Theta, rho y el reloj

Delta y gamma responden a “¿qué pasa cuando se mueve la acción?”. Pero dos de los inputs de una opción avanzan con o sin la acción: el calendario y el tipo de interés. El tiempo siempre corre; a veces los tipos se mueven. Las griegas que ponen precio a esas dos fuerzas son theta y rho — y agazapada tras la theta está la identidad más importante de todo el trading de opciones: la dualidad gamma–theta, la razón por la que no existe la convexidad gratis.

Ya tienes delta y gamma. Vamos a cablear el reloj.

Theta: el alquiler de la opcionalidad

Analogía. Theta es el alquiler de un apartamento que se derrite. Tener una opción es tener el derecho a actuar antes de una fecha límite — y ese derecho es un activo que se consume. Cada noche que lo conservas, una porción del valor temporal se derrite del contrato de alquiler, se haya movido o no el mercado. El casero (el vendedor de la opción) cobra ese alquiler; el inquilino (tú, el titular) lo paga.

Definición. $\Theta = \dfrac{\partial V}{\partial t}$ — el cambio del valor de la opción por unidad de tiempo. Por convención se cotiza por día del calendario. Para una opción larga la theta es negativa: el tiempo es tu enemigo. Para una opción corta es positiva: cobras el decaimiento. La theta de Black–Scholes de una call (sin dividendos) es

$\Theta_{\text{call}} = -\frac{S\,N'(d_1)\,\sigma}{2\sqrt{T}} - rK e^{-rT} N(d_2)$

donde $N'(\cdot)$ es la densidad normal estándar. El primer término — el que lleva $\sqrt{T}$ en el denominador — es el decaimiento del valor temporal, y es el que se dispara cuando $T \to 0$. (Divide esta cifra anualizada entre 365 para convertirla en el número por día que de verdad cotizan los operadores.)

Theta, con números

Estás largo en una call que vale $3,20 con una theta cotizada de −0,05 por día. Mantén todo lo demás fijo (mismo spot, misma volatilidad, mismos tipos) y deja simplemente correr el reloj:

• Mañana: $3.20 + (-0.05) = 3.15$, es decir $3,15.
• Una semana después (7 días): $3.20 + 7 \times (-0.05) = 3.20 - 0.35 = 2.85$, es decir $2,85.

Así que una semana sin hacer nada te cuesta unos $0,35 por acción — $35 en un contrato de 100 acciones — solo por mantener el contrato de alquiler. Fíjate en la trampa que afinaremos en un segundo: −0,05 es la tasa diaria de hoy. A medida que se acerca el vencimiento ese número se pone más feo, así que la estimación lineal subestima el sangrado en la recta final.

Cuándo importa

La theta es la griega dominante para cualquiera que mantenga opciones a lo largo del tiempo sin un movimiento grande: los vendedores de prima viven de ella, y los compradores de straddles mueren por ella. Si tu tesis necesita que la acción se mueva — y todavía no lo ha hecho — la theta es el taxímetro corriendo de fondo, y deberías conocer tu sangrado diario antes de montar la operación.

Por qué la theta se acelera cerca del vencimiento

Analogía. El valor temporal es un bloque de hielo al sol, y su superficie se encoge al derretirse. El valor temporal de una opción es aproximadamente proporcional a $\sqrt{T}$ — la raíz cuadrada del tiempo que queda. Las curvas de raíz cuadrada son planas lejos y se desploman cerca de cero: pasar de 100 días a 99 apenas importa, pero pasar de 2 días a 1 recorta una fracción enorme de lo que queda.

El mecanismo. Como el valor temporal $\propto \sqrt{T}$, su pendiente (la theta) se comporta como $\dfrac{d}{dT}\sqrt{T} = \dfrac{1}{2\sqrt{T}}$ — que se dispara cuando $T \to 0$. Es el mismo $\sqrt{T}$ del denominador de la fórmula de la theta de Black–Scholes de arriba. El resultado: el decaimiento de una opción at-the-money es leve durante meses, y luego se pone vertical en las últimas semanas. Por eso la curva de abajo parece una deriva lenta que de repente se cae por un precipicio.

El contraste. Esta aceleración es un fenómeno at-the-money. Las opciones muy in-the-money y muy out-of-the-money decaen despacio y de forma constante: una opción muy ITM es casi todo valor intrínseco (que no decae), y una opción muy OTM tiene tan poco valor temporal que apenas queda nada que sangrar. El desplome vicioso de las últimas semanas está reservado a las opciones cercanas al precio de ejercicio.

Rho: el indicador de los tipos que nadie mira (hasta que debe)

Analogía. Rho es el dial del tipo hipotecario sobre un pago que harás más tarde. Una call te deja pagar el precio de ejercicio $K$ al vencimiento; cuanto más alto el tipo de interés, menos vale ese pago futuro en dinero de hoy — así que diferirlo es más barato, y la call vale más. Una put es el espejo: recibirás $K$ más tarde, y unos tipos más altos encogen el valor presente del dinero que entra, así que la put vale menos.

Definición. $\rho = \dfrac{\partial V}{\partial r}$ — sensibilidad al tipo libre de riesgo, cotizada por convención por cada movimiento de 1 punto porcentual (1%) en los tipos. Según Black–Scholes:

$\rho_{\text{call}} = +K\,T\,e^{-rT} N(d_2), \qquad \rho_{\text{put}} = -K\,T\,e^{-rT} N(-d_2)$

La rho de la call es positiva, la rho de la put es negativa, y ambas escalan con $T$ — que es toda la historia de cuándo importa la rho. Para opciones de corto plazo $T$ es minúsculo, así que la rho es la griega más pequeña y más ignorada. Estira el vencimiento a un año o más (un LEAPS) y ese factor $T$ convierte a la rho en una fuerza.

Rho, con números

Tienes una call de largo plazo con rho = 0,45 (por cada movimiento del 1% en los tipos). El banco central sube los tipos un 0,25% (un cuarto de punto). La rho se cotiza por punto completo, así que escalas:

$\Delta V \approx \rho \times \frac{\text{movimiento de tipos en \%}}{1\%} = 0.45 \times \frac{0.25}{1.00} = +\$0.11$

Así que la call gana unos $0,11 por acción — $11 en un contrato. En una opción de corto plazo, la rho podría ser 0,02 y esa misma subida te movería un solo céntimo: genuinamente ignorable. En un LEAPS a dos años, la rho podría ser varias veces mayor, y un cambio de régimen del 1% se convierte en P&L real.

Cuándo importa

Echa mano de la rho cuando el vencimiento sea largo o los tipos se estén moviendo. Para una operación semanal o mensual, gasta tu atención en delta, gamma y theta. Para LEAPS, posiciones estructuradas o cualquier libro mantenido a lo largo de un ciclo de subidas/bajadas, modela la rho de forma explícita — es la diferencia entre una cobertura limpia y una deriva lenta que no sabes explicar.

El trade-off gamma–theta: el trato en el corazón de las opciones

Aquí está la idea sobre la que orbita el resto de este tema. Gamma y theta son las dos caras de una misma moneda. No puedes tener una sin pagarla con la otra.

La intuición. La gamma es algo bueno: un libro largo en gamma puede recubrirse comprando bajo y vendiendo alto, cosechando el movimiento. Nadie regala eso gratis. El precio es la theta — sangras valor temporal cada día que mantienes la convexidad. Dale la vuelta: cobra theta vendiendo opciones, y has asumido gamma negativa — ahora cada movimiento grande te obliga a comprar alto y vender bajo. Así que:

• Largo en gamma ⇔ theta negativa. Pagas alquiler (theta) para tener convexidad (gamma). Quieres movimiento.
• Corto en gamma ⇔ theta positiva. Cobras alquiler (theta) por estar corto en convexidad (gamma). Temes el movimiento.

La identidad. Esto no es una sensación — está horneado en la EDP de Black–Scholes. Todo valor de opción $V$ satisface

$\Theta + \tfrac12\sigma^2 S^2 \Gamma + rS\Delta = rV$

Ahora considera un libro cubierto por delta: has vendido acción en corto de modo que $\Delta = 0$. El término $rS\Delta$ desaparece y (tratando el pequeño término de carry $rV$ como de segundo orden) la ecuación se colapsa en la regla de oro del operador:

$\Theta \approx -\tfrac12\sigma^2 S^2 \Gamma$

Léelo despacio. La gamma positiva fuerza una theta negativa, y cuanto mayor sea tu gamma, más empinada la theta que pagas — escalada por el cuadrado de la volatilidad y del spot. El deshielo que sufres cada día ($\Theta$) es precisamente el precio de la convexidad que tienes ($\Gamma$). Cuando cubres por delta, theta y gamma no solo correlacionan; se compensan — el sangrado diario de theta es exactamente el coste esperado de la gamma que estás cosechando, y que salgas ganando depende de si la volatilidad realizada supera a la $\sigma$ que pagaste. (Esa última frase es todo el negocio del gamma scalping, y es la próxima lección.)

La tabla espejo

Para una única posición larga, las dos griegas de reloj-y-curvatura son opuestos perfectos del lado corto. Memoriza el espejo:

El patrón: largo en lo que sea = largo en gamma, corto en theta; corto en lo que sea = corto en gamma, largo en theta. Que sea una call o una put no cambia para nada los signos de gamma/theta — solo a delta y rho les importa call-vs-put.

Juntándolo todo

Dos inputs avanzan sin la acción: el tiempo y los tipos. Theta es el alquiler de la opcionalidad — negativa para el titular, positiva para el vendedor, suave lejos del vencimiento y viciosa en las últimas semanas para las opciones at-the-money, porque el valor temporal escala con $\sqrt{T}$. Rho es el indicador de los tipos — positiva para las calls, negativa para las puts, despreciable en operaciones de corto plazo pero una fuerza real en los LEAPS y a través de los ciclos de tipos. Y atando la theta a la gamma está la identidad más profunda del libro: $\Theta \approx -\tfrac12\sigma^2 S^2 \Gamma$ para una posición cubierta por delta, la ley que dice que no hay convexidad gratis — o pagas theta para tener gamma, o cobras theta y la temes.

A continuación — gamma scalping: sacamos esa identidad $\Theta \approx -\tfrac12\sigma^2 S^2 \Gamma$ del papel y la convertimos en una estrategia de trading, recubriendo dinámicamente un libro largo en gamma para cosechar la volatilidad realizada contra la theta que has pagado. Todo el juego está en si el mundo se mueve más que el precio que pagaste por ello.