Media aritmética frente a geométrica

Ya sabes calcular una media. Sumas los números, divides entre cuántos hay y listo: lo haces desde primaria. Así que abrimos con una verdad incómoda: esa media, la de toda la vida, es la herramienta equivocada para la pregunta más importante de la inversión: ¿cuánto creció de verdad mi dinero? Aplícala a un historial de varios años y te mentirá, alegremente y por mucho, siempre en la dirección que halaga.

Esto no es una quisquillosidad de redondeo ni un caso límite. Es un rasgo estructural de la capitalización, y todo el recorrido de Kelly y crecimiento que estás a punto de escalar depende de tenerlo claro. Hay dos medias en finanzas —la media aritmética y la media geométrica— y responden a dos preguntas distintas. Confúndelas y cada backtest, cada comparación de fondos, cada «rendimiento medio anual» que leas se convierte en un pequeño acto de autoengaño.

El gancho: dos medias, una verdad

El planteamiento. Empieza con 100 dólares. El primer año rinde un +50 %, así que subes a 150 dólares. El segundo año rinde un −50 %, así que caes a… no de vuelta a 100, sino a 75 dólares. La media aritmética de los dos rendimientos es $(+50\% + -50\%)/2 = 0\%$ —un empate perfecto, dice la media del colegio—. Y sin embargo tu cuenta está un 25 % muy real por debajo.

¿Adónde fue el dinero? El −50 % del segundo año se aplicó sobre 150 dólares, no sobre tus 100 originales. La mitad de 150 es 75, así que perdiste 75 dólares, pero el +50 % del primer año solo te había hecho ganar 50 dólares. La pérdida mordió una manzana más grande de la que cultivó la ganancia. Los porcentajes engañan porque la base no para de moverse debajo de ellos, y una pérdida siempre golpea después de que una ganancia haya engordado la base que ataca.

Define el problema. Cuando los rendimientos se capitalizan —cuando el resultado de cada periodo cabalga sobre el anterior—, la media simple de los rendimientos por periodo no equivale al ritmo al que creció de verdad tu riqueza. La media dice 0 %; tu riqueza dice −25 % (que es alrededor de −13,4 % anual, capitalizado). Necesitamos una media que respete la capitalización. Esa media tiene un nombre, y la media que ya conoces tiene un trabajo mucho más estrecho del que creías.

Media aritmética: la media que ya conoces

Analogía. La media aritmética es la media del «reparto justo». Cinco amigos juntan los tickets de la comida, dividen entre cinco y todos pagan lo mismo: a nadie le importa el orden ni la capitalización, solo el valor central plano de un montón de números. Ese es exactamente el instinto correcto para una extracción única y aislada.

Definición. La media aritmética de los rendimientos $r_1, r_2, \dots, r_n$ es su suma dividida entre la cuenta:

$\bar{r}_{\text{arith}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} r_i = \frac{r_1 + r_2 + \cdots + r_n}{n}.$

Para nuestro par +50 % / −50 %: $\bar{r}_{\text{arith}} = (0.50 + (-0.50))/2 = 0$. Cero clavado.

Para qué sirve de verdad. La media aritmética es el valor esperado del rendimiento del próximo periodo individual. Si cada año es una extracción independiente de la misma distribución, entonces tu mejor estimación para un año venidero —la apuesta que harías a una sola tirada— es la media aritmética. Para apuestas de un periodo, jugadas de un solo intento o «qué rendimiento debería esperar el mes que viene, considerado en aislamiento», es exactamente el número correcto. Es también de lo que se nutre todo cálculo estándar de valor esperado, todo $E[r]$ que conociste en la teoría de carteras.

Por qué es la herramienta equivocada para la riqueza multiperiodo. La media aritmética suma rendimientos, pero la riqueza los multiplica. Tu dinero no sube por la suma de los porcentajes, sino por el producto de sus factores de crecimiento. Promediar sumando cuando la realidad multiplica es un error de categoría: responde a la pregunta equivocada. La media aritmética sobrestima sistemáticamente lo que una serie capitalizada entregó de verdad, siempre que haya alguna variación en los rendimientos.

Media geométrica: la única media que se capitaliza

Analogía. Imagina aplanar una carretera de montaña llena de baches hasta convertirla en una única rampa perfectamente uniforme que sube del mismo inicio al mismo final por la misma distancia. La carretera subía, bajaba, subía, bajaba, pero la rampa es la única pendiente constante que te lleva a la misma altitud. La media geométrica es esa rampa: la única tasa constante por periodo que, aplicada cada periodo, te deja exactamente en la riqueza final que produjeron tus rendimientos reales y accidentados.

Definición. El rendimiento medio geométrico es la tasa constante $g$ tal que crecer a $g$ cada periodo reproduce la riqueza final real. Con rendimientos por periodo $r_1, \dots, r_n$, cada uno aporta un factor de crecimiento $(1 + r_i)$, y:

$g = \left(\prod_{i=1}^{n}(1 + r_i)\right)^{1/n} - 1 = \sqrt[n]{(1+r_1)(1+r_2)\cdots(1+r_n)} - 1.$

Multiplicas todos los factores de crecimiento, tomas la raíz $n$-ésima (el paso de «descapitalizar») y restas 1 para volver a un rendimiento. Esto es exactamente lo que es el CAGR —la tasa de crecimiento anual compuesto de la que has oído hablar—: el CAGR es la media geométrica de los rendimientos anuales, ni más ni menos.

Ejemplo resuelto — tres años. Supón que un fondo rinde +20 %, luego −10 % y luego +15 %. Empieza con 100 dólares y haz avanzar el dinero:

Así que 100 dólares se convirtieron en 124,20 dólares. Ahora las dos medias:

• Media aritmética: $(0.20 + (-0.10) + 0.15)/3 = 0.25/3 = 0.0833$, es decir, +8,33 % anual.
• Media geométrica: $g = (1.20 \times 0.90 \times 1.15)^{1/3} - 1 = (1.242)^{1/3} - 1 = 1.0749 - 1 = 0.0749$, es decir, +7,49 % anual.

Contrasta la media geométrica con la realidad: hacer crecer 100 dólares al 7,49 % durante tres años da $100 \times 1.0749^3 = 100 \times 1.242 = 124.20$ dólares —la riqueza final exacta—. El 8,33 % de la media aritmética habría predicho falsamente $100 \times 1.0833^3 = 127.13$ dólares, casi 3 dólares de más. La geométrica es menor que la aritmética (7,49 % < 8,33 %), y solo la cifra geométrica dice la verdad sobre el dinero.

Por qué ganancias y pérdidas son brutalmente asimétricas

Aquí está el motor que sostiene todo lo anterior: pérdidas y ganancias del mismo porcentaje no son rivales iguales. La pérdida pega más fuerte, porque tras encoger tu base, cada ganancia de recuperación tiene menos con lo que trabajar.

Analogía. Caer en un hoyo y volver a salir no son tareas simétricas. Cae un 50 % de tu altura en un pozo y estás a media altura: para volver arriba ahora debes doblar, una subida del +100 %, porque escalas respecto al fondo disminuido, no respecto a la cima original. Cuanto más profundo el hoyo, más desproporcionadamente brutal la subida.

Definición. Para recuperarse de una pérdida de $L$ (como fracción), la ganancia $G$ que necesitas cumple $(1 - L)(1 + G) = 1$, que se resuelve como:

$G = \frac{L}{1 - L}.$

Una pérdida del 50 % necesita $G = 0.5 / 0.5 = 1.0 = +100\%$. La ganancia de recuperación siempre supera a la pérdida, y se dispara según se profundiza la pérdida:

Una caída del 10 % es un encogimiento de hombros: recupera un 11 % y estás entero. Pero un descalabro del 90 % exige una subida diez veces mayor, del +900 %, solo para volver a cero, lo que esencialmente nunca pasa. Esta asimetría es precisamente la razón por la que la media geométrica queda arrastrada por debajo de la aritmética: una gran pérdida no solo resta, sino que encoge la base sobre la que se capitalizan todos los rendimientos futuros, y ninguna ganancia de igual tamaño puede reparar el daño.

La brecha es volatilidad, y solo volatilidad

Ya has visto el déficit en tres ejemplos distintos. Aquí está la ley unificadora: la media geométrica iguala a la aritmética solo cuando todos los rendimientos son idénticos, cuando hay variación cero. En cuanto los rendimientos empiezan a dispersarse, la media geométrica cae por debajo de la aritmética, y cuanto más violentamente se dispersan, más se abre esa brecha.

Analogía. Dos carreteras van del mismo pueblo al mismo pueblo. Una es totalmente plana; la otra sube y baja como una montaña rusa hasta la misma elevación neta. La carretera plana y la montaña rusa cubren la misma distancia horizontal, pero la montaña rusa quema más combustible y llega más tarde: todo ese trajín arriba y abajo es puro desperdicio. La volatilidad es ese movimiento desperdiciado. Un 7 % constante cada año y unos salvajes +30 %/−16 %/… que promedian el 7 % no entregan la misma riqueza; el salvaje entrega menos, y la fiereza es la única razón.

La relación, en palabras. El déficit de la media geométrica por debajo de la aritmética lo impulsa casi por completo la varianza, lo dispersos que están los rendimientos. La próxima lección lo hace exacto con la famosa aproximación de que la media geométrica es aproximadamente la media aritmética menos la mitad de la varianza de los rendimientos. Por ahora, quédate con la forma cualitativa: volatilidad cero significa brecha cero; dobla la volatilidad y el lastre crece mucho más que el doble, porque la varianza escala con el cuadrado de los vaivenes. La volatilidad no es solo el riesgo que sientes en el momento: es un impuesto permanente y capitalizado sobre tu tasa de crecimiento.

El gráfico de abajo lo hace tangible. Un activo sube un $+g\%$ y baja un $-g\%$ alternativamente, así que su media aritmética por periodo es exactamente del 0 %: la línea plana. Y sin embargo, la riqueza realizada y capitalizada se hunde por debajo de la línea de partida y sigue hundiéndose. Arrastra el control deslizante del vaivén: con vaivén cero ambas coinciden, y a medida que ensanchas el vaivén la brecha (el lastre) se dispara.

Cuándo importa

Esto no es una distinción académica: usar la media equivocada engaña de formas concretas que cuestan dinero. Recurre a la media geométrica (CAGR) siempre que estés describiendo o comparando lo que de verdad le pasó a la riqueza a lo largo de varios periodos:

• Leer un historial. Un fondo que anuncia su «rendimiento medio anual» muy probablemente ha citado la media aritmética, la halagadora. El rendimiento que un inversor que se quedó ganó de verdad es la media geométrica, que siempre es menor para cualquier fondo con volatilidad real. La brecha puede ser de varios puntos porcentuales al año, y a lo largo de una década eso es una jubilación distinta.
• Comparar dos fondos. Fondo A: media aritmética del 10 %, pero con vaivenes salvajes. Fondo B: media aritmética del 9 %, pero suave. El fondo más suave puede fácilmente tener la media geométrica más alta y acabar con más dinero, porque paga menos lastre de volatilidad. Comparar solo por medias aritméticas puede ordenarlos al revés.
• Backtests y series históricas. Cualquier serie capitalizada —la curva de capital de una estrategia, la historia de un índice— debe resumirse geométricamente. Promedia los rendimientos diarios o anuales aritméticamente y reportarás un crecimiento que la estrategia nunca entregó.

Usa la media aritmética solo para preguntas genuinamente de un solo periodo, sin capitalización: el rendimiento esperado de una apuesta venidera, el insumo de un cálculo de valor esperado de un periodo, o piezas de construcción como $E[r]$ antes de dejar que se capitalicen.

Recapitulando

Hay dos medias, y responden a dos preguntas. La media aritmética (suma entre $n$) es el rendimiento esperado de un único próximo periodo: correcta para apuestas de un intento, equivocada para la riqueza capitalizada, y siempre la cifra mayor. La media geométrica —multiplica los factores de crecimiento, toma la raíz $n$-ésima, resta 1— es la única tasa constante que reproduce tu riqueza final real; es el CAGR. Las dos son iguales solo cuando todos los rendimientos son idénticos; en cuanto los rendimientos se dispersan, la media geométrica cae por debajo, porque las pérdidas de igual porcentaje exigen ganancias desproporcionadamente mayores para recuperarse ($L/(1-L)$). Ese déficit es el lastre de volatilidad, crece con la varianza de los rendimientos, y es la razón por la que el «rendimiento medio» que cita un fondo es un techo halagador más que la verdad sobre tu dinero.

A continuación —El lastre de volatilidad, hecho preciso— convertimos el cualitativo «la brecha crece con la varianza» en la limpia aproximación de que la media geométrica es aproximadamente la media aritmética menos la mitad de la varianza. Ese pequeño término $-\sigma^2/2$ es el corazón matemático del lastre de volatilidad, y es el puente para entender por qué, más adelante, el criterio de Kelly se obsesiona tanto con no apostar demasiado grande.