Kelly continuo y fraccionario

En la lección anterior, Kelly vivía en un casino. Conocíais las probabilidades exactas —probabilidad de ganar $p$, premio $b$ a 1— y de ahí salía una fracción limpísima para apostar: $f^* = p - q/b$. Nítida, finita, casi presumida. Los mercados no son casinos. Una acción no os paga “2 a 1 con probabilidad 0,55”; va goteando un flujo continuo de rendimientos con una media y un temblor, y no hay ningún premio fijo que enchufar. Así que necesitamos un Kelly para el mundo continuo, y, sorprendentemente, es incluso más bonito que el discreto. Luego llega la moraleja que todo quant y todo apostador profesional ya conocen: aunque puedas calcular el Kelly completo con exactitud, no deberías apostarlo. Esta lección va de ese hueco.

De monedas a mercados

Analogía. Una apuesta de casino es una máquina expendedora: metes la ficha, las probabilidades vienen estampadas en el frontal y el premio es fijo. Una acción se parece más a una marea: te sube en promedio, pero chapotea, y no hay ningún cartel que te diga las probabilidades exactas de la próxima ola. No puedes anotar la “probabilidad de ganar” ni el “ratio de premio” de poseer el mercado durante un año; lo que sí puedes anotar es su rendimiento medio y su variabilidad.

Definición. Para un activo que cotiza de forma continua resumimos el flujo de rendimientos con dos números: el rendimiento en exceso $\mu$ (el rendimiento medio por encima del tipo libre de riesgo, la recompensa genuina por asumir riesgo) y la volatilidad $\sigma$ (la desviación típica de los rendimientos, es decir, con cuánta violencia chapotea). Su varianza es $\sigma^2$. La pregunta de Kelly se convierte en: ¿qué fracción de mi patrimonio $f$ debería mantener en este activo —donde $f$ por encima de 1 significa endeudarse para apalancarse y $f$ por debajo de 1 significa dejar algo en efectivo— para hacer crecer mi dinero lo más rápido posible a largo plazo?

Fijaos en que las dos perillas de la apuesta binaria ($p$ y $b$) se han colapsado en dos perillas nuevas ($\mu$ y $\sigma$). El espíritu es idéntico —recompensa frente a riesgo—, pero ahora el riesgo es una dispersión continua, no una moneda que cae de una de dos formas. Todo lo que aprendisteis sobre el crecimiento geométrico y la erosión por volatilidad se traslada directamente; solo le damos de comer rendimientos continuos.

La fórmula de Kelly continua

Analogía. Imaginad el crecimiento como una colina que escaláis eligiendo cuánto apalancamiento $f$ cargar. La recompensa ($\mu$) es el viento de cola que os empuja cuesta arriba: hace crecer vuestro rendimiento esperado en proporción a cuánto apostáis. Pero la erosión por volatilidad es un viento de cara que crece con el cuadrado de cuánto apostáis, porque la varianza escala como $f^2$. Un poco de apalancamiento: mucho viento de cola, viento de cara trivial. Demasiado apalancamiento: el viento de cara al cuadrado lo arrolla todo y os empuja de vuelta abajo. El $f$ óptimo se sitúa exactamente donde la siguiente ráfaga de viento de cola iguala a la siguiente ráfaga de viento de cara.

Definición. Mantened una fracción $f$ de un activo con rendimiento en exceso $\mu$ y volatilidad $\sigma$. Una posición de tamaño $f$ tiene rendimiento medio $f\mu$ y varianza $f^2\sigma^2$. Enchufando eso en la fórmula de la erosión por volatilidad (el crecimiento geométrico) de antes en este tema, la tasa de crecimiento a largo plazo es

$g(f) = f\mu - \tfrac{1}{2}f^2\sigma^2.$

El primer término es la recompensa, lineal en $f$; el segundo es la erosión, cuadrática en $f$: una parábola hacia abajo en $f$. Para encontrar el pico, derivamos e igualamos a cero:

$\frac{dg}{df} = \mu - f\sigma^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad f^* = \frac{\mu}{\sigma^2}.$

Eso es todo: la fracción de Kelly continua, el resultado más citable de todo el dimensionamiento de posiciones:

$\boxed{\,f^* = \dfrac{\mu}{\sigma^2}\,}$

Apuesta más cuando la recompensa es alta, mucho menos cuando la volatilidad es alta (fíjate en el cuadrado: duplicar la volatilidad cuartea tu apuesta de Kelly). Ahora sustituye $f^*$ de vuelta para hallar el crecimiento que realmente consigues en el óptimo:

$g(f^*) = \frac{\mu}{\sigma^2}\mu - \frac{1}{2}\left(\frac{\mu}{\sigma^2}\right)^2\sigma^2 = \frac{\mu^2}{\sigma^2} - \frac{1}{2}\frac{\mu^2}{\sigma^2} = \frac{\mu^2}{2\sigma^2}.$

Y aquí viene la parte preciosa. Como el ratio de Sharpe es $S = \mu/\sigma$, ese crecimiento máximo es

$g(f^*) = \frac{\mu^2}{2\sigma^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)^2 = \tfrac{1}{2}S^2.$

La mejor tasa de crecimiento alcanzable depende únicamente del ratio de Sharpe. Ni de $\mu$ solo, ni de $\sigma$ solo: solo de su cociente. Dos estrategias con el mismo Sharpe pueden optimizarse con Kelly hasta el mismo crecimiento a largo plazo, por muy distintos que parezcan sus rendimientos brutos. El Sharpe no es solo un número de rendimiento ajustado al riesgo que reportáis a los inversores; bajo Kelly es vuestro motor de crecimiento.

Ejemplo resuelto: el apalancamiento salta rápido

Pongámosle números reales. Tomad un activo (o toda una estrategia) con rendimiento en exceso $\mu = 8\%$ y volatilidad $\sigma = 16\%$. La fracción de Kelly es

$f^* = \frac{\mu}{\sigma^2} = \frac{0.08}{0.16^2} = \frac{0.08}{0.0256} \approx 3.125.$

El Kelly completo dice que mantengáis unas 3,1 veces vuestro patrimonio en este activo, es decir, endeudaros para correr un apalancamiento de aproximadamente 3:1. El crecimiento que ganaríais:

$g(f^*) = \frac{\mu^2}{2\sigma^2} = \frac{0.08^2}{2 \times 0.0256} = \frac{0.0064}{0.0512} = 0.125 = 12.5\%.$

Una tasa de crecimiento compuesto a largo plazo del 12,5%, y fijaos en que es igual a $\tfrac{1}{2}S^2 = \tfrac{1}{2}(0.08/0.16)^2 = \tfrac{1}{2}(0.5)^2 = 0.125$, exactamente como prometimos.

Ahora mantened $\mu = 8\%$ pero haced el activo más movido: $\sigma = 20\%$.

$f^* = \frac{0.08}{0.20^2} = \frac{0.08}{0.04} = 2.0.$

Misma recompensa, más volatilidad, y el Kelly completo cae de 3,1 veces a 2,0 veces. Subid la volatilidad aún más y la apuesta recomendada sigue encogiendo, porque ese $\sigma^2$ está en el denominador. La lección: para cualquier activo con un Sharpe decente, el Kelly completo te dice rutinariamente que uses apalancamiento serio, que es la primera pista de que apostarlo al pie de la letra es una idea descabellada.

Por qué el Kelly completo es demasiado salvaje

Analogía. El Kelly completo es el motor en zona roja. Sí, es la configuración que maximiza el crecimiento a largo plazo en teoría, pero hace funcionar el motor al borde absoluto de su tolerancia, y en ese borde el más mínimo descalibrado o bache lo lanza a sacudidas violentas. Nadie conduce su trayecto diario al cuentarrevoluciones en rojo. La razón no es que la zona roja sea lenta; es que es insostenible en la práctica.

Las caídas. El Kelly completo maximiza el crecimiento, pero lo hace con vaivenes brutales. Un resultado clásico: bajo Kelly completo, la probabilidad de que tu capital en algún momento baje a la mitad de su valor inicial es de aproximadamente el 50%. Las caídas profundas y frecuentes no son un suceso de cola en el Kelly completo: son el tiempo de cada día. La mayoría de los humanos (y la mayoría de los inversores con reembolsos, mesas de margen y pulso) no pueden tragarse una probabilidad de cara o cruz de ver evaporarse la mitad de su dinero, por muy “óptimo” que lo califique la matemática.

El problema de la estimación, y es el asesino. La fórmula $f^* = \mu/\sigma^2$ asume que conoces $\mu$. No lo conoces. El rendimiento esperado es la cantidad más difícil de medir de toda la finanza: la volatilidad la puedes estimar razonablemente bien a partir de los datos, pero $\mu$ está enterrada en ruido y hace falta décadas de datos para fijarla. Y $f^*$ es lineal en $\mu$: sobreestima tu ventaja en un 30% y sobreapuestas en un 30%. Recordad el acantilado de la sobreapuesta de la lección anterior: el crecimiento se desploma por un precipicio en cuanto apuestas por encima del óptimo, y lo bastante por encima el crecimiento se vuelve negativo y vas componiendo tu camino hacia la ruina. Como tu estimación de $\mu$ es siempre optimistamente incierta, tu “Kelly completo” es muy probablemente una sobreapuesta disfrazada.

Kelly fraccionario

Analogía. Pensad en el Kelly completo como el pico de una colina que es plano por arriba pero cae en un acantilado vertical por el lado de la sobreapuesta. Si os quedáis un poco atrás del borde (apostar una fracción de Kelly), apenas estáis más abajo, pero estáis a un margen cómodo del acantilado. Las vistas (el crecimiento) son casi tan buenas; el firme (la seguridad) es muchísimo mejor.

Definición. El Kelly fraccionario significa apostar $k \cdot f^*$ para algún $k$ en $(0, 1]$: una fracción constante de la cantidad del Kelly completo. La magia está en cómo el crecimiento y el riesgo responden de forma distinta a $k$:

• La volatilidad escala linealmente: apostar $k f^*$ da $k$ veces la volatilidad del Kelly completo. Apuesta un tercio, obtén un tercio de los vaivenes.
• El crecimiento escala como una parábola: el crecimiento que conservas, como fracción del máximo, es

$\frac{g(k f^*)}{g(f^*)} = 2k - k^2 = k(2 - k).$

(Eso sale directamente de $g(f) = f\mu - \tfrac12 f^2\sigma^2$ evaluado en $f = kf^*$: el término lineal escala por $k$, el cuadrático por $k^2$.) Como es una parábola hacia abajo que tiene su pico en $k=1$, es plana cerca de la cima, así que tirar de $k$ hacia abajo desde 1 no cuesta casi nada al principio.

El caso estrella: medio Kelly, $k = 0.5$.

$\text{crecimiento conservado} = k(2-k) = 0.5 \times 1.5 = 0.75, \qquad \text{volatilidad} = 0.5.$

Tres cuartas partes del crecimiento por la mitad de la volatilidad. Renunciáis a un cuarto de vuestra tasa de crecimiento y cortáis vuestros vaivenes por la mitad. Ese trato es tan bueno que es prácticamente folclore. El cuarto de Kelly es aún más conservador: $k(2-k) = 0.25 \times 1.75 = 0.4375$, así que ~44% del crecimiento con apenas un 25% de la volatilidad.

Esa última fila es el golpe maestro; volveremos a ella. Arrastrad el control deslizante de abajo y mirad cómo las dos barras divergen: el crecimiento (la parábola) apenas se mueve cuando tiráis hacia atrás desde el Kelly completo, mientras que la volatilidad (la línea recta) cae al unísono con $k$.

El compromiso entre caídas y crecimiento

Analogía. Imaginad un termostato donde el confort (el crecimiento) se aplana cerca de la temperatura ideal pero la factura energética (el riesgo) sigue subiendo en línea recta. Empujando el dial un pelín por debajo del “confort perfecto” apenas notaréis la diferencia, pero la factura baja de forma notable. Solo un necio paga la factura que sube linealmente para perseguir la última esquirla de un beneficio que se aplana.

El principio. Esta es la idea más profunda de la lección, y cae directamente de la matemática. El crecimiento es una parábola en el tamaño de la apuesta, así que cerca de su pico es plano: la derivada es cero en la cima, lo que significa que el primer trocito de apuesta que recortas cuesta crecimiento esencialmente nulo. El riesgo (la volatilidad) es una línea recta en el tamaño de la apuesta, así que cada trocito que recortas compra una reducción proporcional e inmediata de los vaivenes. Beneficio plano frente a coste lineal: recortar la apuesta es casi gratis en crecimiento y se recompensa con creces en seguridad. Esa asimetría —y solo esa asimetría— es por qué todo profesional serio apuesta una fracción de Kelly en vez de la cantidad completa.

Sensación con números. Pasar del Kelly completo ($k=1$) a tres cuartos de Kelly ($k=0.75$) baja el crecimiento del 100% a $0.75 \times 1.25 = 93.75\%$ —una pérdida de apenas 6 puntos porcentuales— mientras se corta la volatilidad en un 25% entero. Compraste un cuarto menos de riesgo por una dieciseisava parte menos de crecimiento. Cerca del pico, la seguridad está de rebajas.

La sobreapuesta está estrictamente dominada. Ahora la otra dirección. Pasad del Kelly completo a $k = 1.5$: el crecimiento es $1.5 \times 0.5 = 0.75$ —de vuelta al 75%, el mismo que el medio Kelly—, pero la volatilidad es ahora del 150%, el triple que la del medio Kelly. Habéis igualado el crecimiento del medio Kelly triplicando su riesgo. La sobreapuesta (cualquier $k$ por encima de 1) nunca es un compromiso; es estrictamente peor en ambos ejes: menos crecimiento y más riesgo que apostar menos. Sencillamente no hay ninguna razón para sentarse nunca en el lado de la sobreapuesta del pico.

Trampas

El error de estimación convierte tu “Kelly completo” en una sobreapuesta. Como $f^* = \mu/\sigma^2$ es lineal en la única cantidad que no puedes medir bien, enchufar una $\mu$ optimista te deja silenciosamente pasado el pico, en el lado dominado que destruye crecimiento. El Kelly fraccionario es en parte un seguro contra equivocarte sobre tu propia ventaja: apostar medio Kelly deja margen para que tu estimación de $\mu$ sea demasiado alta sin volcarte por el precipicio. Una regla de oro común: si crees que has estimado el Kelly completo, probablemente ya has sobreapostado, así que pártelo por la mitad.

Kelly maximiza el crecimiento, que puede no ser tu objetivo. Toda la fórmula asume que quieres maximizar el crecimiento geométrico a largo plazo (equivalentemente, la utilidad logarítmica) y que tienes un horizonte efectivamente infinito para dejarlo componer. Un inversor real tiene un horizonte finito, fechas de reembolso, un jefe y un estómago. Si una caída del 30% hace que te despidan o que capitules en el fondo, la tasa de crecimiento “óptima” es irrelevante: no estarás ahí para cobrarla. Apostar racionalmente incluso menos que medio Kelly puede ser lo correcto para un inversor averso al riesgo.

$f^*$ puede superar 1, y la fórmula básica ignora el coste de eso. Cuando $f^*$ supera 1 (como en ambos ejemplos resueltos), Kelly te está diciendo que te endeudes. Pero $g(f) = f\mu - \tfrac12 f^2\sigma^2$ asume calladamente que endeudarse es gratis e ilimitado. En la realidad el apalancamiento cuesta intereses (que se comen $\mu$), y los avisos de margen pueden forzarte a vender en el peor momento posible: un riesgo dependiente de la trayectoria que la fórmula suave nunca ve. Apalanca por la palabra de la fórmula desnuda y una caída brusca puede liquidarte antes de que el largo plazo llegue siquiera.

Cuándo importa

Esto no es académico. Allá donde dimensiones una posición a partir de una estimación de rendimiento y riesgo, el Kelly continuo y fraccionario es la lógica que gobierna:

• Dimensionar una estrategia de trading a partir de su Sharpe. El Sharpe en backtest de una estrategia te dice de inmediato su crecimiento óptimo bajo Kelly ($\tfrac12 S^2$) y, con su volatilidad, el apalancamiento que implica el Kelly completo. Los quants lo calculan rutinariamente, y luego corren deliberadamente una fracción de él.
• Decisiones de apalancamiento. Correr una cartera a 1×, 2× o 3× es una pregunta de Kelly disfrazada. La fórmula te avisa de lo rápido que llega el acantilado de la sobreapuesta, y la trampa del coste de endeudarse te avisa de que la matemática suave subestima el peligro.
• Por qué el “medio Kelly” es folclore. En el juego profesional, las apuestas deportivas y el trading cuantitativo, “apuesta medio Kelly” es el valor por defecto casi universal: no porque nadie sea tímido, sino porque el trato de 75%-de-crecimiento-por-50%-de-vol, más el seguro contra una $\mu$ equivocada, es matemáticamente casi una comida gratis. Cuando los profesionales discrepan, suele ser sobre apostar una fracción aún más pequeña, nunca una mayor.

Atándolo todo

Los mercados no publican sus probabilidades, así que Kelly se vuelve continuo: con rendimiento en exceso $\mu$ y volatilidad $\sigma$, la fracción óptima para el crecimiento es $f^* = \mu/\sigma^2$, y el mejor crecimiento que compra es $\tfrac12 S^2$, una función del ratio de Sharpe en solitario. Pero el Kelly completo es la zona roja: implica apalancamiento agresivo, conlleva un ~50% de probabilidad de reducir tu capital a la mitad y —porque es lineal en la incognoscible $\mu$— es casi con certeza una sobreapuesta disfrazada. Así que los profesionales apuestan una fracción $k$ de él. La aritmética es decisiva: el crecimiento escala como la parábola $k(2-k)$ mientras que la volatilidad escala linealmente como $k$, así que el medio Kelly conserva ~75% del crecimiento por el 50% de la volatilidad, y la sobreapuesta (cualquier $k$ por encima de 1) está estrictamente dominada: menos crecimiento y más riesgo. Beneficio plano, coste lineal: recortar la apuesta es lo más parecido a una comida gratis que tiene el dimensionamiento de posiciones.

Ahora tenéis Kelly para el mundo real: una fórmula continua, el techo de crecimiento que solo depende del Sharpe que implica y —lo más importante— la humildad disciplinada de apostar una fracción de lo que recomienda. El hilo que ha recorrido todo este tema ha sido el crecimiento geométrico: cómo la volatilidad erosiona la composición y cómo dimensionar apuestas para crecer lo más rápido sin reventar. A continuación, lo atamos todo y lo ponemos a prueba.