black–Scholes para la que lo reproduce. Es la prospectiva del mercado sobre cuánto se moverá el subyacente.
No hay fórmula limpia — así que la cazamos
Te encantaría tener una inversa algebraica limpia, . No existe. Black–Scholes no se puede reordenar para aislar en forma cerrada — la volatilidad está enterrada dentro de dos términos normales acumulados. Así que lo resolvemos numéricamente: adivina, comprueba el precio resultante, ajusta, repite hasta que cuadre.
Dos hechos hacen esto fácil y fiable:
- El precio es estrictamente creciente en . Eso no es más que vega > 0 — toda opción que has visto se encarece a medida que sube la volatilidad. Estrictamente monótono significa que hay exactamente una VI para cualquier precio razonable, y ninguna ambigüedad sobre hacia dónde empujar tu suposición.
- Vega es la pendiente. Te dice cuán rápido sube el precio por punto de volatilidad, lo que convierte la adivinación en un paso preciso.
El método tosco pero a prueba de balas es la bisección: acota la VI entre, digamos, 1% y 200%, prueba el punto medio, y divide el intervalo a la mitad según si tu precio de prueba es demasiado alto o demasiado bajo. Lento pero siempre converge.
El método rápido es el método de Newton, que usa vega como pendiente para saltar directo hacia la respuesta:
En cristiano: toma tu suposición actual, mira cuánto se desvía el precio del modelo respecto al precio de mercado, y divide ese desfase por vega para convertir el error de precio en una corrección de volatilidad. Luego da el paso.
Mira una iteración de Newton aproximarse a la respuesta
Una call cotiza a un precio de mercado de $5.00. Queremos la VI.
Suposición σ = 20%. Métela: Black–Scholes devuelve $4.20. Demasiado bajo — el modelo está infravalorando, así que nuestra suposición de volatilidad es demasiado pequeña (más vol ⇒ más valor). Supón que vega en este punto es 0.16 (el precio sube $0.16 por cada punto de vol, es decir, por cada 0.01 de σ).
Paso de Newton: el desfase de precio es $4.20 − $5.00 = −$0.80. Divide por vega expresada por unidad de σ (0.16 / 0.01 = 16 por σ entera):
Recomprueba σ = 25%: Black–Scholes ahora devuelve $4.95 — casi clavado. Un pasito más te lleva a aproximadamente σ ≈ 25.3%, donde el precio del modelo iguala $5.00. Esa es la volatilidad implícita. Dos o tres iteraciones es lo típico; la monotonía estricta garantiza que converges.
En el método de Newton para la VI, ¿por qué dividir el error de precio por vega da un paso de volatilidad sensato?
Implícita frente a realizada: dos volatilidades muy distintas
La gente dice “volatilidad” y se refiere a dos cosas opuestas, así que distíngelas ya.
La volatilidad realizada (histórica) es cuánto se bamboleó la acción realmente. La mides a posteriori a partir del registro de precios — anualiza la desviación típica de los rendimientos diarios pasados. Es un hecho sobre el pasado, plenamente observable, sin opinión de por medio.
La volatilidad implícita es la apuesta prospectiva del mercado, el número que acabamos de extraer de los precios de las opciones. Se refiere al futuro, así que es una expectativa, no una medición.
Estos dos números normalmente no son iguales — y la brecha tiene dirección. De media, en la mayoría de mercados y la mayor parte del tiempo, la vol implícita se sitúa por encima de la vol realizada posteriormente. Los vendedores de opciones, que sufren pérdidas catastróficas cuando una acción tranquila salta de repente, exigen un pago extra por soportar ese riesgo de cola. Esa prima incorporada a los precios de las opciones es la prima de riesgo de varianza — la razón estructural de que la VI tienda a ir “cara” respecto a lo que de verdad acaba ocurriendo.
La famosa frase de Rebonato
La volatilidad implícita es “el número equivocado que metes en la fórmula equivocada para obtener el precio correcto.” Los supuestos de Black–Scholes son demostrablemente falsos — y sin embargo, dale la VI del mercado y sale el precio del mercado. La VI no es realmente una previsión de la volatilidad física; es el único botón que el mercado gira para que un modelo defectuoso reproduzca las cotizaciones en las que todos coinciden. Útil, no literal.
Clasifica cada descripción bajo el tipo de volatilidad correcto.
Place each item in the right group.
- Medida a partir de la desviación típica de rendimientos pasados
- Extraída de los precios de mercado actuales de las opciones
- Plenamente observable a posteriori
- Tiende a superar a la otra de media (prima de riesgo de varianza)
- El bamboleo real e histórico de la acción
- Una expectativa prospectiva
La sonrisa: la gran confesión de Black–Scholes
Ahora el remate hacia el que ha ido construyendo toda la lección. Black–Scholes supone una única constante que se aplica a todos los strikes de un subyacente y vencimiento dados. Si ese supuesto fuera cierto, esta sería la predicción: extrae la VI de cada strike — puts muy fuera de dinero, en dinero, calls muy fuera — y obtendrías el mismo número cada vez. Una línea horizontal plana y aburrida.
El mercado no hace tal cosa. Toma precios reales de opciones, invierte cada uno, y representa la vol implícita frente al strike (o el moneyness, ). Obtienes una curva. Distintos strikes cotizan con distintas vols implícitas. Esto es la sonrisa de volatilidad, y es el mercado confesando a gritos que el modelo de una sola constante está equivocado.
Juega con la forma de abajo. La línea plana discontinua es la fantasía de Black–Scholes; la curva es lo que los mercados realmente cotizan. Alterna los ajustes preconfigurados para ver las dos personalidades canónicas.
- Volatilidad implícita
- 20.0%
- Referencia plana (Black–Scholes)
- 20.0%
Black–Scholes supone una única volatilidad para cada strike — la línea plana discontinua. Los mercados reales discrepan. Los índices de renta variable pujan al alza la vol de las puts bajistas en una mueca inclinada a la izquierda (todos quieren seguro contra caídas); las divisas curvan ambas alas hacia arriba en una sonrisa simétrica (cualquiera de las dos monedas puede desplomarse). Cada strike cotiza con su propia vol implícita.
Dos formas aparecen una y otra vez:
- Asimetría de índices de renta variable (la mueca). Para los índices bursátiles, la VI es más alta en strikes bajos — las puts fuera de dinero — y baja a medida que sube el strike. La curva se inclina a la izquierda. Dos fuerzas la impulsan: la demanda implacable de protección contra caídas (las instituciones compran perpetuamente puts bajistas, pujando su vol al alza), y el hecho de que los rendimientos reales de los índices tienen una cola izquierda más gruesa de lo que el modelo lognormal permite — las caídas son más bruscas y frecuentes de lo que predice una campana de Gauss. Esta asimetría apenas existía antes de octubre de 1987; tras el desplome en un solo día del Lunes Negro, apareció de golpe y nunca se fue. Los traders la llaman literalmente la “mueca de 1987”.
- Sonrisa de divisas. Para los pares de divisas, la curva es aproximadamente simétrica — ambas alas se elevan. La razón es estructural: en un par de divisas, cualquiera de los dos lados puede desplomarse. Una gran subida del EUR/USD es una gran caída del USD/EUR, así que el mercado exige protección de cola en ambos extremos. Miedo simétrico, sonrisa simétrica.
La sonrisa es el modelo admitiendo que se equivoca
La sonrisa de volatilidad no es una rareza que haya que afinar — es prueba de que el supuesto lognormal de vol constante falla en las colas. Los rendimientos reales tienen colas gruesas y son asimétricos; Black–Scholes no supone ninguna de las dos cosas. La sonrisa es el precio que tienes que doblar, strike a strike, para arrastrar un modelo equivocado hasta los precios correctos. Es el clásico “equivocado pero útil”: conserva la fórmula, dale a cada strike su propia VI, y reproduces el mercado.
¿Recuerdas la imagen lognormal del núcleo de valoración? Esa distribución acampanada y sesgada a la derecha es exactamente lo que Black–Scholes supone que obedece el precio terminal. La sonrisa es el mercado diciéndote que la distribución real tiene colas más pesadas que esa — especialmente a la baja para la renta variable. Observa la forma lognormal, luego imagina engordar su cola izquierda: esas colas más gruesas son precisamente lo que hace que las opciones fuera de dinero valgan más de lo que dice el modelo plano, lo que se manifiesta como VI elevada en esos strikes.
- Probabilidad de acabar in-the-money
- 28.2%
- Precio mediano al vencimiento
- 98.02
Black–Scholes supone que el precio terminal es lognormal — sesgado a la derecha, nunca negativo. La sonrisa es el mercado apostando a que la distribución real tiene colas más gruesas que esta, así que las opciones de las alas cuestan más de lo que implica el modelo plano. Sube la volatilidad y observa engrosarse la cola: ese engrosamiento es lo que una sonrisa incorpora al precio strike a strike.
En un índice de renta variable observas que las puts de delta 25 (strikes bajos) implican un 28% de vol, mientras que las opciones en dinero implican un 20% y las calls de strike alto un 18%. Este patrón decreciente se explica mejor por:
Empareja cada concepto de volatilidad con su descripción.
Pick a term, then click its definition.
Estructura temporal: la vol también cambia con el tiempo
La sonrisa muestra la VI variando a lo largo del strike. Pero mantén el strike fijo y camina a lo largo del vencimiento, y la VI vuelve a cambiar — eso es la estructura temporal de la volatilidad. Una opción a una semana y una a un año sobre el mismo valor implican habitualmente vols distintas. En mercados tranquilos la estructura temporal suele tener pendiente creciente (los horizontes más largos incorporan más incertidumbre); justo tras un shock puede invertirse, con las opciones de vencimiento cercano gritando una vol alta que se espera que se desvanezca.
Junta las dos dimensiones — la VI como función de ambos, strike y vencimiento — y obtienes la superficie de volatilidad: una hoja tridimensional que los traders ajustan, suavizan y revaloran a lo largo del día. Es el objeto real que gestionan los bancos; el número único “la vol es del 20%” es una ficción cómoda.
El VIX: el miedo, en un solo número
La cifra de VI más famosa del planeta es el VIX. Es una medida independiente del modelo de la volatilidad implícita a 30 días del S&P 500, construida no a partir de una sola opción sino de toda una serie de precios de opciones del S&P 500 mezclados — así que no depende de que Black–Scholes sea correcto. Cotizado como un porcentaje anualizado, lo apodan el “indicador del miedo”: se sitúa en cifras bajas-medias de dos dígitos en mercados plácidos y se dispara violentamente en las caídas, cuando todos corren en estampida a comprar puts protectoras y los precios de las opciones — y por tanto la vol implícita — explotan. Cuando oyes “el VIX llegó a 80”, eso es el mercado de opciones incorporando caos a los precios.
¿Qué afirmaciones sobre el VIX y la volatilidad implícita son ciertas? (Selecciona todas las que correspondan.)
Hablar en vol: cómo piensan realmente los traders
Aquí está la recompensa de toda esta maquinaria: los profesionales cotizan, cubren y razonan en volatilidad, no en precio. Un dealer no dice “venderé esa call por $5.00”; dice “la venderé a 25 de vol”. El precio es una ocurrencia derivada — mete tu VI en Black–Scholes y sale solo.
Eso replantea todo lo que haces con opciones:
- Comprar cualquier opción es ponerse largo de volatilidad. Ganas si la vol realizada — o la VI que otros te pagarán más tarde — resulta mayor que la VI que pagaste. Vender es lo contrario: corto de vol, esperando calma.
- “Barato” y “caro” significan VI baja y alta respecto a tu propia previsión, no precio bajo o alto en dólares. Una opción de $0.20 puede ser carísima (40 de vol cuando crees que 20 es lo justo); una opción de $15 puede ser una ganga.
- La sonrisa implica que incluso “la vol” es una cuestión de qué strike. Cotizar un número sin strike ni vencimiento es como cotizar un precio sin divisa.
Clasifica cada afirmación de trader según lo que realmente implica.
Place each item in the right group.
- Pagar de más por una opción que esperas que se encarezca aún más en términos de vol
- Vender opciones porque crees que la VI está demasiado alta frente a tu previsión
- Comprar un straddle antes de una publicación de resultados
- Vender calls cubiertas para cosechar prima en un mercado tranquilo
- Cobrar prima apostando a que el mercado se mantiene tranquilo
- Comprar puts fuera de dinero como seguro contra caídas
Una acción está muerta de tranquila y una opción parece barata a solo $0.30. Compruebas: su vol implícita es del 55%, mientras que tu propia previsión para la acción es del 22% de vol realizada. La trampa aquí es:
Atándolo todo
Ya puedes ejecutar Black–Scholes en la dirección que importa. Cinco datos son observables, así que fijar el precio de mercado te permite invertir para el que no lo es — la volatilidad implícita, hallada numéricamente porque vega mantiene el precio estrictamente creciente en . La VI es una apuesta prospectiva que normalmente va por encima de la vol realizada (la prima de riesgo de varianza). Y como el modelo supone una sola constante pero los mercados cotizan una VI distinta en cada strike, obtienes la sonrisa — asimetría inclinada a la izquierda para la renta variable, simétrica para las divisas — extendida a lo largo de los vencimientos en la superficie de volatilidad completa, con el VIX como su lectura única más famosa.
Big picture
Volatilidad implícita y la sonrisa — la imagen completa
- Volatilidad implícita
- La inversión
- Cinco datos observables uno no
- Fija el precio de mercado despeja sigma
- Sin forma cerrada resuelve numéricamente
- Bisección o Newton con pendiente vega
- Implícita frente a realizada
- Realizada es bamboleo pasado medido
- Implícita es apuesta prospectiva
- Implícita normalmente supera a realizada
- Prima de riesgo de varianza
- La sonrisa
- Vol constante sería una línea plana
- Asimetría renta variable más vol en strikes bajos
- Sonrisa de divisas simétrica ambas alas
- Modelo equivocado en las colas pero útil
- Más allá de un número
- Estructura temporal vol varía con vencimiento
- Superficie de volatilidad strike por vencimiento
- VIX independiente del modelo 30 días SP500 indicador del miedo
- Operar en vol
- Cotiza y piensa en vol no en precio
- Comprar una opción es largo de volatilidad
- Barato caro significa VI baja alta frente a previsión
- La inversión
Repaso: volatilidad implícita y la sonrisa
La volatilidad implícita se obtiene:
Check your answer to continue.
Eso cierra el círculo de la valoración: ya puedes leer Black–Scholes en ambas direcciones, y hablas el idioma nativo del mercado de vol, asimetría y superficies. Todo en este arco — la intuición binomial, la fórmula, las griegas, y ahora la volatilidad implícita — se une a continuación en el examen final del tema, una única tanda calificada para demostrar que ha calado.