Riesgo de inventario y sesgo de cotizaciones

Avellaneda–Stoikov os dio el dónde y el cómo de ancho. Esta lección hace zoom sobre el único número que hace sudar a un creador de mercado: el inventario. Cada ejecución os deja con algo en las manos —largos si comprasteis, cortos si vendisteis— y el punto medio puede moverse antes de que aplanéis la posición. La jugada genial es que no tenéis que perseguir vuestra posición con coberturas frenéticas. Podéis dejar que vuestras cotizaciones hagan el trabajo: descentradlas un poco y el flujo de órdenes devolverá tranquilamente vuestro inventario a casa. Ese empujón es el sesgo de cotizaciones, y al terminar lo veréis como lo que realmente es: un controlador de realimentación que convierte el inventario en un proceso con reversión a la media.

El inventario es el riesgo central del creador

Analogía. Un pescadero que solo vende pescado nunca se queda sin dinero, pero un creador de mercado es un pescadero obligado a comprar y vender todo el día. Cada compra deja cajas de pescado en hielo que pueden pudrirse (el precio cae) antes de que llegue el siguiente comprador; cada venta que no podéis reponer os deja debiendo pescado que no tenéis (un corto) que se encarece al recomprarlo. Vuestra caja parece sana. Vuestra exposición es el montón en hielo.

La idea precisa. Sea $q$ vuestro inventario con signo —positivo en largo, negativo en corto—. El punto medio $S$ sigue $dS = \sigma\,dW$, así que el valor a precio de mercado de vuestro inventario en un pequeño tiempo $dt$ tiene varianza

$\mathrm{Var}(q\,dS) = q^2\,\sigma^2\,dt.$

El riesgo crece con el cuadrado del inventario. Doblad la posición, cuadruplicáis la varianza. Esa convexidad explica por qué a los creadores les importa mucho más una posición de 100 que dos de 50.

Ejemplo resuelto. Estáis largos $q = 200$ acciones, σ = $0,40 por acción por $\sqrt{\text{minuto}}$. En el próximo minuto la desviación típica de vuestro P&L solo por movimientos de precio es |q|σ = 200 × 0,40 = $80. Un movimiento adverso de una sigma os cuesta $80, por una posición en la que solo entrasteis para ganar unos céntimos de spread por acción. El spread capturado fue quizá 200 × $0,02 = $4. El riesgo eclipsa la ventaja hasta que reducís $q$.

El sesgo es lineal en el inventario

Analogía. Imaginad que vuestro valor justo no es el punto medio público, sino un punto medio privado que cojea en la dirección hacia la que queréis mover el inventario. ¿Demasiado pescado largo? Vuestro “precio justo” personal baja discretamente, así que venderéis con gusto un pelín más barato y se os ha quitado el apetito de comprar. No habéis cambiado lo ancho que cotizáis; habéis desplazado dónde se sitúa toda la cotización.

La idea precisa. En Avellaneda–Stoikov el centro de vuestras cotizaciones es el precio de reserva $r$, y el sesgo es exactamente la brecha entre él y el punto medio:

$\text{sesgo} = r - S = -\,q\,\gamma\,\sigma^2\,(T-t).$

Leed los signos: largo ($q>0$) ⟹ el sesgo es negativo ⟹ $r$ se sitúa por debajo del punto medio. Tanto vuestro bid como vuestro ask se envuelven simétricamente en torno a $r$, así que ambas cotizaciones bajan en la misma cantidad. El spread $\delta_a + \delta_b$ no cambia: el par se desliza.

• $\gamma$ — aversión al riesgo: más miedo, más sesgo.
• $\sigma^2$ — varianza: un mercado más salvaje hace el mismo inventario más temible, así que se sesga más fuerte.
• $(T-t)$ — tiempo restante: más pista para que el punto medio os haga daño implica un empujón mayor al principio, que se encoge a cero al cierre.

Ejemplo resuelto. Tomad $\gamma = 0,1$, σ = $0,50 (así $\sigma^2 = 0,25$) y $(T-t) = 0,8$ de la sesión restante. Estáis largos $q = 8$ lotes.

$\text{sesgo} = -\,8 \times 0,1 \times 0,25 \times 0,8 = -0,16.$

Vuestro precio de reserva se sitúa $0,16 por debajo del punto medio. Si el medio es $100,00, r = $99,84. Con un medio-spread simétrico de, digamos, $0,10, vuestras cotizaciones quedan en bid $99,74 / ask $99,94 —ambas bajadas 16 céntimos respecto a donde las pondría un creador plano ($99,90 / $100,10)—. Vuestro ask está ahora por debajo del punto medio público: anunciáis agresivamente “por favor, quitadme este pescado de las manos”.

Cuándo muerde más fuerte la fórmula

El sesgo es máximo con $\gamma$ alto, $\sigma$ alto y mucho tiempo por delante. Colapsa a cero cuando $t \to T$: cerca del cierre no hay tiempo para que el inventario os haga daño, así que ni siquiera un $q$ grande mueve mucho vuestro centro. Es el modelo diciéndoos que dejéis de pelear con un inventario por el que ya no podéis ser castigados.

El sesgo dirige; el spread dimensiona

Analogía. Al conducir, el volante decide hacia dónde apuntáis y el acelerador decide a qué velocidad. Confundirlos es peligroso. Al cotizar, el sesgo es el volante (dónde se sitúa la cotización a dos bandas respecto al medio) y el spread es el acelerador/freno (cómo de ancho, y por tanto cuánta ventaja por ejecución y con qué frecuencia operáis).

La idea precisa. Vuestras dos cotizaciones se escriben como

$\text{bid} = \underbrace{r}_{\text{lo fija el sesgo}} - \tfrac{1}{2}\,\delta, \qquad \text{ask} = \underbrace{r}_{\text{lo fija el sesgo}} + \tfrac{1}{2}\,\delta,$

donde $\delta = \delta_a + \delta_b$ es el spread. Cambiar el sesgo mueve $r$ —ambas cotizaciones se trasladan juntas, el spread intacto—. Cambiar el spread $\delta$ ensancha o estrecha la brecha en torno a un centro fijo. Son controles ortogonales.

Ejemplo resuelto. Creador plano, medio $50,00, medio-spread $0,05 ⟹ $49,95 / $50,05. Ahora os ponéis largos y aplicáis sesgo -$0,04: precio de reserva $49,96, cotizaciones $49,91 / $50,01. El ancho sigue siendo $0,10. No ensanchasteis para soltar inventario: desplazasteis. Si en cambio hubierais ensanchado a $49,90 / $50,10, habríais cambiado vuestro riesgo por ejecución y vuestra tasa de ejecución sin hacer nada por dirigir el inventario.

Por qué el sesgo hace que el inventario revierta a la media

Analogía. Un termostato no le grita a la habitación; solo empuja la calefacción y deja que la física haga el resto. El sesgo es un termostato para el inventario. Si os desviáis demasiado a largo, el controlador hace discretamente que vender sea fácil y comprar difícil, así que el propio mercado os opera de vuelta hacia el objetivo. Sin coberturas manuales, sin pánico.

La idea precisa. Recordad que las ejecuciones llegan con intensidad $\lambda(\delta) = A\,e^{-k\delta}$: las cotizaciones más cercanas se ejecutan más. Cuando estáis largos y sesgáis hacia abajo:

• vuestro ask se acerca al medio ⟹ mayor tasa de ejecución de ventas ⟹ soltáis inventario más rápido;
• vuestro bid se aleja del medio ⟹ menor tasa de ejecución de compras ⟹ acumuláis inventario más despacio.

El cambio esperado neto en el inventario se vuelve negativo siempre que $q>0$ (y positivo cuando $q<0$). Eso es una fuerza restauradora: $\mathbb{E}[dq] \approx -\kappa\, q\,dt$ para cierta velocidad efectiva $\kappa$. El inventario deja de ser un paseo aleatorio libre y se convierte en un proceso con reversión a la media tipo Ornstein–Uhlenbeck atraído hacia el objetivo.

Ejecutad el simulador de arriba con Sin sesgo y mirad cómo el inventario se desvía y de vez en cuando golpea el límite. Cambiad a Suave y luego a Agresivo: las mismas ejecuciones aleatorias ahora vuelven a plano cada vez más deprisa.

Vida media del inventario. Con velocidad de restauración $\kappa$, un desplazamiento decae como $q(t) = q_0\,e^{-\kappa t}$, así que la vida media —el tiempo para reducir a la mitad una excursión de inventario— es

$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\kappa}.$

Más sesgo ⟹ mayor $\kappa$ ⟹ vida media más corta ⟹ el inventario vuelve más rápido. Si el sesgo suave da $\kappa = 0,35\,\text{min}^{-1}$, entonces $t_{1/2} = 0,693 / 0,35 \approx 2,0$ minutos; doblar la fuerza del sesgo a $\kappa = 0,70$ la reduce a la mitad, a cerca de 1,0 minuto.

Límites de inventario y liquidaciones forzadas

Analogía. El termostato del sesgo gestiona el tiempo normal. Los límites de inventario son la caja de fusibles: topes duros que saltan cuando la posición se vuelve peligrosa, pase lo que pase con lo que quiera el controlador suave. Cruzad el fusible y ya no sois un creador elegante: sois un trader presa del pánico que cruza el spread para soltar riesgo.

La idea precisa. Las mesas reales atornillan límites duros de inventario $\pm q_{\max}$ encima del sesgo. A medida que $|q|$ se acerca al tope, escaláis:

1. Sesgar más fuerte — sesgar las ejecuciones más agresivamente hacia el lado que reduce.
2. Retirar el lado peligroso — dejar de cotizar el lado que añadiría a la posición; cotizar a una sola banda.
3. Superación ⟹ liquidación forzada — si alcanzáis $q_{\max}$ debéis cruzar el spread vosotros mismos para aplanar. Pasáis de creador a tomador: ahora pagáis el medio-spread (y las comisiones, y el impacto) que normalmente ganáis.

Ejemplo resuelto de coste de liquidación. Superáis el límite largo en 500 acciones y debéis venderlas cruzando. El mercado está $30,00 / $30,06 (un spread de $0,06, medio-spread de $0,03):

• Como creador habríais ganado aproximadamente el medio-spread por acción. En su lugar vendéis al bid $30,00, pagando el medio-spread de $0,03: 500 × $0,03 = $15 de coste de spread.
• Añadid comisiones de tomador, digamos $0,002/acción: 500 × $0,002 = $1,00.
• Soltar 500 acciones mueve el mercado, digamos $0,01 de impacto: 500 × $0,01 = $5,00.
• Coste total de liquidación ≈ $21. El detalle: una liquidación forzada os convierte de ganadores de spread en pagadores de spread —la economía exacta que el negocio busca evitar.

El inventario objetivo no tiene por qué ser cero

Analogía. Un objetivo plano es el ajuste por defecto de “sin opinión”. Pero si creéis de verdad que el precio del pescado sube de un día para otro, irse a casa con algo de pescado en hielo no es un fallo: es una posición que queréis. El punto de consigna de vuestro termostato se aparta de cero.

La idea precisa. El AS puro asume sin deriva ($dS = \sigma\,dW$) y el inventario objetivo óptimo es cero. Añadid una deriva esperada $\mu$ (un alpha) y el panorama se inclina: $dS = \mu\,dt + \sigma\,dW$. Ahora mantener inventario alineado con $\mu$ tiene rentabilidad esperada positiva, así que el objetivo óptimo se desplaza a un $q^*$ distinto de cero, $q^* \propto \mu / (\gamma\,\sigma^2)$. Vuestro sesgo entonces centra el inventario en $q^*$ en lugar de en 0:

$\text{sesgo} = -\,(q - q^*)\,\gamma\,\sigma^2\,(T-t).$

Deriva alcista ⟹ $q^*$ positivo ⟹ toleráis estar largos y sesgáis menos agresivamente para salir de los largos (y más fuerte para salir de los cortos). La fuerza restauradora sigue actuando, solo que hacia $q^*$, no hacia cero.

Sesgo vs. cobertura vs. liquidación

Analogía. Tres formas de lidiar con demasiado pescado: rebajarlo discretamente para que se venda a lo largo de la tarde (sesgo), comprar un seguro que paga si el precio del pescado se hunde para poder conservar las cajas (cobertura), o acercar el camión y malvender el lote ahora mismo (liquidación). Primero lo más barato y lento; al final lo más rápido y caro.

Las tres herramientas.

• Sesgo (pasivo, barato). Sesgad vuestras propias cotizaciones; dejad que el flujo de órdenes reduzca el inventario con el tiempo. Os cuesta un poco de spread capturado; sin comisiones, sin impacto. Mejor para inventario de tamaño normal, acumulado despacio.
• Cobertura (neutralizar, conservar la posición). Tomad una posición compensadora en un instrumento correlacionado (futuros, ETF, una cesta) para cancelar el riesgo de precio conservando la posición de creación de mercado. No reduce vuestra línea: le quita el riesgo. Mejor cuando no podéis soltar inventario rápido pero sí compensar su riesgo barato.
• Liquidación (activa, cara). Cruzar el spread para aplanar ahora. Paga medio-spread + comisiones + impacto. Mejor (solo) cuando el inventario es peligroso y el tiempo escasea: el régimen de liquidación forzada.

La disyuntiva: existe un sesgo óptimo

Analogía. Salar la comida: un poco arregla un plato soso, demasiado lo arruina. El sesgo es igual: algo es esencial, pero subirlo al máximo envenena vuestra ventaja. Hay un punto óptimo, no un “más siempre es mejor”.

La idea precisa. Sesgar agresivamente recorta el riesgo de inventario, pero os cuesta en dos frentes:

1. Menos spread capturado. Rebajar vuestro ask hacia (o a través de) el medio significa vender con menos ventaja por acción. En la práctica pagáis por soltar inventario mediante peores precios.
2. Más selección adversa en el lado al que os inclináis. Poner un ask agresivo cerca del medio significa que os ejecutáis justo cuando los tomadores informados quieren llevarse vuestro ask barato, es decir, cuando el precio está a punto de seguir moviéndose en vuestra contra. Cuanto más cerca esté vuestra cotización, más la desplumarán quienes saben algo que vosotros no.

Así que el creador minimiza una suma: coste de riesgo de inventario (baja con el sesgo) + ventaja cedida + coste de selección adversa (ambos suben con el sesgo). El mínimo es un óptimo interior: un sesgo finito y “óptimo”, no infinito.

$\text{coste total}(s) = \underbrace{c_{\text{inv}}(s)}_{\downarrow \text{ en } s} + \underbrace{c_{\text{spread}}(s) + c_{\text{adv}}(s)}_{\uparrow \text{ en } s},\qquad \frac{d}{ds}\,\text{total} = 0 \text{ en } s^*.$

Intuición resuelta. Suponed que un sesgo extra de $s$ céntimos recorta vuestro coste esperado de varianza de inventario en $4s$ pero cede $s^2$ en coste de spread y selección adversa (subiendo más rápido cuanto más os inclináis). La reducción total es $4s - s^2$; igualando la derivada $4 - 2s = 0$ se obtiene $s^* = 2$ céntimos. Sesgar más allá de 2 céntimos empieza a perder dinero en neto: el alivio marginal de inventario ya no compensa la ventaja marginal que entregáis.

Repaso

Conclusiones clave