Delta y gamma de cerca

En el curso de valoración de opciones conociste a las griegas como un cortés pase de lista: delta, gamma, theta, vega, rho — cinco indicadores, cada uno una derivada parcial, cada uno midiendo “si esto se mueve un poco, ¿cuánto se mueve mi prima?”. Esa era la versión turista. Ahora gestionas un libro en vivo, y a un libro en vivo no le importan las cinco por igual. Dos de ellas — delta y gamma — se comen casi toda tu atención, tu presupuesto de cobertura y (en un mal día) tu P&L. Esta lección hace zoom hasta el fondo sobre esas dos.

Un recordatorio rápido del marco, porque explica por qué delta y gamma dominan. Una griega es un término en el desarrollo de Taylor del valor de tu posición $V$ alrededor del spot actual $S$:

$\Delta V \approx \underbrace{\Delta\,\Delta S}_{\text{término delta}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}\Gamma\,(\Delta S)^2}_{\text{término gamma}} + \underbrace{\Theta\,\Delta t}_{\text{término theta}} + \dots$

Delta es la respuesta de primer orden a la acción; gamma es la de segundo orden. Una vez que cubres la delta (lo que toda mesa hace, constantemente), el término gamma es lo principal que queda — la curvatura que la cobertura delta no puede eliminar. Todo aquello por lo que los profesionales se desviven — frecuencia de recobertura, riesgo de fijación al strike, P&L de convexidad — vive en esos dos primeros términos. Así que ganémonos el sueldo ahí.

Delta: el ratio de cobertura que vale también como probabilidad

Analogía. Delta es el tipo de cambio de tu opción hacia la acción subyacente. Una delta de 0,45 dice: por cada $1 que se mueve la acción, tu opción se mueve unos $0,45 — como si tuvieras 0,45 de una acción por opción. Es el factor de conversión que transforma “tengo un derivado” en “tengo esta cantidad de equivalente en acciones”.

Definición. Delta es la primera derivada del valor respecto al spot:

$\Delta = \frac{\partial V}{\partial S}$

Según Black–Scholes, la delta de una call es $N(d_1)$, que vive en $[0, 1]$, y la delta de una put es $N(d_1) - 1$, que vive en $[-1, 0]$. Las opciones muy out-of-the-money apenas reaccionan ($\Delta \to 0$); las muy in-the-money se mueven casi uno a uno con la acción (call $\Delta \to 1$, put $\Delta \to -1$). At the money, la delta ronda 0,5 en una call y alrededor de $-0,5$ en una put.

Delta tiene dos lecturas, y un buen operador sostiene ambas en la cabeza a la vez:

• Lectura uno — el ratio de cobertura. Delta es literalmente acciones del subyacente por opción. Te dice cuántas acciones negociar contra la opción para cancelar los movimientos de primer orden. Es la lectura de la que vives en un libro cubierto.
• Lectura dos — una probabilidad aproximada de acabar in-the-money. A la gente le encanta decir “una call de delta 0,30 tiene un 30% de probabilidad de expirar ITM, más o menos”. Es una lectura aceptable de servilleta — pero fíjate en la trampa de abajo.

Cobertura delta, con números

Estás largo en 10 contratos de call, cada uno sobre 100 acciones, con $\Delta = 0.45$ por opción. Tu delta de posición es la delta por opción, escalada por el multiplicador del contrato y el número de contratos:

$\text{delta de posición} = 0.45 \times 100 \times 10 = +450$

Así que tu libro se comporta exactamente como estar largo en 450 acciones — una subida de $1 añade unos $450, una caída de $1 cuesta unos $450. Para neutralizar esa exposición de primer orden vendes en corto 450 acciones. Ahora un pequeño bandazo se cancela:

• La acción sube $1. Las calls ganan alrededor de $0.45 \times 100 \times 10 = 450$, es decir $450. El corto de 450 acciones pierde $450. Neto $\approx 0$.
• La acción cae $1. Las calls pierden unos $450. El corto en acciones gana $450. Neto $\approx 0$.

Eso es delta-neutral: la posición apenas se inmuta ante un movimiento pequeño. Toda la trampa está en la palabra pequeño — la delta es solo la pendiente en este instante, y la propia pendiente deriva a medida que la acción se mueve. ¿Qué indicador gobierna esa deriva? Gamma. Pero primero, asienta la aritmética de la delta.

Cuándo importa

Delta es la griega que más a menudo revisas, porque es la exposición que te pagan por no tener si gestionas un libro neutral al mercado. La lectura del ratio de cobertura gobierna cada acción que negocias; la lectura de la probabilidad es un chequeo rápido de moneyness (“esta ala de delta 0,05 es básicamente un boleto de lotería”). El peligro es confundir la pendiente con la historia completa — que es exactamente lo que la gamma castiga.

Delta de posición y delta en dólares: hablar el idioma de la mesa

Analogía. La delta de posición te dice “cuántas acciones poseo efectivamente”; la delta en dólares traduce eso a “cuántos dólares de acción estoy largo”. A un gestor de riesgos no le importa que tengas 450 equivalentes en acciones de una acción de $30 igual que le importan 450 equivalentes de una acción de $3.000 — una es $13.500 de exposición, la otra es $1,35 millones. Los dólares son la moneda común en un libro lleno de valores con precios distintos.

Definición. Agrega las deltas con signo de todas las posiciones para obtener la delta de posición neta del libro, y luego multiplica por el spot para obtener la delta en dólares:

$\text{delta en dólares} = (\text{delta de posición}) \times S$

Ejemplo con números. Tu libro tiene los +450 equivalentes en acciones de las calls de arriba, más otra pata que aporta $-120$ equivalentes en acciones. Delta de posición neta $= 450 - 120 = +330$. Si la acción cotiza a $80:

$\text{delta en dólares} = 330 \times 80 = 26{,}400 \text{ dólares}$

Cargas con $26.400 de exposición larga a la acción — un movimiento del 1% en la acción ($0,80) vale unos $264 (eso es $330 \times 0.80$). La delta en dólares es lo que permite a una mesa comparar y agregar exposición entre valores que cotizan a precios muy distintos.

Gamma: la curvatura que hace moverse a la delta

Analogía. Si la delta es tu velocidad, gamma es tu aceleración — lo deprisa que oscila la propia aguja del velocímetro. Ir a 80 km/h constantes (delta alta, gamma cero) es predecible. Pisar a fondo (gamma alta) significa que tu lectura de “a qué velocidad voy” queda obsoleta en segundos. Gamma es la razón por la que la cobertura que pusiste hace cinco minutos ya está mal.

Definición. Gamma es la tasa de cambio de la delta — equivalentemente, la segunda derivada del valor:

$\Gamma = \frac{\partial \Delta}{\partial S} = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = \frac{n(d_1)}{S\,\sigma\,\sqrt{T}}$

donde $n(d_1)$ es la densidad normal estándar (la altura de la campana) en $d_1$. Tres cosas salen directas de esa fórmula. La gamma es la misma para una call y su put del mismo strike (comparten $d_1$). Tiene forma de campana, con su pico at the money y decae hacia 0 muy ITM o muy OTM (donde la delta se ha aplanado en 1 o 0 y deja de cambiar). Y es siempre positiva para una opción larga — call o put — porque poseer opcionalidad es poseer curvatura.

Gamma, con números

Tienes una posición con gamma 0,08 (por acción, por opción). La acción sube $2. Tu delta cambia aproximadamente en:

$\Delta\Delta \approx \Gamma \times \Delta S = 0.08 \times 2 = 0.16$

Así que una call que estaba en delta 0,45 está ahora en torno a $0.45 + 0.16 = 0.61$ tras una subida de $2 — sin que toques nada. Tu cobertura, fijada para una delta de 0,45, ahora está infracubierta en 0,16 de delta por opción. Reequilibrar de vuelta a neutral es la tarea que la gamma te impone, una y otra vez. Cuanto mayor es la gamma, más a menudo la acción te saca la cobertura de cuadro.

Cuándo importa

Una gamma alta significa que tu cobertura delta queda obsoleta deprisa — recubres más a menudo, y cada operación de recobertura cuesta diferencial y comisión. Gamma es la diferencia entre una cobertura que puedes poner y olvidar durante una hora y una que vigilas tick a tick. El signo de tu gamma decide además si ese cuidado te paga o te sangra — que es la historia de la convexidad.

Gamma en dólares y convexidad: la curvatura que pagas

Analogía. Estar largo en gamma es como un cinturón de seguridad que además te entrega efectivo en un accidente: cuanto mayor el golpe — al alza o a la baja — más cobras. Estar corto en gamma es vender esos cinturones; te embolsas una prima constante justo hasta el accidente que te lo borra. Gamma es convexidad, y la convexidad nunca es gratis.

Definición. Del desarrollo de Taylor, la contribución de la gamma al P&L por opción, para un movimiento de $\Delta S$, es el término de curvatura:

$\text{P\&L de gamma} \approx \tfrac{1}{2}\,\Gamma\,(\Delta S)^2$

Fíjate en el $(\Delta S)^2$: está al cuadrado, así que es positivo se mueva la acción hacia donde se mueva y crece con el tamaño del movimiento, no con su dirección. Estar largo en gamma ($\Gamma > 0$) gana este término en cualquier movimiento grande — una sonrisa convexa que curva hacia arriba por ambos lados. Estar corto en gamma ($\Gamma < 0$) lo paga en cualquier movimiento grande — la mueca. “Gamma en dólares” escala esto a tu posición completa para que puedas leer la convexidad en términos de dinero.

Ejemplo con números de gamma en dólares. Estás largo, delta-neutral, con gamma de posición 0,08 por acción sobre 1.000 equivalentes en acciones de contratos (así que la posición tiene $\Gamma = 0.08 \times 1{,}000 = 80$ deltas por $1). La acción hace un movimiento de $5 ($\Delta S = 5$). El P&L de curvatura, más allá de lo que la delta ya contabilizó, es:

$\tfrac{1}{2}\,\Gamma\,(\Delta S)^2 = \tfrac{1}{2} \times 80 \times (5)^2 = \tfrac{1}{2} \times 80 \times 25 = 1{,}000 \text{ dólares}$

Un movimiento de $5 en cualquier dirección entrega al libro largo en gamma unos $1.000 de beneficio por convexidad — encima de lo que hiciera la delta (recubierta). Pásate a corto en gamma y ese mismo movimiento de $5 es una pérdida de $1.000. La asimetría es el juego entero: o posees la curvatura y te beneficias del caos, o la has vendido y temes el caos.

La gamma explota cerca del vencimiento: la pesadilla de la cobertura

Analogía. Una opción at-the-money próxima al vencimiento es una moneda en equilibrio sobre su canto a segundos de caer. Su delta tiene que resolverse desde “vete a saber” (≈0,5) a un duro 0 o 1 sobre un rango de precios finísimo — así que la tasa a la que cambia la delta, gamma, se dispara por las nubes. La cobertura que estaba bien hace una hora ahora no sirve para nada.

Por qué. Mira de nuevo $\Gamma = n(d_1)/(S\sigma\sqrt{T})$. Cuando $T \to 0$, el $\sqrt{T}$ del denominador $\to 0$, así que para una opción at-the-money la gamma explota hacia el infinito. La campana de gamma-vs-spot se vuelve más alta y más estrecha al acercarse el vencimiento: gamma enorme en una rendija alrededor del strike, casi ninguna en el resto.

El horror práctico: el riesgo de fijación al strike. Si la acción se sienta justo en el strike hacia el cierre del día de vencimiento, tu delta puede saltar salvajemente entre aproximadamente 0 y 1 con movimientos minúsculos — genuinamente no sabes si te asignarán, y cualquier cobertura que pongas está mal al instante. Eso es el riesgo de fijación al strike (pin risk): la acción “clavada” al strike, tu cobertura delta dando bandazos, los costes de transacción acumulándose mientras la persigues. La gamma ATM de corto plazo es donde las mesas bien gestionadas se hacen daño.

Una rápida mención del siguiente nivel hacia abajo. La propia gamma tiene derivadas: speed es $\partial\Gamma/\partial S$ (cómo cambia la gamma al moverse el spot — te dice lo deprisa que se desplaza tu perfil de gamma), y charm es $\partial\Delta/\partial t$ (cómo decae la delta solo por el paso del tiempo — te avisa de que tu cobertura deriva de la noche a la mañana aunque la acción no se mueva). No las calcularás a mano, pero las mesas que gestionan grandes libros de corto plazo desde luego las vigilan, porque cerca del vencimiento dejan de ser errores de redondeo.

La tabla de signos: quién está largo y corto de qué

Para una posición larga los signos de delta y gamma están completamente fijados; vender (escribir) invierte todos los signos. Grábate esta cuadrícula:

El patrón que merece memorizarse: cualquier opción larga está larga en gamma (call o put — posees curvatura, te encantan los grandes movimientos), y cualquier opción corta está corta en gamma (has vendido curvatura, los grandes movimientos te hacen daño). Delta es la única de las dos cuyo signo depende de call-vs-put. Así que “largo en gamma” y “corto en gamma” atraviesan por completo la división call/put — lo que importa para la gamma es si posees la opción o la escribiste.

Juntándolo todo

Delta es tu exposición a la acción y tu ratio de cobertura — $N(d_1)$ para una call, $N(d_1)-1$ para una put — y, a grandes rasgos (sobrestimada), la probabilidad de acabar ITM. Agrégala en la delta de posición, escálala por el spot para la delta en dólares, y puedes leer el riesgo lineal del libro en un único número. Gamma es la curvatura que hace moverse a la delta: igual para call y put, positiva cuando estás largo, con forma de campana y pico ATM, y la fuente del término de convexidad $\tfrac{1}{2}\Gamma(\Delta S)^2$ — convexidad de la que te beneficias cuando estás largo y temes cuando estás corto. Cerca del vencimiento, la gamma ATM explota y te entrega el riesgo de fijación al strike. Cubre la delta, y la gamma es lo que queda por gestionar.

A continuación — Theta, vega y el coste de la convexidad — le ponemos precio a la gamma que acabas de aprender a amar. Poseer curvatura no es gratis: cada día tranquilo, la theta mordisquea la prima que pagaste, y un cambio en la volatilidad implícita mueve todo tu libro a través de la vega. El trade-off gamma–theta es donde gestionar un libro de opciones deja de ser un ejercicio de matemáticas y empieza a ser un juicio diario.