El modelo binomial al completo

En la lección anterior construiste una opción a partir de acciones y efectivo, viste cómo las probabilidades del mundo real se cancelaban en el álgebra y observaste un número nuevo y extraño — una probabilidad riesgo-neutral $q$ — que aparecía de la nada para hacer la valoración. Ese fue el truco de magia. Esta lección es el manual de instrucciones: escribiremos $q$ como una fórmula limpia, la haremos rodar por un árbol de varios pasos, calibraremos todo el invento a la volatilidad real de una acción y veremos cómo se convierte silenciosamente en Black–Scholes a medida que afinamos el tiempo. Al final podrás valorar una opción con un bolígrafo, una sola exponencial y algo de aritmética paciente.

Primero, una comprobación de lo que arrastras de la lección 1.

La fórmula de un paso, dicha con claridad

Plantea el futuro más sencillo posible: un periodo de longitud $T$, al final del cual la acción ha subido a $S_0 u$ o ha bajado a $S_0 d$. Aquí $u$ es el factor al alza y $d$ es el factor a la baja, con $d < 1 < u$ (bajar significa encoger, subir significa crecer). El tipo libre de riesgo durante el paso es $r$, así que un euro en el banco se convierte en $e^{rT}$.

La opción vale $V_u$ si la acción sube y $V_d$ si baja. El argumento de replicación de la lección 1 se reduce a dos líneas. Define la probabilidad riesgo-neutral al alza:

$q = \frac{e^{rT} - d}{u - d}$

Entonces el precio justo de la opción hoy es la media ponderada por $q$, descontada, de los dos resultados:

$V = e^{-rT}\,\big[\,q\,V_u + (1 - q)\,V_d\,\big]$

Lee cada pieza despacio, porque cada paso posterior no es más que esta frase repetida:

• $q\,V_u + (1-q)\,V_d$ es un pago esperado — pero ponderado por $q$, no por las probabilidades reales.
• $e^{-rT}$ descuenta ese pago esperado a euros de hoy (un euro al vencimiento vale menos que un euro ahora).
• $q$ se construye únicamente a partir de $u$, $d$ y el crecimiento libre de riesgo $e^{rT}$. Fíjate en lo que falta: la probabilidad real de una subida, la rentabilidad esperada de la acción, tu opinión. Nada de eso está en la fórmula.

La cota de no arbitraje

Para que $q$ se comporte como una probabilidad debe estar entre 0 y 1, y eso fuerza una condición sobre los factores:

$d < e^{rT} < u$

Esto no es un tecnicismo — es la ley que mantiene honesto al mercado. Supón que se rompiera. Si $e^{rT} \le d$, entonces incluso el resultado a la baja ($S_0 d$) crece al menos tan rápido como el efectivo: la acción solo puede ganar o empatar con el banco, nunca perder. Pides dinero prestado, compras la acción y tienes una comida gratis garantizada — arbitraje. Si $e^{rT} \ge u$, la acción nunca puede ni siquiera seguir el ritmo del banco, así que te pones corto, aparcas el dinero al tipo libre de riesgo y de nuevo embolsas un beneficio sin riesgo. Solo cuando el crecimiento libre de riesgo se sitúa estrictamente entre el resultado a la baja y el resultado al alza tiene la acción genuinamente un potencial al alza y a la baja — y solo entonces es $q$ un número entre 0 y 1.

Por qué q no es la probabilidad real

Esta es la idea con la que la gente tropieza durante años, así que dejémosla clavada. Reorganiza la definición de $q$ y pregúntate qué hace verdadero. Mete $q$ de vuelta en el precio de la acción esperado el próximo periodo:

$q\,(S_0 u) + (1 - q)\,(S_0 d) = S_0\,e^{rT}$

En palabras: $q$ es precisamente la probabilidad que hace que el crecimiento esperado de la propia acción iguale al tipo libre de riesgo. Bajo las probabilidades reales, se espera que una acción con riesgo supere al efectivo (esa rentabilidad extra es tu recompensa por tragarte el riesgo). Bajo $q$, esa prima de riesgo se elimina quirúrgicamente — se “espera” que todo activo, con riesgo o no, crezca exactamente a $r$. Por eso a $q$ se la llama probabilidad riesgo-neutral: describe un mundo de fantasía donde nadie exige rentabilidad extra por asumir riesgo.

Así que $q$ es un dispositivo de valoración, no una predicción. Si crees de verdad que la acción subirá el 70% de las veces, es una opinión de trading estupenda — pero no entra en el precio de la opción. El precio usa $q$, y $q$ queda fijada únicamente por $u$, $d$ y $r$. El mercado valora la opción “como si” todo el mundo fuera riesgo-neutral, no porque lo sea, sino porque esa es la única ponderación bajo la cual la receta replicante y la opción deben costar lo mismo. Confunde $q$ con tu predicción y valorarás mal cada contrato que toques.

Un ejemplo completo de dos pasos

Los números lo hacen concreto. Toma una acción a $S_0 = 100$, con $u = 1.2$ y $d = 0.8$ en cada paso, una call europea con precio de ejercicio $K = 100$ y — para mantener limpia la aritmética — un tipo libre de riesgo esencialmente cero de momento, así que $e^{rT} = 1$. Haremos dos pasos.

Paso A — haz crecer el árbol hacia delante. Cada nodo se multiplica por 1.2 o por 0.8:

Así que los tres precios terminales son 144, 96, 64. El pago de la call al vencimiento es $\max(S - K, 0)$ con $K = 100$:

• $V_{uu} = \max(144 - 100, 0) = 44$
• $V_{ud} = \max(96 - 100, 0) = 0$
• $V_{dd} = \max(64 - 100, 0) = 0$

Paso B — calcula $q$. Con $e^{rT} = 1$:

$q = \frac{1 - 0.8}{1.2 - 0.8} = \frac{0.2}{0.4} = 0.5$

Un pulcro cincuenta-cincuenta. (Es una coincidencia de nuestro tipo cero y unos factores casi simétricos — no esperes 0.5 en general.)

Paso C — induce hacia atrás, nodo a nodo. Ahora recorremos el árbol hacia atrás, aplicando $V = e^{-rT}[q V_u + (1-q) V_d]$ en cada nodo interior. Con $e^{-rT} = 1$ y $q = 0.5$ es simplemente la media de los dos hijos.

El nodo superior tras una subida (acción a 120) tiene hijos 44 y 0:

$V_u = 0.5 \times 44 + 0.5 \times 0 = 22$

El nodo inferior tras una bajada (acción a 80) tiene hijos 0 y 0:

$V_d = 0.5 \times 0 + 0.5 \times 0 = 0$

La raíz (hoy) tiene hijos $V_u = 22$ y $V_d = 0$:

$V_0 = 0.5 \times 22 + 0.5 \times 0 = 11$

La call vale 11 € hoy. No el pago promedio según tu intuición — la reducción hacia atrás del árbol entero, ponderada por $q$ y descontada. Cada nodo interior es la misma fórmula; solo la aplicamos tres veces, de derecha a izquierda.

Ahora conduce el árbol tú mismo. Esta isla usa el mismo precio inicial y los mismos factores pero un tipo positivo pequeño, así que $q$ no será un 0.5 limpio — observa la lectura. Mueve los deslizadores y los valores se reducen desde la columna terminal hasta la raíz en tiempo real.

Calibrar u y d a una acción real

Hasta ahora $u = 1.2$ y $d = 0.8$ estaban sacados de la nada. Para valorar una opción real necesitas que el árbol case con el bamboleo de la acción real — su volatilidad $\sigma$ (la desviación típica anualizada de sus rentabilidades). La receta de Cox–Ross–Rubinstein (CRR) fija los factores directamente a partir de $\sigma$ y la longitud de un paso temporal $\Delta t$:

$u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}, \qquad d = \frac{1}{u} = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$

Dos cosas a notar. Primera, $d = 1/u$, así que una subida seguida de una bajada te deja exactamente donde empezaste — el árbol se recombina, lo que mantiene pequeño el número de nodos (un árbol de 50 pasos tiene 51 precios terminales, no $2^{50}$). Segunda, el tamaño de cada movimiento escala con $\sqrt{\Delta t}$: parte un año en más pasos, cada $\Delta t$ se encoge y cada salto al alza/a la baja se vuelve más pequeño. Una acción nerviosa, con $\sigma$ alta, recibe un árbol ancho (gran $u$); una acción adormilada tipo bono recibe uno estrecho.

Calibración resuelta. Digamos que $\sigma = 20\%$ anual y quieres pasos mensuales, así que $\Delta t = 1/12$. Entonces $\sqrt{\Delta t} = \sqrt{0.0833} \approx 0.2887$, y

$u = e^{0.20 \times 0.2887} = e^{0.0577} \approx 1.0594, \qquad d = 1/u \approx 0.9439$

Cada mes la acción sube alrededor de un 5.9% o baja alrededor de un 5.6% en este modelo — un bamboleo mensual creíble para una acción con un 20% de volatilidad. Más pasos significa rebanadas de tiempo más finas, saltos más pequeños y un reparto más realista de los resultados.

Convergencia: el árbol es Black–Scholes a cámara lenta

Aquí está la recompensa por toda esa calibración. Toma una opción fija y valórala con un árbol de 2 pasos, luego 10 pasos, luego 50, luego 500. Los precios no se van por las ramas — convergen, fijándose en un único número límite. Ese límite es el precio de Black–Scholes (el tema de la próxima lección). A medida que el número de pasos $\to \infty$, cada movimiento se encoge hacia cero, la distribución binomial dentada de los precios finales se suaviza en la distribución lognormal con forma de campana que asume Black–Scholes, y la reducción discreta hacia atrás se convierte en la fórmula continua.

Así que el modelo binomial no es un primo tosco de Black–Scholes — es Black–Scholes a cámara lenta, congelado en fotogramas discretos que de verdad puedes calcular a mano. La convergencia tampoco es perfectamente suave: a medida que añades pasos el precio binomial tiende a oscilar alrededor del límite (los recuentos de pasos pares y los impares se aproximan desde lados ligeramente distintos) antes de asentarse. Duplicar los pasos reduce aproximadamente a la mitad el error. Unos pocos cientos de pasos suelen ser de sobra para un precio con el que operarías.

Opciones americanas: lo único que el árbol puede hacer y la fórmula no

Todo lo anterior valoraba una opción europea (ejercicio solo al vencimiento). Los árboles se ganan el sueldo con las opciones americanas, donde el tenedor puede ejercer en cualquier momento. La fórmula simple de Black–Scholes no puede manejar esa elección de ejercicio anticipado; el árbol la maneja con un retoque de una línea.

En cada nodo del árbol, en lugar de tomar solo el valor de continuación reducido hacia atrás, tomas el mayor de dos cosas:

$V_{\text{nodo}} = \max\Big(\underbrace{e^{-rT}[q V_u + (1-q)V_d]}_{\text{mantener / valor de continuación}},\ \underbrace{\text{pago}(S_{\text{nodo}})}_{\text{ejercer ahora}}\Big)$

En cada paso hacia atrás te preguntas: ¿ejercer ahora mismo vale más que aguantar? Si sí, ejerces (y el nodo toma el pago inmediato); si no, mantienes (y conserva el valor de continuación). Ese único $\max$ es toda la diferencia entre la valoración americana y la europea en un árbol — y es exactamente por lo que una opción americana vale al menos tanto como su gemela europea: el derecho extra a salir antes solo puede ayudar.

¿Cuándo tiene valor de verdad ese derecho de ejercicio anticipado? Casi siempre para las puts americanas: muy dentro del dinero, el pago de una put $K - S$ está acotado (la acción no puede caer por debajo de cero), así que puede merecer la pena coger el dinero ahora y ganar intereses sobre él en lugar de esperar. Para las calls americanas sobre una acción que no paga dividendos, el ejercicio anticipado nunca es óptimo — tirarías el valor temporal y los intereses del precio de ejercicio — así que valen lo mismo que las calls europeas. La excepción son las calls sobre una acción que paga dividendos, donde ejercer justo antes de un dividendo puede compensar.

Juntándolo todo

Ya puedes valorar una opción desde cero: haz crecer un árbol recombinante con $u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$ y $d = 1/u$, estampa el pago en cada nodo terminal, calcula $q = (e^{rT} - d)/(u - d)$ y reduce hacia atrás con $V = e^{-rT}[qV_u + (1-q)V_d]$ — tomando un $\max$ contra el ejercicio inmediato en cada nodo si la opción es americana. Añade pasos y el precio marcha hacia Black–Scholes.

A continuación — La fórmula de Black–Scholes — dejamos que los pasos tiendan a infinito. La reducción discreta hacia atrás del árbol se suaviza en una única ecuación de forma cerrada, la campana lognormal sustituye a la dentada distribución terminal, y esa misteriosa $q$ reaparece con un nuevo disfraz: $N(d_2)$, una probabilidad escondida dentro de la fórmula más famosa de las finanzas.