El modelo de Avellaneda–Stoikov

La lección anterior os dio el P&L del creador de mercado y os dijo que todo el oficio consiste en “cotizar lo bastante ancho y sesgar con astucia”. Un consejo precioso. Pero ¿cómo de ancho? ¿Sesgar cuánto? En 2008 Marco Avellaneda y Sasha Stoikov escribieron la respuesta: el modelo del que aún copia todo motor de cotización moderno. Es la F = ma de la creación de mercado: dos fórmulas breves que toman tu inventario, tus nervios, la volatilidad y el reloj, y escupen exactamente dónde colocar tus dos precios.

Al terminar sabréis calcular una compra y una venta desde cero, explicar por qué un creador largo cotiza ambos precios por debajo del medio, y recitar los puntos ciegos del modelo para no operarlo como si fuera dogma.

El planteamiento: un creador que maximiza utilidad

Analogía. Imaginad al dueño de un puesto que debe comprar y vender todo el día, no puede irse a casa hasta el cierre y odia quedarse con un montón de género sin vender cuando suena la campana. Cada etiqueta de precio es una apuesta: demasiado generosa y nadie comercia contigo; demasiado avariciosa y te vas a casa con un almacén lleno de inventario y el corazón lleno de arrepentimiento. AS formaliza exactamente esa angustia.

El modelo preciso. Un único creador cotiza una compra y una venta sobre un horizonte finito $[0,T]$ y quiere maximizar la utilidad exponencial esperada de la riqueza terminal:

$\max\ \mathbb{E}\!\left[-\exp(-\gamma\, X_T)\right]$

donde $X_T$ es la riqueza (efectivo más inventario valorado al medio) en el instante $T$ y $\gamma>0$ es el coeficiente de aversión al riesgo. La utilidad exponencial (CARA) es el truco que cierra las matemáticas: castiga las pérdidas más de lo que premia las ganancias equivalentes, que es precisamente el miedo a cargar inventario.

Tres supuestos cargan con el peso:

1. El medio sigue un movimiento browniano aritmético con volatilidad $\sigma$: $\,dS_t = \sigma\, dW_t$. Sin deriva: el creador no tiene visión direccional, solo teme la varianza.
2. Las órdenes llegan como un proceso de Poisson cuya intensidad decae con la distancia al medio. Si tu cotización se sitúa a una distancia $\delta$ del medio, las ejecuciones llegan a tasa $\lambda(\delta) = A\,e^{-k\delta}.$ Cotiza cerca del medio (δ pequeña) y te ejecutan a menudo pero ganas un margen fino; cotiza lejos (δ grande) y las ejecuciones se secan. $k$ controla con qué rapidez muerde ese compromiso.
3. Dos mandos de control: la distancia de compra $\delta_b$ y la de venta $\delta_a$ desde un centro que el creador elige.

El precio de reserva (de indiferencia)

Analogía. El medio es el valor justo del mercado. El precio de reserva es tu valor justo una vez que tienes en cuenta el inventario que ya cargas. Si ya estás largo de una pila de acciones, en secreto las valoras un poco por debajo del mercado —te encantaría una excusa para vender—, así que tu valor justo personal se sitúa por debajo del medio. ¿Corto de la acción? Tu valor justo se sitúa por encima del medio porque te mueres por recomprarla.

La fórmula. El precio de reserva es

$r(s, q, t) = s - q\,\gamma\,\sigma^2\,(T-t)$

donde $s$ es el medio actual, $q$ tu inventario neto (positivo = largo), $\gamma$ la aversión al riesgo, $\sigma^2$ la varianza y $(T-t)$ el tiempo restante. Es el precio al que serías indiferente entre conservar tu inventario actual y operar una unidad más; de ahí “precio de indiferencia”.

Ejemplo resuelto. Tomad $s=100$, $\sigma=2$ (así $\sigma^2=4$), $\gamma=0.1$, $(T-t)=1$ e inventario $q=5$ (largo de 5):

$r = 100 - 5\cdot 0.1\cdot 4\cdot 1 = 100 - 2 = 98.$

Tu valor justo personal es 98, 2 por debajo del medio del mercado de 100, porque estás largo y quieres salir. Ahora gira los mandos:

Más tiempo en el reloj y más aversión al riesgo tiran de $r$ más lejos del medio: cuanto más tiempo debes cargar la posición y más la temes, con más fuerza te inclinas a soltarla.

El diferencial óptimo

Analogía. El diferencial es tu precio por tomar la otra parte. Cobra demasiado poco y el flujo informado y la varianza te comen; cobra demasiado y nunca operas. AS muestra que la anchura óptima es la suma de dos rentas: una renta de riesgo de inventario que cobras porque cada ejecución te endosa riesgo, y una renta de liquidez/competencia que depende de la rapidez con que se desvanecen las ejecuciones al alejarte del medio.

La fórmula. El diferencial óptimo total (distancia de venta más distancia de compra) es

$\delta_a + \delta_b = \gamma\,\sigma^2\,(T-t) + \frac{2}{\gamma}\ln\!\left(1 + \frac{\gamma}{k}\right).$

• Primer término, $\gamma\sigma^2(T-t)$ — el término de inventario/riesgo. Compensación pura por la varianza que cargarás: escala con la aversión al riesgo, la varianza y el tiempo restante. Es la misma cantidad (por unidad de inventario) que sesgó el precio de reserva.
• Segundo término, $\frac{2}{\gamma}\ln(1+\gamma/k)$ — el término de mercado/liquidez. Procede enteramente del modelo de llegada de órdenes. Cuanto más rápido decaen las ejecuciones con la distancia ($k$ grande = mucha competencia, valor líquido), menor es este término: no puedes permitirte cotizar ancho cuando los rivales te van a pisar.

Ejemplo resuelto. Usad $\gamma=0.1$, $\sigma^2=4$, $T-t=1$, $k=1.5$:

Así que el diferencial óptimo total es de unos 1.69, y el medio diferencial es $\delta/2 \approx 0.845$.

Colocar las cotizaciones reales

Analogía. Has hallado tu valor justo personal (el precio de reserva) y cómo de separadas poner las dos etiquetas (el diferencial). Ahora solo envuelve el diferencial simétricamente alrededor del precio de reserva, no alrededor del medio. Esa última palabra es todo el juego.

Las fórmulas. Con diferencial total $\delta = \delta_a+\delta_b$:

$\text{venta} = r + \frac{\delta}{2}, \qquad \text{compra} = r - \frac{\delta}{2}.$

Ejemplo resuelto (arrastrando nuestros números). Teníamos $r = 98$ y $\delta \approx 1.691$, así que $\delta/2 \approx 0.845$:

Fíjate bien: el medio es 100, y sin embargo ambas cotizaciones —compra 97.155 y venta 98.845— se sitúan por debajo del medio. El creador está largo, así que ha empujado toda su escalera de precios hacia abajo para hacer atractiva su venta (¡vender rápido!) y poco atractiva su compra (¡por favor, deja de venderme más!). Esa asimetría alrededor del medio es el sesgo de inventario, y salió directamente de dos fórmulas.

Arrastra los deslizadores de inventario, aversión al riesgo y tiempo de abajo y observa cómo el precio de reserva y ambas cotizaciones se deslizan fuera del medio en tiempo real:

Estática comparativa: qué hace cada mando

Analogía. Pensad en cuatro diales de la máquina de cotizar. Dos salidas que te importan: el sesgo $|r-s| = |q|\gamma\sigma^2(T-t)$ (cuánto se inclinan tus cotizaciones fuera del medio) y el diferencial $\delta$ (cómo de anchas son). Cada dial empuja estas dos en direcciones características.

| Sube… | Efecto sobre el sesgo $|r-s|$ | Efecto sobre el diferencial $\delta$ | |---|---|---| | Aversión al riesgo $\gamma\uparrow$ | Más sesgo (inclínate más a aplanar) | Más ancho (sube el término de inventario; baja el de liquidez, pero el de inventario suele dominar cerca del cierre) | | Volatilidad $\sigma\uparrow$ | Más sesgo (la varianza da más miedo) | Más ancho (el término de inventario crece con $\sigma^2$) | | Tiempo hasta cierre $(T-t)\uparrow$ | Más sesgo (más tiempo cargando riesgo) | Más ancho (crece el término de inventario) | | Liquidez/competencia $k\uparrow$ | Sin efecto directo ($k$ no está en $r$) | Más estrecho (encoge el término logarítmico de liquidez) |

La conclusión limpia: la presión de inventario ($\gamma,\sigma,T-t$) impulsa tanto el sesgo como la anchura, mientras que la competencia ($k$) solo estrecha el término de mercado y nunca toca tu centrado.

El efecto de fin de horizonte

Analogía. Un operador que debe quedar plano para la campana de cierre deja de temer el inventario a medida que se acerca la campana: no hay hueco nocturno que temer cuando no hay noche. AS lo incorpora a través del factor $(T-t)$.

La mecánica. Cuando $t\to T$, el término $(T-t)\to 0$, así que:

• el sesgo $q\gamma\sigma^2(T-t)\to 0$: el precio de reserva se recentra en el medio;
• el término de inventario del diferencial $\gamma\sigma^2(T-t)\to 0$: esa mitad del diferencial se desvanece.

Lo que queda al final del todo es solo el término de liquidez $\frac{2}{\gamma}\ln(1+\gamma/k)$: las cotizaciones vuelven a ser simétricas alrededor del medio y se estrechan hasta su suelo competitivo.

Ejemplo resuelto. Mantened $q=5,\gamma=0.1,\sigma^2=4,k=1.5$ y observad cómo $(T-t)$ se agota:

Para la campana, el creador cotiza un simétrico $\pm 0.6455$ alrededor de 100 sin importar el inventario. Arrastra el deslizador de tiempo hasta el extremo del simulador para sentir el mismo colapso:

De las fórmulas de vuelta al sesgo de inventario

Quizá hayáis notado que AS nunca tiene una regla que diga “si estás largo, sombrea las cotizaciones hacia abajo”. Ese comportamiento es emergente. El precio de reserva resta $q\gamma\sigma^2(T-t)$ —proporcional al inventario— y el diferencial se envuelve simétricamente alrededor de él. Combina los dos y el álgebra produce el sesgo automáticamente:

$\text{compra} = s - \underbrace{q\gamma\sigma^2(T-t)}_{\text{sesgo}} - \frac{\delta}{2}, \qquad \text{venta} = s - \underbrace{q\gamma\sigma^2(T-t)}_{\text{sesgo}} + \frac{\delta}{2}.$

Ambas cotizaciones cabalgan el mismo sesgo fuera del medio; el diferencial solo fija cuánto distan entre sí. Ponte largo y ambas se deslizan abajo; ponte corto y ambas se deslizan arriba. Esto convierte un inventario errante en uno con reversión a la media, porque las cotizaciones sesgadas hacen más probable el lado aplanador de cada operación. La próxima lección, Riesgo de inventario y sesgo de cotizaciones, se zambulle por completo en este comportamiento, pero ya sabéis qué línea de álgebra exactamente lo crea.

Supuestos y limitaciones

AS es un modelo, no una máquina de imprimir dinero. Sabed dónde se dobla:

• Volatilidad $\sigma$ constante. La volatilidad real se agrupa y se dispara; una $\sigma$ fija infracotiza justo cuando más anchura necesitas (en torno a noticias).
• Sin selección adversa explícita. Se supone que las llegadas de órdenes son independientes del valor verdadero: las ejecuciones no portan información. La realidad discrepa: quien levanta tu venta a menudo sabe que el precio está a punto de subir. Ese es el mundo de Glosten–Milgrom, otra lección, y AS simplemente no lo cotiza.
• Medios diferenciales simétricos en la forma simple. La aproximación cerrada divide $\delta$ en partes iguales ($\delta_a=\delta_b=\delta/2$). La solución exacta deja que las mitades difieran con el inventario; los profesionales suelen reintroducir esa asimetría.
• Horizonte finito frente a infinito. Las fórmulas limpias con $(T-t)$ suponen un instante terminal fijo. Un creador que corre de forma continua no tiene “cierre” natural, así que la práctica usa las formas cerradas de horizonte infinito de Guéant–Lehalle–Fernandez-Tapia, que reemplazan $(T-t)$ por un término de riesgo estacionario y mantienen las cotizaciones bien portadas indefinidamente.

Repaso

Ideas clave