Selección adversa y Glosten–Milgrom

El riesgo de inventario preocupa. El coste de procesamiento de órdenes molesta. Pero el enemigo más profundo del creador de mercado no es ninguno de esos: es la contraparte que sencillamente sabe más que vosotros. Cada vez que alguien golpea vuestra demanda o levanta vuestra oferta, debéis haceros la pregunta incómoda: ¿operan porque necesitan liquidez, o porque saben hacia dónde va a moverse el precio? En 1985, Glosten y Milgrom demostraron algo asombroso: aunque tuvierais riesgo de inventario cero y costes cero, aun así tendríais que cotizar un diferencial, puramente para sobrevivir a quienes saben más. Esta lección construye ese modelo desde cero, con la aritmética bayesiana calculada al céntimo.

Los dos tipos de operador

Analogía. Estáis vendiendo un coche usado a precio fijo a quien se acerque. Algunos compradores son personas normales que casualmente necesitan un coche hoy: no saben más que vosotros sobre ese vehículo. Pero de vez en cuando se acerca un mecánico que, solo de oír el motor, sabe que la caja de cambios está perfecta y vale más que vuestro precio. El mecánico solo compra cuando vuestro precio es demasiado bajo. Si no podéis distinguir al mecánico del comprador normal, debéis subir un poco el precio a todos para cubrir las veces que os pilla el experto. Esa prima es la selección adversa.

Definición. En microestructura de mercado dividimos el flujo de órdenes en dos poblaciones:

• Operadores informados conocen el valor verdadero $V$ antes de que sea público. Solo compran cuando $V$ está por encima del precio cotizado y solo venden cuando está por debajo. Siempre están en el lado correcto: el flujo tóxico.
• Operadores no informados —también llamados operadores de ruido u operadores de liquidez— operan por motivos ajenos al valor: reequilibrios, necesidades de caja, coberturas, flujos de índices. Compran o venden más o menos al 50/50, independientemente de $V$. Es el flujo benigno que el creador quiere.

El creador no puede ver de qué tipo es cada orden. Solo ve la orden. Todo el juego consiste en inferir el tipo a partir de la operación.

Por qué una orden de mercado es información

Analogía. Un jugador de póker que de repente va all-in os está diciendo algo, aunque no enseñe las cartas. La propia acción es una señal. Una orden de mercado es igual: la dirección de la operación es noticia, porque quienes más ansían operar en un sentido son desproporcionadamente quienes saben que es el sentido correcto.

La idea central. Una orden de compra es más probable que provenga de un informado (que solo compra cuando $V$ es alto) que una orden de venta. Por tanto:

Una compra eleva vuestra creencia de que el valor es alto; una venta la baja. El creador racional debe entonces vender por encima de su punto medio previo (la oferta refleja “dado que compráis, el valor es probablemente alto”) y comprar por debajo de su punto medio previo (la demanda refleja “dado que vendéis, el valor es probablemente bajo”). El hueco entre esas dos esperanzas condicionales es el diferencial, y existe sin inventario y sin coste.

El modelo de Glosten–Milgrom

Definición. El modelo es el mundo más limpio posible para aislar la selección adversa:

• El valor verdadero es binario: $V \in \{V_H, V_L\}$ con $V_H > V_L$.
• Una probabilidad previa $P(V = V_H) = \theta$ (a menudo $\theta = \tfrac{1}{2}$).
• Una fracción $\alpha$ de los operadores que llegan está informada (conoce $V$); el resto $1 - \alpha$ son operadores de ruido que compran o venden con probabilidad $\tfrac12$ cada uno.
• Las operaciones son de tamaño unitario, de una en una. El creador es competitivo y neutral al riesgo, así que obtiene beneficio esperado cero en cada operación (la competencia a la Bertrand lleva cualquier margen positivo a cero).

La condición de beneficio cero fija las cotizaciones exactamente:

El creador vende al valor condicionado a que llegue una compra y compra al valor condicionado a que llegue una venta. Sin truco, sin recargo por coste: esas esperanzas condicionales son todo el precio.

Probabilidades de orden. Un informado compra si y solo si $V = V_H$ y vende si y solo si $V = V_L$. Un operador de ruido es 50/50. Así:

Una compra es más probable cuando el valor es alto, por exactamente $\alpha$. Ese hueco $\alpha$ es todo el motor del diferencial.

Ejemplo resuelto: calcular el diferencial al céntimo

Clavemos cada número. Tomad:

Así, el punto medio previo es $E[V] = 0.5(110) + 0.5(90) = 100$, y el valor es incierto por $V_H - V_L = 20$.

Paso 1 — probabilidades de orden.

Paso 2 — probabilidad incondicional de una compra (ley de la probabilidad total):

Paso 3 — posterior tras una compra (Bayes):

Paso 4 — la oferta $= E[V \mid \text{compra})$:

Paso 5 — la demanda. Por simetría, $P(\text{venta}) = 0.5$ y $P(V_H \mid \text{venta}) = \frac{0.3 \times 0.5}{0.5} = 0.3$, así que:

Paso 6 — el diferencial:

El punto medio se queda en $\tfrac{104+96}{2} = 100$, igual que el previo: prior simétrico, cotizaciones simétricas. El cuadro completo en una tabla:

Con un prior simétrico ($\theta = \tfrac12$) esto colapsa a un atajo precioso: $\text{diferencial} = \alpha\,(V_H - V_L) = 0.4 \times 20 = 8$. El diferencial es la fracción informada por la incertidumbre del valor. Selección adversa pura, sin coste alguno.

Esta actualización de Bayes es exactamente la imagen de frecuencias naturales: arrastrad los controles para ver moverse el posterior $P(V_H \mid \text{compra})$ (tasa base = prior $\theta$, “sensibilidad” = $P(\text{compra}\mid V_H)=0.7$, “falso positivo” = $P(\text{compra}\mid V_L)=0.3$, y el posterior destacado marca 70 %):

El diferencial como prima de selección adversa pura

Analogía. Una prima de seguro tiene tres piezas: el coste de llevar la oficina (procesamiento), un colchón para rachas de siniestros con mala suerte (inventario/riesgo) y el pago esperado en sí (selección adversa: los asegurados que contratan porque esperan reclamar). Aun una aseguradora mágicamente gratis y con capital infinito debe cobrar la tercera pieza, o pierde dinero frente a quienes saben que reclamarán. Glosten–Milgrom es esa tercera pieza aislada.

El vínculo con la descomposición. Un diferencial cotizado real agrupa tres componentes clásicos:

En el ejemplo, el creador tiene coste de inventario cero y coste de procesamiento cero, y aun así cotiza un diferencial de 8. Ese 8 es exactamente la pérdida esperada frente a los informados. Comprobad el equilibrio: frente a un operador de ruido el creador gana el medio diferencial (4) sea cual sea el lado; frente a un informado pierde todo el movimiento. La condición de beneficio cero garantiza que esos se compensen: el diferencial está calibrado justo para que el medio diferencial cosechado del ruido devuelva las pérdidas al flujo informado.

Descubrimiento de precios bayesiano: cómo entra la información en los precios

Analogía. Un detective no descubre al culpable con una sola pista; cada pista mueve la lista de sospechosos hasta que la imagen se afina. El creador es el detective y cada operación es una pista. Tras cada operación, el creador trata su posterior como el nuevo prior y vuelve a cotizar. Las compras suben el medio; las ventas lo bajan; a lo largo de muchas operaciones el medio converge al $V$ verdadero. Este es el mecanismo por el que la información privada se vuelve precio público.

Definición. Tras observar una operación, el posterior del creador se convierte en su nueva creencia, y el siguiente medio es el nuevo $E[V]$. Continuad desde el ejemplo: acaba de llegar una compra, así que el posterior es ahora $P(V_H) = 0.7$. El medio salta de 100 a $E[V] = 0.7(110)+0.3(90) = 104$. Las siguientes cotizaciones se recalculan en torno a 104. Si llega otra compra, el posterior sube de nuevo hacia 1 y el medio hacia 110; una venta lo tira hacia atrás. Recorred la cadena:

(Cada actualización reutiliza $P(\text{compra}\mid V_H)=0.7$, $P(\text{compra}\mid V_L)=0.3$ y los valores invertidos para una venta.) Si $V$ es de verdad $V_H$, las compras superan a las ventas a la larga y el medio deriva hacia 110; la ventaja de los informados queda competida hasta desaparecer a medida que el precio alcanza lo que ellos sabían. Esa convergencia es la función social de los mercados, y la fuente del dolor del creador.

La misma tensión rige la economía del creador: gana el medio diferencial del flujo de ruido pero sangra frente al informado. Arrastrad los controles para sentir el equilibrio (cuota informada = $\alpha$; ampliad el diferencial y el creador sobrevive a más toxicidad):

Estática comparativa: qué amplía el diferencial

Definición. Con un prior simétrico el diferencial es $\alpha(V_H - V_L)$, así que dos palancas lo mueven:

• Más flujo informado ($\uparrow \alpha$): una mayor fracción de contrapartes tóxicas hace cada ejecución más peligrosa, así que el diferencial se amplía linealmente en $\alpha$.
• Más incertidumbre del valor ($\uparrow (V_H - V_L)$): cuando los dos valores posibles están más separados, que os pillen cuesta más, así que el diferencial se amplía proporcionalmente.

La última fila es la moraleja: con $\alpha = 0$, el diferencial es cero. Sin operadores informados no hay selección adversa, no hay motivo para que un creador sin fricciones cobre nada. A la inversa, el diferencial se dispara justo cuando esperaríais que los mercados se adelgazaran: en torno a noticias, resultados y picos de volatilidad, donde tanto $\alpha$ como $(V_H - V_L)$ saltan a la vez.

Medir la toxicidad en la práctica

Analogía. Un casino vigila a los contadores de cartas con cámaras y jefes de sala; un creador vigila el flujo informado con estadística. No podéis ver la intención, así que la estimáis.

Las medidas prácticas (breve, nivel experto):

• PIN (probabilidad de operativa informada). De Easley–O’Hara, el PIN estima la cuota de operaciones basadas en información ajustando un modelo al desequilibrio diario de compras frente a ventas. Aproximadamente $\text{PIN} = \frac{\alpha\mu}{\alpha\mu + 2\varepsilon}$, donde $\alpha$ es la probabilidad de un evento de información, $\mu$ la tasa de llegada de informados y $\varepsilon$ la de no informados. Es un indicador lento, de frecuencia diaria.
• VPIN (PIN sincronizado por volumen). Un primo de alta frecuencia que agrupa operaciones por volumen en vez de por tiempo de reloj y mide el desequilibrio del flujo dentro de cada cubo. El VPIN se disparó notablemente antes del Flash Crash de 2010 y se usa como alarma en tiempo real de toxicidad del flujo de órdenes.
• Markouts. La medida más práctica y libre de modelo: marcad cada ejecución contra el medio unos segundos/minutos después. Si el precio se mueve sistemáticamente en contra del creador tras la ejecución, esa deriva es la selección adversa realizada: la cara empírica del término $A$ de la lección de P&L. Los markouts convierten el abstracto $\alpha$ en un número en euros por ejecución.

Las defensas del creador

Definición. Una vez que podéis estimar la toxicidad, actuáis sobre ella. El arsenal defensivo:

1. Ampliar el diferencial con la toxicidad. Mayor $\alpha$ estimado → cotizar un diferencial mayor, justo como prescribe $\alpha(V_H - V_L)$. La palanca primera y más burda.
2. Reducir el tamaño cotizado. Si el flujo es tóxico, publicad menos profundidad para que cada ejecución adversa cueste menos títulos.
3. Sesgar las cotizaciones lejos del flujo tóxico. Si las compras llegan informadas, subid la oferta y retirad la demanda para tener menos probabilidad de ser quien vende a un mercado al alza.
4. Retirar las cotizaciones por completo. En torno a noticias programadas o cuando el VPIN se dispara, el diferencial correcto puede ser efectivamente infinito, así que salid del mercado hasta que se asiente el polvo.
5. Buscar flujo no informado. La defensa estructural: enrutad o pagad por el flujo de órdenes minorista, que es abrumadoramente ruido. Este es el motor económico tras el modelo de descuentos maker-taker y el pago por flujo de órdenes (PFOF), tratado en la siguiente lección.

Concepto erróneo: «el diferencial no es más que una comisión»

Repaso

Conclusiones clave