El criterio de Kelly

Habéis pasado las dos últimas lecciones aprendiendo un hecho cruel: el patrimonio se compone de forma multiplicativa, así que la media geométrica —no la aritmética— gobierna vuestro crecimiento real a largo plazo, y la volatilidad es un impuesto que arrastra ese crecimiento geométrico por debajo de la media de portada. La lección 2 os dejó mirando el lastre de la volatilidad y probablemente pensando: entonces una posición mayor no siempre es mejor. Correcto. Una apuesta mayor sube vuestro rendimiento esperado, pero infla vuestro lastre de volatilidad aún más rápido, y en algún sitio hay un punto óptimo.

Esta lección encuentra ese punto óptimo de forma exacta. Dada una ventaja genuina, existe una única fracción calculable de vuestra banca para apostar en cada apuesta repetida que maximiza vuestra tasa de crecimiento compuesto a largo plazo. Apostad menos y creceréis más despacio de lo que podríais; apostad más y el lastre de volatilidad os come vivos —pasado cierto punto no solo os frena, sino que lleva vuestra banca a cero con certeza. Esa fracción mágica es el criterio de Kelly, y para una apuesta binaria sencilla se reduce a una fórmula tan limpia que la podréis hacer de cabeza: $f^* = p - q/b$, la ventaja dividida entre las cuotas.

El problema del tamaño de la apuesta — ni todo ni nada

Analogía. Imaginad una máquina tragaperras secretamente trucada a vuestro favor —a lo largo de muchas tiradas paga más de lo que se lleva—. Maravilloso. Pero cada tirada sigue siendo una apuesta, y controláis un único dial: cuánto de vuestra cartera le metéis cada vez. Girad el dial a “todo” y una sola tirada con mala suerte os deja sin nada y sin vuelta atrás. Dejad el dial en “nada” y vuestra máquina favorable os hace ganar exactamente cero dólares. Todo el juego está en la posición del dial entre medias.

Definición. El problema del tamaño de la apuesta es: dada una apuesta repetida con una ventaja positiva conocida, ¿qué fracción $f$ de vuestra banca actual deberíais arriesgar en cada jugada para que vuestro patrimonio crezca lo más rápido posible a largo plazo? Crucialmente reapostáis una fracción de vuestra banca actual cada vez, así que las victorias se componen y una derrota nunca llega a dejaros del todo a cero (siempre que $f < 1$).

Ejemplo resuelto — los dos extremos desastrosos. Empezad con 1.000 dólares y una gran ventaja. Supongamos que vais a por todas ($f = 1$) cada vez. Podríais ganar, ganar, ganar, ganar —y en la primera derrota vuestra banca se multiplica por cero—. Fin de la partida, permanentemente, sin importar lo enorme que fuera la racha previa. Con $f = 1$ y cualquier posibilidad de perder, la ruina no es un riesgo; a lo largo de suficientes apuestas es una certeza. Ahora el otro extremo: $f = 0$. Nunca arriesgáis ni un céntimo, así que vuestra máquina favorable multiplica vuestra banca por exactamente 1 para siempre. Crecimiento: cero. La verdad vive estrictamente entre estos precipicios —hay un $f$ interior que bate a ambos, y el resto de esta lección lo concreta.

Por qué maximizar el LOG-patrimonio esperado, no el patrimonio esperado

Analogía. Dos caminos hacia el mismo destino. Camino A: maximizar el promedio aritmético de vuestro patrimonio final a través de todos los futuros posibles. Camino B: maximizar el promedio del logaritmo de vuestro patrimonio final. Suenan a primos hermanos, pero dan consejos radicalmente distintos —el camino A dice “apuéstalo todo”, el camino B dice “apuesta Kelly”— y el camino B es el que de verdad hace rico al vosotros típico.

Definición. Como cada apuesta multiplica vuestra banca, tras $n$ apuestas vuestro patrimonio es un producto de factores de crecimiento: $W_n = W_0 \cdot \prod_i (1 + f \cdot x_i)$, donde $x_i$ es el resultado de la $i$-ésima apuesta por unidad arriesgada. Tomad logaritmos y el producto se convierte en una suma:

$\ln W_n = \ln W_0 + \sum_{i=1}^{n} \ln(1 + f \cdot x_i).$

Por la ley de los grandes números, esa suma de log-rendimientos i.i.d. crece como $n$ veces su valor esperado, así que la tasa de crecimiento a largo plazo por apuesta es

$g(f) = E[\ln(1 + f \cdot x)].$

Maximizar vuestra tasa de crecimiento real a largo plazo significa maximizar el log-patrimonio esperado —que (recordad las lecciones 1–2) es exactamente la tasa de crecimiento geométrica—. Esta es toda la carga filosófica de Kelly.

¿Por qué no maximizar el patrimonio esperado directamente? Porque $E[W_n]$ —la esperanza aritmética simple— está dominada por una trayectoria de premio gordo desvanecidamente rara y está maximizada apostando el 100%. Una estrategia puede tener el patrimonio esperado más alto posible mientras deja en la ruina a casi todos los jugadores reales, porque el promedio lo secuestra una trayectoria de una entre mil millones que gana absolutamente todas las apuestas. (¿Os suena? Es el problema de la media frente a la mediana, de la asimetría a la derecha, de las lecciones de capitalización, en su forma más pura.) El log-patrimonio esperado ignora ese espejismo: el logaritmo de cero es $-\infty$, así que cualquier estrategia con una posibilidad real de ruina queda penalizada infinitamente. Maximizar $E[\ln W]$ es maximizar el crecimiento que experimenta la trayectoria típica —la fortuna mediana, no la de fantasía.

Derivando la fracción de Kelly para una apuesta binaria

Planteamiento. Considerad la apuesta más limpia posible. Con probabilidad $p$ ganáis y obtenéis $b$ veces lo apostado (cuotas netas $b$); con probabilidad $q = 1 - p$ perdéis lo apostado. Arriesgáis una fracción $f$ de vuestra banca. Así que una victoria multiplica vuestra banca por $(1 + b f)$ y una derrota la multiplica por $(1 - f)$. El log-crecimiento esperado por apuesta es

$g(f) = p\,\ln(1 + b f) + q\,\ln(1 - f).$

El cálculo. Para hallar el $f$ que maximiza el crecimiento, derivamos respecto a $f$ e igualamos la derivada a cero:

$g'(f) = \frac{p\,b}{1 + b f} - \frac{q}{1 - f} = 0.$

Pasamos el segundo término al otro lado y multiplicamos en cruz:

$p\,b\,(1 - f) = q\,(1 + b f).$

Desarrollamos ambos lados:

$p b - p b f = q + q b f.$

Agrupamos los términos en $f$ a un lado:

$p b - q = p b f + q b f = b f\,(p + q).$

Como $p + q = 1$, el paréntesis es justo 1, así que $p b - q = b f$, y por tanto

$f^* = \frac{p b - q}{b} = p - \frac{q}{b}.$

La lectura que la hace inolvidable. El numerador $p b - q$ es la ventaja de la apuesta —vuestro beneficio esperado por unidad arriesgada (ganáis $b$ con probabilidad $p$, perdéis $1$ con probabilidad $q$)—. El denominador $b$ son las cuotas. Así que Kelly es simplemente:

$f^* = \frac{\text{ventaja}}{\text{cuotas}}.$

Apostad una fracción de vuestra banca igual a vuestra ventaja dividida entre las cuotas de pago. Si la ventaja es cero o negativa, $f^* \le 0$ —lo que significa no apostar—. Limpia, interpretable, y exactamente la curva que dibuja la isla interactiva de más abajo.

Ejemplo resuelto — la moneda a dinero parejo

Planteamiento. El caso más común: $b = 1$ (ganáis y os dan dinero parejo —dobláis lo apostado—). Entonces $q/b = q$, así que

$f^* = p - q = p - (1 - p) = 2p - 1.$

Para una apuesta a dinero parejo, la fracción de Kelly es simplemente el doble de vuestra ventaja sobre el cincuenta-cincuenta.

Echemos cuentas.

En $p = 0,5$ no hay ventaja y Kelly dice correctamente que no arriesguéis nada; en $p = 0,4$ la ventaja es negativa y Kelly se vuelve negativo, diciéndoos que cambiéis de bando o que os quedéis fuera.

El crecimiento que de verdad obtenéis. Tomad el caso $p = 0,6$, $f^* = 0,2$. Sustituid de vuelta en la tasa de crecimiento:

$g(0.2) = 0.6\,\ln(1.2) + 0.4\,\ln(0.8) = 0.6\,(0.1823) + 0.4\,(-0.2231).$

Eso es $0,1094 - 0,0892 = 0,0202$ por apuesta —en torno a un 2% de crecimiento compuesto en cada tirada—. A lo largo de 100 tiradas eso se compone hasta aproximadamente $e^{2.02} \approx 7,5\times$ vuestra banca. Una moneda 60/40, dimensionada correctamente, es una máquina de hacer dinero; dimensionada al 100% es una guillotina.

Ejemplo resuelto — cuotas desiguales, una ventaja con baja tasa de acierto

Planteamiento. Las ventajas no requieren ganar la mayoría de las veces. Considerad una apuesta que solo ganáis el 40% de las veces ($p = 0,4$, $q = 0,6$) pero que paga 3 a 1 cuando acierta ($b = 3$) —pensad en un boleto de lotería a la desesperada mal valorado a vuestro favor, o en una opción fuera del dinero que habéis juzgado correctamente como barata.

Calculémoslo.

$f^* = \frac{p b - q}{b} = \frac{(0.4)(3) - 0.6}{3} = \frac{1.2 - 0.6}{3} = \frac{0.6}{3} = 0.20.$

Deberíais arriesgar el 20% de vuestra banca en una apuesta que perdéis tres de cada cinco veces. La ventaja aquí es $p b - q = 0,6$ por unidad —un enorme 60% de beneficio esperado— entregada a través de pagos infrecuentes y gordos. Fijaos en el mismo $f^* = 0,2$ que la moneda 60/40 a dinero parejo, alcanzado por una ruta completamente distinta: allí, victorias pequeñas frecuentes; aquí, grandes y raras. A Kelly solo le importa la ventaja entre cuotas, no cómo viene empaquetada la ventaja.

La forma del crecimiento — la joroba invertida

La fórmula os da el pico, pero la forma de la curva crecimiento-frente-a-tamaño-de-apuesta es donde vive la intuición. Arrastrad los deslizadores de abajo: en $f = 0$ el crecimiento es cero (no estáis jugando), sube hasta un máximo exactamente en la fracción de Kelly $f^*$, luego cae de vuelta a cero en torno al doble de Kelly, y se zambulle negativo más allá. El pico es suave; el precipicio de la derecha no.

La curva es toda la lección en una sola imagen: una colina con una caída a pico en su flanco derecho. Queréis estar de pie en lo alto de la colina. Quedaros un poco antes del pico (infraapostar) os cuesta solo una pizca de crecimiento. Quedaros un poco pasado el pico (sobreapostar) os cuesta más —y caminar más allá del borde derecho (pasado $2f^*$) no os cuesta crecimiento, lo invierte.

El precipicio de la sobreapuesta — la única advertencia que importa

Analogía. Conducir hacia un quitamiedos. Levantar el pie del acelerador antes del rail os cuesta unos segundos. Pisar a fondo pasado el rail os cuesta el coche. El lado malo no es simétrico, y la sobreapuesta tampoco.

Definición. Como la curva de crecimiento vuelve a cruzar el cero aproximadamente en $2f^*$, apostar más del doble de la fracción de Kelly vuelve negativa vuestra tasa de crecimiento a largo plazo —aunque la apuesta subyacente siga teniendo valor esperado positivo—. Tasa de crecimiento negativa significa que vuestra banca tiende a cero: quebráis con probabilidad 1, despacio pero inexorablemente, por ganar apuestas con demasiada agresividad.

Ejemplo resuelto. De vuelta a la moneda 60/40 a dinero parejo, donde $f^* = 0,2$. El doble de Kelly es $f = 0,4$. Comprobad el crecimiento ahí:

$g(0.4) = 0.6\,\ln(1.4) + 0.4\,\ln(0.6) = 0.6\,(0.3365) + 0.4\,(-0.5108) = 0.2019 - 0.2043 \approx -0.002.$

Esencialmente cero —habéis devuelto toda vuestra ventaja—. Empujad hasta $f = 0,5$ y el crecimiento es claramente negativo; esa mismísima moneda favorable ahora drena vuestra cuenta. No perdisteis vuestra ventaja —la sobreapostasteis hasta una espiral mortal.

Trampas — por qué nadie apuesta Kelly completo

Kelly es matemáticamente óptimo bajo supuestos que casi nunca se cumplen a la perfección. Tres trampas explican por qué el mundo real apuesta menos.

Trampa 1 — en realidad no conocéis $p$ y $b$. La fórmula supone que conocéis vuestra probabilidad de ganar y el pago exactamente. En realidad los estimáis, y el error de estimación es asimétrico en su daño: como el precipicio está en el lado de la sobreapuesta, sobreestimar vuestra ventaja (apostar demasiado grande) es mucho más peligroso que subestimarla. Un $p$ confiadamente erróneo que sea 5 puntos demasiado alto puede empujar silenciosamente vuestra apuesta más allá de la zona de peligro. Esta es la mayor razón para el Kelly fraccionario (apostar la mitad o un cuarto de $f^*$) —el tema de la próxima lección.

Trampa 2 — Kelly maximiza el crecimiento, no el confort. Kelly completo es brutalmente volátil. Un apostador de Kelly completo sufre rutinariamente caídas del 50% o más de camino hacia el dominio a largo plazo. El crecimiento matemáticamente óptimo y la inversión emocionalmente soportable son objetivos distintos; la mayoría de los humanos no puede psicológicamente mantener una posición que las matemáticas dicen que es “correcta” mientras está reducida a la mitad.

Trampa 3 — necesita muchas jugadas independientes, repetidas y reapostables. La optimalidad de Kelly es una afirmación de largo plazo que descansa sobre la ley de los grandes números. Supone una larga serie de apuestas y la capacidad de reapostar una fracción continua de vuestra banca actual cada vez (reequilibrio continuo). Una única apuesta a una sola jugada, o una apuesta donde no podéis dimensionar de forma continua, no es el mundo para el que se derivó Kelly —aplicadlo literalmente ahí y la garantía de “optimalidad” se evapora.

Cuándo importa

Gestión de banca en apuestas deportivas y póker. Un pronosticador que ha identificado una línea mal valorada, o un jugador de póker con una tasa de acierto conocida, se enfrenta a una apuesta +EV literalmente repetida. Kelly es la herramienta estándar para dimensionar cada apuesta de modo que una buena racha se componga y una mala racha no pueda reventar la banca —y la razón por la que los apostadores serios apuestan una fracción de Kelly es la trampa 1: nunca conocen su verdadera ventaja con precisión.

Dimensionamiento de posiciones en trading. Reemplazad “probabilidad de ganar” por la ventaja estadística de una estrategia y “cuotas de pago” por su ratio medio de ganancia frente a pérdida, y Kelly se convierte en un motor de dimensionamiento de posiciones. Es por lo que “apuesta fuerte por tus mejores ideas” tiene una forma matemática precisa: apostad de forma proporcional a la ventaja entre cuotas —mayor ventaja, mayor posición— pero nunca tan grande que una cadena de pérdidas correlacionadas (la versión en trading del precipicio de la sobreapuesta) os liquide.

La lección general. En cualquier sitio donde os enfrentéis a exposiciones repetidas y dimensionadas a un proceso favorable-pero-arriesgado, la pregunta no es solo “¿es esto +EV?” sino “¿cuánto?” —y Kelly es la respuesta que maximiza la rapidez con la que vuestro patrimonio se compone de verdad, mientras os grita que jamás, jamás apostéis pasado el precipicio.

Poniéndolo todo junto

El criterio de Kelly responde a la pregunta del tamaño de la apuesta con un único número. Como el patrimonio se compone de forma multiplicativa, el objetivo correcto es maximizar el log-patrimonio esperado —la tasa de crecimiento geométrica— no el patrimonio esperado aritmético (que absurdamente recomienda apostarlo todo y arruina al jugador típico). Para una apuesta binaria que gana $b$ a 1 con probabilidad $p$, maximizar $g(f) = p\ln(1 + bf) + q\ln(1 - f)$ da el óptimo limpio $f^* = (pb - q)/b = p - q/b$, legible como ventaja entre cuotas. La curva de crecimiento es una joroba invertida: cero en $f = 0$, pico en $f^*$, de vuelta a cero cerca de $2f^*$, y negativa más allá —el precipicio de la sobreapuesta donde una ventaja real aún os lleva a la ruina segura—. Como el lado malo es tan asimétrico y vuestra ventaja nunca se conoce con exactitud, casi todo el mundo apuesta una fracción de Kelly —el tema de la próxima lección.

A continuación —Kelly fraccionario— nos tomamos el precipicio en serio. Como nunca conocéis vuestra verdadera ventaja y las caídas de Kelly completo son salvajes, los profesionales reales apuestan deliberadamente una fracción de $f^*$ —la mitad, un cuarto— canjeando una pequeña y bien entendida porción de crecimiento por una gran reducción de volatilidad y un margen de seguridad frente al precipicio de la sobreapuesta. Cuantificaremos exactamente qué os compra ese canje.