Spot, Forward y Modelos de Estructura Temporal

La curva spot os dice el tipo a fijar hoy para dinero devuelto en cada horizonte. Pero codifica en secreto algo más rico: los tipos que el mercado ha puesto en precio para periodos que aún no han empezado — el tipo para el año que va del año 1 al año 2, digamos. Esos son los tipos forward, y salen directamente de la curva spot por no-arbitraje. Una vez que sepáis leerlos, podéis plantear la pregunta más profunda hacia la que construye esta lección: ¿cómo se mueven los propios tipos en el tiempo? Ese es el trabajo de los modelos de estructura temporal — y los más simples, Vasicek y CIR, introducen la dinámica de reversión a la media que tiende el puente de la renta fija al mundo de los procesos estocásticos.

Tipos forward: el puente entre dos spots

Analogía. Podéis llevar dinero de hoy al año 2 de dos maneras: (a) invertir directamente al tipo spot a 2 años, o (b) invertir al spot a 1 año, y luego renovar en un depósito a un año en el año 1. Para que estas den el mismo resultado — y deben, o aparece arbitraje — el tipo de esa renovación del segundo año está clavado. Ese tipo clavado es el tipo forward $f_{1,2}$, el puente que salva el hueco entre los spots a 1 y a 2 años.

La relación de no-arbitraje. Capitalizar a través del forward debe igualar capitalizar a través del spot más largo:

Más en general, el tipo forward que cubre el intervalo de $t_1$ a $t_2$ satisface

Ejemplo resuelto. Del bootstrap de la lección anterior, $z_1 = 4.00\%$ y $z_2 = 5.02\%$. El forward implícito a un año que empieza en el año 1:

El forward (6,06%) se sienta por encima de ambos spots (4,00%, 5,02%). Esa es la regla en una curva ascendente: porque el spot a 2 años es una media del tipo del primer año y el forward del segundo, y el forward del segundo año debe superar la media para tirarla por encima del tipo del primer año. Los forwards siempre se pasan de la pendiente de la curva spot — son el tipo marginal, no la media.

Qué significan los forwards: expectativas frente a prima por plazo

La hipótesis de las expectativas. En su forma pura, dice que el tipo forward iguala el tipo spot futuro esperado por el mercado: $f_{1,2} = \mathbb{E}[z_1^{\text{(próximo año)}}]$. Si fuera cierto, una curva ascendente significaría que el mercado espera que los tipos suban, y una invertida que espera que caigan. Es una historia limpia — y solo en parte cierta.

La prima por plazo. Los inversores generalmente exigen rentabilidad extra por inmovilizar dinero durante más tiempo (más riesgo de tipos, menos liquidez), así que el tipo forward normalmente supera al spot futuro esperado en una prima por plazo (o por liquidez):

Así que una curva normalmente ascendente no significa necesariamente que se espere que los tipos suban — parte de la pendiente es solo la prima por mantener bonos largos. Desenredar ambas es uno de los debates centrales, y sin resolver, de la renta fija.

Modelar cómo se mueven los tipos: el tipo corto

Por qué un único número aleatorio no basta. El precio de una acción se modela a menudo como un paseo aleatorio que vaga en cualquier dirección. Pero los tipos de interés no pueden comportarse así — no derivan al infinito ni por debajo de algún suelo durante mucho tiempo; los bancos centrales y las fuerzas económicas los tiran de vuelta hacia un nivel “normal”. Un modelo de tipos realista necesita reversión a la media: un tirón de vuelta hacia una media a largo plazo siempre que el tipo se desvíe. El objeto central que estos modelos siguen es el tipo corto $r_t$ — el tipo de interés instantáneo, a muy corto plazo — del que puede derivarse toda la curva.

La idea de Ornstein–Uhlenbeck. Un tipo con reversión a la media obedece a una dinámica de la forma

donde $\theta$ es el nivel medio a largo plazo, $\kappa$ es la velocidad de reversión (con qué fuerza se tira el tipo de vuelta), $\sigma$ es la volatilidad, y $dW_t$ es el shock aleatorio. Siempre que $r_t$ se sienta por encima de $\theta$, el término de deriva $\kappa(\theta - r_t)$ es negativo y lo tira hacia abajo; por debajo de $\theta$, lo empuja hacia arriba. El tipo está atado a una correa.

Vasicek y CIR de un vistazo

Vasicek (1977). El primer modelo de tipo corto tratable usa volatilidad constante $\sigma$ en la ecuación de arriba:

Su gran virtud es que es resoluble analíticamente — los precios de los bonos y toda la curva de tipos salen en forma cerrada, y el tipo corto se distribuye normalmente. Su gran defecto: como el shock es de tamaño constante y aditivo, el modelo deja que los tipos se vuelvan negativos con probabilidad positiva. Durante décadas se consideró una vergüenza fatal; desde los experimentos de tipos negativos de 2014 en Europa y Japón, ha parecido extrañamente profético.

Cox–Ingersoll–Ross / CIR (1985). CIR parchea el agujero de los tipos negativos escalando la volatilidad con $\sqrt{r_t}$:

A medida que el tipo se acerca a cero, el término $\sqrt{r_t}$ encoge el shock a nada, así que el tipo queda suavemente acotado en cero (bajo la condición de Feller, $2\kappa\theta \ge \sigma^2$, nunca lo toca). CIR conserva mucha de la tratabilidad de Vasicek garantizando tipos no negativos — a costa de una distribución más fea (chi-cuadrado no central).

Cuándo usarlo

Usad los tipos forward siempre que necesitéis el tipo fijado por el mercado para un periodo futuro — valorar swaps que empiezan en el futuro, valorar una pata flotante o leer la señal de recesión de la curva. Usad los modelos de tipo corto cuando necesitéis simular cómo podrían evolucionar los tipos y la curva — valorar opciones sobre tipos, hacer análisis de escenarios sobre una cartera de tipos o calcular un VaR basado en modelo. Elegid Vasicek por conveniencia analítica y cuando los tipos negativos sean aceptables o incluso deseados; elegid CIR cuando importe un suelo estricto en cero. Para trabajo serio de mesa, os graduaréis a modelos multifactoriales — pero la intuición de la reversión a la media empieza aquí.

Recapitulando

La curva spot esconde los tipos forward que el mercado ha puesto en precio para periodos futuros, extraíbles por no-arbitraje: el forward es el puente entre dos spots, pasándose de la pendiente de la curva (por encima de los spots en una curva ascendente). Los forwards igualan los spots futuros esperados más una prima por plazo, por lo que una curva invertida señala recortes esperados y recesión. Para modelar cómo se mueven los propios tipos, seguimos el tipo corto con dinámica de reversión a la media — Vasicek (volatilidad constante, puede volverse negativo) y CIR (volatilidad √r, acotado en cero) — modelos de un factor que enseñan la intuición de la reversión a la media que os lleváis directos a los procesos estocásticos.

A continuación — diferenciales de crédito y riesgo de impago — dejamos el mundo libre de impago y ponemos precio a la posibilidad de que el prestatario no pague: descomponiendo una rentabilidad con riesgo en el tipo libre de riesgo, la pérdida esperada y la prima de riesgo que os compensa por soportar la incertidumbre.