Vega y la superficie de volatilidad

Ya conoces delta, gamma y theta — las griegas que aparecen cuando mueves el spot y el reloj. Pero Black–Scholes tiene seis inputs, y el más traicionero de todos ni siquiera es observable: la volatilidad. Cuando el humor del mercado cambia y la vol implícita se mueve, tu opción se revaloriza aunque la acción no se haya movido ni un céntimo. La griega que mide esa exposición es vega, y es la que convierte una cartera prolijamente cubierta en delta y gamma en algo que aun así sangra o imprime billetes en un día tranquilo. Luego daremos un paso atrás: la vol implícita no es un solo número — es toda una superficie. Empecemos con una comprobación de instinto.

Vega: cuánto le importa a una opción la vol implícita

Piensa en vega como el anillo del humor de la opción. Delta reacciona a dónde está la acción; vega reacciona a lo nervioso que se siente el mercado sobre dónde podría ir la acción. Sube el nerviosismo colectivo — la vol implícita sube — y cada opción que tienes se vuelve más valiosa, porque un cono más gordo de resultados posibles significa más formas de acabar muy in-the-money. Vega es el dial que mide exactamente cuánto se mueve el precio de tu opción por cada unidad de ese nerviosismo.

Formalmente, vega es la derivada parcial del valor de la opción $V$ respecto a la volatilidad $\sigma$:

$\mathcal{V}=\frac{\partial V}{\partial\sigma}=S\,n(d_1)\sqrt{T}$

donde $S$ es el spot, $n(d_1)$ es la densidad de probabilidad normal estándar (la altura de la campana) evaluada en $d_1$, y $T$ es el tiempo a vencimiento en años. Una curiosidad que merece la pena señalar: vega es la única “griega” que no es una letra griega de verdad — no hay glifo con forma de $\nu$ para ella, así que el gremio usa el símbolo inventado $\mathcal{V}$ y el nombre inventado. A nadie le importa.

Dos hechos estructurales salen directos de la fórmula. Primero, vega es positiva tanto para calls como para puts — $S$, $n(d_1)$ y $\sqrt{T}$ son todos no negativos, y por la paridad put–call una call y una put al mismo strike y vencimiento comparten la idéntica vega. Comprar cualquier opción es ponerse largo en vega. Segundo, vega escala con $\sqrt{T}$: las opciones de vencimiento más lejano son mucho más sensibles a vega. Retén esa idea — es el titular de la siguiente sección.

Cotizar vega: por punto de vol

El $\partial V/\partial\sigma$ en bruto es sensibilidad por unidad entera de $\sigma$ — es decir, por un movimiento de 100 puntos porcentuales de vol, que es absurdamente grande. Así que por convención vega se cotiza por punto de vol: divide el número en bruto entre 100. Una vega cotizada de $0.20$ significa “la opción gana unos $0,20 por cada punto porcentual que sube la vol implícita”. Ese es el número en la pantalla de un operador, y el que usaremos abajo.

Aquí está el ejemplo resuelto. Tienes una opción con una vega cotizada de 0,20 (por 1% de vol). La vol implícita sube del 20% al 23% — un movimiento de 3 puntos de vol. La estimación de P&L de primer orden:

$\Delta V \approx \mathcal{V}\times\Delta\sigma = 0.20 \times 3 = 0.60$

Así que la opción gana aproximadamente $0,60 por acción, puramente por el movimiento de vol — spot, strike, tiempo y tipo todos sin cambios. En un contrato de 100 acciones son unos $60; en una posición de 1.000 lotes, $600. Vega es una estimación lineal de primer orden, exactamente como delta — para un movimiento de 3 puntos es de sobra precisa; para un bandazo de 30 puntos querrías la corrección de convexidad (volga, más adelante).

Observa la forma de vega frente al spot. Fíjate en la campana — vega es máxima cerca del strike (at the money) y se desvanece hacia cero en ambas alas, muy ITM y muy OTM. Arrastra el marcador del spot y remodélala con los deslizadores de $\sigma$ y $T$.

Cuándo importa

Vega importa sobre todo cuando tu visión es sobre la volatilidad en sí, no sobre la dirección. Un straddle largo antes de resultados, un spread de calendario, una posición en varianza — son operaciones de vega. También importa siempre que mantengas opciones a través de un cambio de régimen: una cartera delta-neutral puede aun así oscilar violentamente ante una revalorización de la vol. Si no tienes una visión sobre la vol y solo quieres exposición direccional, vega es el polizón no deseado que querrás neutralizar.

Por qué vega alcanza su máximo ATM y crece con √T

La forma de campana viene de $n(d_1)$: esa densidad es más alta cuando la opción está at the money y se encoge hacia cero en las alas. Intuición — el destino de una opción muy ITM o muy OTM está casi decidido, así que un poco más de vaivén apenas cambia su payoff esperado; una opción at-the-money está en el filo de la navaja, así que la volatilidad extra importa enormemente. De ahí que vega alcance su máximo ATM.

El factor $\sqrt{T}$ es la parte que determina cómo se gestiona el riesgo de una cartera. Vega crece con la raíz cuadrada del tiempo a vencimiento, así que una opción a 1 año carga mucha más vega que una a 1 mes, en igualdad de condiciones. La razón: la vol se compone con el tiempo como $\sigma\sqrt{T}$, así que un cambio de 1 punto en la vol anualizada mueve el cono de resultados de una opción de vencimiento lejano mucho más que el de una de vencimiento cercano. Estira el horizonte y simplemente hay más pista para que ese vaivén extra importe.

Ahora la idea de practicante que merece la pena tatuarte en el antebrazo — el reparto gamma/vega a lo largo de la curva de vencimientos:

Gamma y vega tiran en direcciones opuestas a lo largo del eje de vencimiento. Una opción ATM de vencimiento cercano es una bomba de gamma — poquísimo valor temporal, sensibilidad explosiva al spot — pero carga casi nada de vega porque $\sqrt{T}$ es minúsculo. Una opción ATM de vencimiento lejano es lo contrario: montones de vega, gamma suave. Así que tu cartera de vencimiento corto es donde vive el riesgo de spot, y tu cartera de vencimiento largo es donde vive el riesgo de vol.

Riesgo vega: la fuga que una cobertura delta-gamma no tapa

Aquí está la verdad incómoda que separa una cartera de opciones real de una de libro de texto. Puedes ser delta-neutral (inmune a pequeños movimientos del spot) y gamma-neutral (inmune a la curvatura de esos movimientos) y aun así perder una fortuna — porque una cobertura de delta y gamma no dice nada sobre lo que ocurre cuando la vol implícita se mueve. Esa exposición residual es el riesgo vega, y en un día de spot congelado es lo que decide tu P&L.

Imagina una mesa que ha vendido un montón de opciones para cosechar primas y comprado acciones para aplanar la delta, y luego ha operado más opciones para aplanar la gamma. El spot no se mueve en toda la sesión. La cartera debería estar inerte — salvo que llega un titular geopolítico, la vol implícita salta 5 puntos en todo el espectro, y la posición corta en vega imprime una pérdida de seis cifras. Nada en la cobertura de delta o gamma la tocó. Eso es el riesgo vega, sin disfraz.

Como vega vive en el tramo largo y varía por vencimiento, no la gestionas como un solo número. Compensas vega por cubo de vencimiento: suma la vega de cada posición agrupada por vencimiento (1m, 3m, 6m, 1a, 2a…), porque un movimiento de vol rara vez afecta a todos los vencimientos por igual — la propia estructura temporal se desplaza y se retuerce. Una cartera puede tener vega neta cero en el agregado y aun así estar peligrosamente larga en el frente y corta en el fondo, de modo que un empinamiento de la estructura temporal la sangra en silencio.

Cuándo importa

El riesgo vega domina siempre que el humor del mercado puede cambiar más rápido que el precio: en torno a anuncios macro, resultados, sobresaltos geopolíticos, o cualquier evento de liquidez que eleve toda la superficie de vol. Una mesa corta en primas vive y muere por ello. Si tu estrategia recoge decaimiento temporal (theta) estando corta en opciones, estás estructuralmente corto en vega, y un repunte de vol es tu peor pesadilla — así que vigilas el libro de vega por cubo como un halcón.

La superficie de volatilidad: la vol implícita es una lámina, no un escalar

Viste la sonrisa en el curso de valoración: invierte Black–Scholes en cada strike y las vols implícitas no salen iguales — se curvan. Eso era una rebanada. Ahora añade el otro eje. Mantén el strike fijo y camina a lo largo del vencimiento, y la vol implícita cambia de nuevo — eso es la estructura temporal. Junta ambas y la vol implícita se convierte en una función de dos variables, $\sigma_{\text{imp}}(K, T)$: una superficie de volatilidad bidimensional que los operadores ajustan, suavizan y re-marcan a lo largo de todo el día.

Primero, el vocabulario que necesitarás: moneyness. En vez de cotizar un strike $K$ en bruto, la superficie suele indexarse por cómo se sitúa el strike respecto al spot — lo más simple, el ratio $K/S$. Un ratio de $1$ es at the money; por debajo de $1$ es un strike bajo (donde las puts están out of the money); por encima de $1$ es un strike alto (calls OTM). El moneyness te permite comparar la sonrisa entre acciones a distintos niveles de precio en una escala común.

A través del strike — asimetría y sonrisa

• Asimetría de índices de renta variable (la mueca). Para los índices bursátiles, la VI es más alta en strikes bajos (puts OTM bajistas) y baja según sube el strike. La curva se inclina a la izquierda. Dos fuerzas: la demanda institucional implacable de protección contra caídas puja al alza la vol de las puts, y los rendimientos reales de los índices tienen una cola izquierda más gruesa de lo que el modelo lognormal permite. Apenas existía antes del crac de octubre de 1987; después apareció y nunca se fue — la “mueca de 1987”.
• Sonrisa de divisas / materias primas. Para los pares de divisas (y muchas materias primas), la curva es aproximadamente simétrica — ambas alas se elevan. En un par de divisas cualquiera de los dos lados puede desplomarse (un repunte del EUR/USD es un crac del USD/EUR), así que el mercado exige protección de cola en ambos extremos. Miedo simétrico, sonrisa simétrica.

A través del vencimiento — la estructura temporal

Mantén el strike fijo y varía el vencimiento: en mercados tranquilos la estructura temporal suele tener pendiente ascendente (los horizontes más largos descuentan más incertidumbre — vol en “contango”). Tras un sobresalto puede invertirse: las opciones de vencimiento cercano gritan vol alta que se espera que se desvanezca, así que el frente se eleva por encima del fondo. La estructura temporal es ella misma un objeto negociable — los spreads de calendario son apuestas sobre su pendiente.

Juega con la superficie completa. Alterna el preset de forma del strike (asimetría de renta variable / sonrisa / plana) y la forma de la estructura temporal (ascendente / plana / invertida), y haz clic en cualquier celda para leer su vol implícita. Leer a lo largo de una fila muestra la asimetría/sonrisa; leer bajando por una columna muestra la estructura temporal.

Y aquí está la rebanada de un solo strike por sí sola, la sonrisa que ya conociste — la línea plana discontinua es la fantasía de Black–Scholes de una $\sigma$ constante; la curva es lo que los mercados cotizan de verdad.

Vanna y volga, de un vistazo

Vega es una griega de primer orden — la pendiente del precio en la vol. Pero la propia vega se mueve a medida que el mundo cambia, y dos griegas de segundo orden capturan eso. No las calcularás a mano aquí, pero un operador de asimetría/sonrisa vive dentro de ellas:

• Vanna $= \dfrac{\partial \mathcal{V}}{\partial S} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial S\,\partial \sigma}$ — cómo se desplaza vega cuando el spot se mueve (equivalentemente, cómo se desplaza delta cuando la vol se mueve). Es el término cruzado que enlaza delta y vol, y es lo que hace que la asimetría sea negociable: cuando el spot cae y la vol sube a la vez (la clásica correlación de renta variable), vanna es la griega que captura ese movimiento conjunto.
• Volga (también vomma) $= \dfrac{\partial \mathcal{V}}{\partial \sigma} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial \sigma^2}$ — la propia convexidad de vega, cómo cambia vega cuando la vol cambia. Es por lo que un movimiento grande de vol no es del todo lineal en vega (el bandazo de 30 puntos que señalamos antes), y es central para valorar la curvatura de la sonrisa — una volga positiva significa que ganas con movimientos grandes de vol en cualquier dirección.

Juntándolo todo

Vega es el anillo del humor de la opción: $\mathcal{V}=S\,n(d_1)\sqrt{T}$, positiva para toda opción larga (calls y puts), cotizada por punto de vol. Alcanza su máximo at the money (la campana de $n(d_1)$) y crece con $\sqrt{T}$, que es por lo que vega se concentra en el tramo largo de una cartera mientras gamma se concentra en el tramo corto — extremos opuestos de la curva de vencimientos, gestionados en cubos separados. Una cartera puede ser perfectamente delta- y gamma-neutral y aun así sangrar ante un movimiento de vol; ese residual es el riesgo vega, compensado por cubo de vencimiento porque la estructura temporal se desplaza y se retuerce, no solo se desliza. Y la propia vol implícita no es un escalar: es una superficie $\sigma_{\text{imp}}(K,T)$ que se curva a través del strike en asimetría (renta variable) o sonrisa (divisas) y a través del vencimiento en la estructura temporal — la confesión viva de que el Black–Scholes de $\sigma$ constante es una aproximación. Las griegas de segundo orden vanna (spot↔vol, la asimetría) y volga (la convexidad de vega, la sonrisa) son cómo negocias la forma de la superficie.

Ya tienes el kit completo de vega: la griega anillo-del-humor que alcanza su máximo ATM y se hincha con $\sqrt{T}$, el reparto tramo-largo-frente-a-tramo-corto que organiza una cartera entera, el riesgo vega que sobrevive a una cobertura delta-gamma, y la superficie de volatilidad que se curva a través del strike y del vencimiento — además de vanna y volga que te dejan negociar su forma. A continuación plegaremos estas griegas juntas en la mecánica de gestionar una cartera cubierta en tiempo real.