Por qué un perfil de pago no es un precio

Ya sabes dibujar el perfil de pago de una call con los ojos cerrados: una línea plana, un quiebro en el precio de ejercicio y luego una subida de 45°. Ese diagrama responde a exactamente una pregunta — si la acción termina en el precio X, ¿cuánto vale esto? Es un mapa de todos los futuros posibles, dispuestos uno al lado del otro. Lo que se niega tercamente a decirte es el único número por el que de verdad tienes que firmar un cheque: cuánto debería costar la opción hoy, antes de saber cuál de esos futuros aparece.

Ese hueco — entre un abanico de “cuánto valdrá entonces” y un único “cuánto vale ahora” — es el tema entero de este bloque. Valorar es el acto de colapsar todos esos futuros posibles en un solo número hoy. Empecemos por tu instinto.

El pago es un futuro; el precio es un número hoy

Mantén las dos ideas separadas, porque confundirlas es el pecado original de la valoración de opciones:

• Un pago es lo que el contrato entrega al vencimiento, en función del precio final de la acción. Es el palo de hockey. Hay un pago por cada final posible — toda una curva de ellos.
• Un precio (la prima) es lo que pagas ahora, en dinero de hoy, antes de tirar los dados. Es un único escalar.

Aquí tienes de nuevo el pago de la call, solo para anclar lo que aún no estamos valorando:

El diagrama de pago está aguas abajo del precio de la acción — le das un precio final y te devuelve un valor. La prima está aguas arriba de todo: es el coste de entrada, pagado mientras el futuro sigue sin decidirse. Para convertir una curva de futuros en un solo número, necesitas una regla para ponderar y combinar esos futuros. Elegir esa regla es donde la valoración se pone interesante — y donde la idea obvia se estrella de bruces.

La idea ingenua, y por qué muere

El movimiento tentador es el que harías con cualquier apuesta: precio = el pago esperado, descontado a hoy. Toma cada pago posible, pondéralo por su probabilidad, súmalos, y luego recorta un poco por el valor temporal del dinero. Limpio. Intuitivo. Equivocado — o al menos, inútil en la práctica. Dos fugas lo hunden.

Fuga 1 — no conoces las probabilidades reales. Para promediar los pagos necesitas las probabilidades reales de que la acción suba frente a que baje. Nadie las conoce. Dos analistas te darán dos números distintos, y el precio oscilará con lo que cada uno haya supuesto. Una regla de valoración que depende de una cantidad que nadie puede observar no es una regla; es una corazonada.

Fuga 2 — y esta es fatal — no conoces la tasa de descuento. Los flujos de caja con riesgo deben descontarse a una tasa que incluya una prima de riesgo: el rendimiento extra que exigen los inversores por soportar ese riesgo. Pero el riesgo de una opción es un objetivo móvil. Una call está enormemente apalancada cuando la acción está cerca del precio de ejercicio y es mansa cuando está muy dentro del dinero — su riesgo efectivo cambia a medida que se mueve la acción. Así que no hay una única tasa de descuento estable que aplicar, y nadie se pone de acuerdo en cuál es siquiera la prima de riesgo de esta opción. La fórmula ingenua necesita dos números que no puedes fijar, uno de los cuales no se está quieto.

Así que estamos atascados — a menos que encontremos una forma de valorar la opción sin nombrar nunca las probabilidades reales ni la prima de riesgo. Asombrosamente, podemos. La vía de escape no es la probabilidad en absoluto. Es fontanería.

Ausencia de arbitraje: la ley de un solo precio

Olvídate de pronosticar. Apóyate en cambio en una ley casi férrea de los mercados que funcionan: dos cosas que entregan flujos de caja idénticos en todos los futuros posibles deben costar lo mismo hoy. Si no lo hicieran, comprarías la barata, venderías la cara, y te marcharías con dinero sin riesgo a cambio de nada — y los traders harían esto hasta que los precios volvieran a juntarse de golpe. Esa operación de comida gratis se llama arbitraje, y el supuesto de que no puede persistir es la ausencia de arbitraje, también conocida como la ley de un solo precio.

Un ejemplo de juguete. Supón que un billete de un dólar se cambiara por $0,99 en un banco y $1,01 en otro. No pedirías prestado nada, comprarías dólares a $0,99, los venderías a $1,01, y te embolsarías dos céntimos por dólar, todo el día, con riesgo cero. Eso no puede durar. Los mercados reales no son así de tontos con los billetes de un dólar — pero el principio es la palanca que valora todos los derivados jamás escritos.

El resultado: si podemos construir una cartera de cosas cuyo precio ya conocemos (la acción y el efectivo) que reproduzca el pago de la opción en cada futuro, entonces la opción debe costar exactamente lo que cuesta esa cartera. No aproximadamente — exactamente, o aparece el arbitraje. Hemos cambiado un problema imposible de pronóstico por un problema resoluble de construcción.

Replicación: construir una call con acciones y efectivo

Hagámoslo con el universo más pequeño posible — un mundo de un periodo y dos resultados. Hoy la acción está en S₀ = $100. En un periodo va a exactamente uno de dos sitios: sube a $110 o baja a $90. (Sí, las acciones reales tienen infinitos finales; apilaremos estos pasos simples en una retícula fina en la próxima lección. La lógica es idéntica y más clara con dos.)

Valora una call con precio de ejercicio $100. Su pago en cada futuro:

Queremos una cartera — Δ acciones más B dólares de efectivo (B negativo significa que pedimos prestado) — que pague exactamente $10 en el estado al alza y $0 en el estado a la baja. Para mantener limpia la aritmética fijaremos el tipo de interés r = 0 por ahora (así el efectivo es solo efectivo), y luego añadiremos el descuento al final.

Paso 1 — encontrar Δ, el número de acciones. Δ se elige de modo que el vaivén de la cartera entre estados coincida con el vaivén de la opción. La opción se mueve $10 (de $10 baja a $0); la acción se mueve $20 (de $110 a $90). Así que:

$\Delta = \frac{C_u - C_d}{S_u - S_d} = \frac{10 - 0}{110 - 90} = \frac{10}{20} = 0.5 \text{ acciones.}$

Media acción sube y baja exactamente la mitad del vaivén de $20 de la acción — es decir, $10 — que es precisamente el vaivén de la opción. La pata de acciones ahora sigue la sensibilidad de la opción. (Esa Δ es la delta de la opción, la primera griega; le dedicamos una lección entera más adelante.)

Paso 2 — encontrar B, el efectivo. Iguala un estado exactamente y el otro encaja solo. En el estado al alza la cartera debe totalizar $10:

$\Delta \cdot S_u + B = C_u \;\Rightarrow\; 0.5 \times 110 + B = 10 \;\Rightarrow\; 55 + B = 10 \;\Rightarrow\; B = -45.$

Así que pedimos prestados $45. Comprueba el estado a la baja: 0.5 × 90 + (−45) = 45 − 45 = $0 — exactamente el pago a la baja de la call. La cartera “0,5 acciones, $45 prestados” imita la call en ambos futuros.

Paso 3 — valorar la call. Por ausencia de arbitraje, la call debe costar lo que cueste montar esta cartera hoy:

$C_0 = \Delta \cdot S_0 + B = 0.5 \times 100 - 45 = 50 - 45 = \boxed{\$5.}$

La prima justa es $5. Cobra $6 y alguien te vende la call, construye la cartera de $5, y se embolsa $1 sin riesgo. Cobra $4 y la operación corre en sentido contrario. Solo $5 no deja comida gratis sobre la mesa.

El remate: las probabilidades reales se esfuman

Ahora el truco de magia que da nombre a todo este bloque. Toma el precio de replicación y muele el álgebra — sustituye Δ y B de vuelta y reordena. Sale disparada una fórmula que tiene un aspecto exactamente igual al ingenuo “pago esperado, descontado” que tiramos a la basura:

$C_0 = \frac{1}{1+r}\,\big[\,q\cdot C_u + (1-q)\cdot C_d\,\big], \qquad q = \frac{(1+r)\,S_0 - S_d}{S_u - S_d}.$

Es un pago esperado descontado — pero el peso q no es la probabilidad del mundo real. Las probabilidades genuinas de un movimiento al alza (tu cara o cruz, la conjetura de tu analista) se cancelaron por completo durante el álgebra. No están en ninguna parte de la fórmula. En su lugar se sienta q, un número fabricado — la probabilidad riesgo-neutral — definido puramente por el precio de hoy y los dos precios futuros.

Mete nuestros números con r = 0: q = (100 − 90)/(110 − 90) = 10/20 = 0.5, y C₀ = 0.5·10 + 0.5·0 = $5. Los mismos $5, deducidos por una segunda vía. Aquí q resultó ser igual a un medio, pero eso es una coincidencia de los movimientos simétricos de $10 — desplaza los precios al alza/baja y q se aleja de las probabilidades reales por completo.

Lo que significa q: es la probabilidad que haría que el rendimiento esperado de la propia acción igualara el tipo libre de riesgo — las probabilidades en un mundo hipotético donde nadie cobra una prima de riesgo. No creemos que ese mundo sea real. Solo valoramos como si lo fuera, porque en ese mundo el imposible problema de la tasa de descuento se evapora: todo se descuenta al limpio, observable, tipo libre de riesgo r. Valoras la opción sin pronosticar la acción. Ese es el titular de la valoración de opciones, y la próxima lección le da a q su derivación completa.

Atando cabos

Un diagrama de pago es un abanico de futuros; un precio es un solo número hoy, y el puente entre ellos es el trabajo entero de la valoración de opciones. El puente intuitivo — promedia los pagos y descuenta — falla, porque necesita las probabilidades reales (desconocidas) y una tasa ajustada al riesgo (incognoscible y móvil). La salida es la ausencia de arbitraje: copia la opción con acciones y efectivo, y su precio se ve forzado a igualar el coste de la copia. Muele eso, y las probabilidades reales se esfuman, dejando una limpia valoración riesgo-neutral que descuenta al tipo libre de riesgo. Valoras la opción sin pronosticar nunca la acción.

A continuación — El modelo binomial al completo — le damos a la probabilidad riesgo-neutral q su derivación formal y apilamos estos mundos de un paso en una retícula multiperiodo capaz de valorar opciones reales.