Kelly y crecimiento geométrico

Tenéis una ventaja, y una pregunta que decide si os hace ricos o os arruina: ¿cuánto apostáis? Apostad demasiado poco y vuestra ventaja avanza a paso de tortuga; apostad demasiado y esa misma ventaja ganadora os arrastra a cero igualmente, porque la volatilidad se come vivo el crecimiento geométrico. Existe exactamente un tamaño de apuesta que capitaliza vuestro dinero a la máxima velocidad, y las matemáticas que hay detrás son uno de los resultados más bellos —y más maltratados— de la economía financiera.

Esto es lo que construiremos, ladrillo a ladrillo:

• Media aritmética frente a geométrica: por qué +50 % y luego −50 % promedia 0 % pero os hace perder el 25 %, y por qué solo la media geométrica se capitaliza de verdad.
• El CAGR y el lastre de la volatilidad: la penalización por varianza $g \approx \mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2$, hecha visible, y por qué rendimientos medios idénticos se capitalizan a ritmos abismalmente distintos.
• El criterio de Kelly: apostad $f^* = p - q/b$ de vuestro capital, la fracción que maximiza el logaritmo esperado de vuestra riqueza (y por tanto su crecimiento a largo plazo).
• Kelly continuo: $f^* = \mu/\sigma^2$ para mercados reales de rendimientos suaves.
• Kelly fraccionario: por qué medio Kelly conserva tres cuartas partes del crecimiento con la mitad de la volatilidad, y por qué casi todo profesional apuesta una fracción.
• Kelly multiactivo y el filo de la ruina: el Kelly vectorial entre apuestas correlacionadas, lo que cuesta de verdad el apalancamiento y la ley de hierro de que apostar más del doble de Kelly vuelve negativo el crecimiento: os arruináis con probabilidad uno, tengáis ventaja o no.

Aquí es donde la probabilidad, la capitalización y la gestión del riesgo se funden en una sola disciplina. Al terminar dimensionaréis posiciones para que vuestra ventaja se capitalice de verdad y entenderéis, en las tripas, por qué el cementerio del trading está lleno de gente que tenía razón sobre el mercado y se equivocó con la apuesta.