Construcción de la Curva de Tipos (Bootstrapping)

Hasta ahora hemos hablado de “la rentabilidad” como si un bono tuviera una sola. Pero un cupón del 6% pagado en el año 1 y el nominal pagado en el año 10 no deberían descontarse al mismo tipo — el dinero a un año y a diez años cuesta de forma distinta. El mercado valora cada madurez con su propio tipo spot (la rentabilidad de un derecho cupón cero puro a ese horizonte), y la colección de esos tipos es la curva spot. El problema: casi ningún cupón cero cotiza a cada madurez, así que no podemos leer la curva spot en la pantalla. Tenemos que construirla — por bootstrapping, separando los bonos con cupón uno a uno. Esta es la construcción más importante de la renta fija; cada factor de descuento, cada valoración, cada tipo forward desciende de ella.

Tipos spot: el precio del dinero en cada horizonte

Analogía. Imaginad alquilar dinero como alquiláis un coche: un alquiler de un día y uno de un año tienen tarifas diarias completamente distintas. El tipo spot $z_t$ es la tarifa de alquiler del dinero prestado hoy y devuelto en un único pago en el instante $t$ — es la rentabilidad de un bono cupón cero puro que vence en $t$. Hay un $z_t$ distinto para cada horizonte, y juntos forman la estructura temporal de los tipos de interés.

Por qué los tipos spot son los tipos “verdaderos”. Un bono cupón cero tiene exactamente un flujo, así que su rentabilidad descuenta ese flujo sin mezcla — es un precio limpio y sin ambigüedad del dinero para ese horizonte. El factor de descuento para el instante $t$ es

y cualquier flujo en el instante $t$, de cualquier bono, debe descontarse por este mismo $DF_t$ — de lo contrario un arbitrajista podría comprar la versión barata y vender la cara. Los tipos spot son los átomos; el precio de un bono con cupón es solo una suma de sus flujos por los factores de descuento apropiados.

El bootstrap: resolver una madurez a la vez

Analogía. El bootstrapping es subir una escalera donde cada peldaño debe construirse a partir de los peldaños de abajo. No podéis alcanzar el tipo spot a 3 años hasta haber clavado los de 1 y 2 años, porque los cupones tempranos de un bono con cupón a 3 años necesitan descontarse a esos tipos primero. Así que empezáis abajo y subís.

La recursión. Dados los precios de bonos con cupón a las madureces $1, 2, 3, \dots$:

1. Año 1. Un bono a 1 año tiene un único flujo, así que su rentabilidad es el tipo spot a 1 año $z_1$. Leedlo directamente.
2. Año 2. Un bono a 2 años paga un cupón en el año 1 y cupón + nominal en el año 2. Descontad el cupón del año 1 usando $z_1$ (ya conocido), restad ese valor actual del precio del bono, y el resto es el valor actual del flujo del año 2. Resolved para $z_2$.
3. Año $t$. Cada tipo spot $z_1, \dots, z_{t-1}$ es conocido, así que los primeros $t-1$ cupones de un bono a $t$ pueden descontarse todos. Restadlos del precio, dejando una única ecuación en $z_t$. Resolved.

Cada paso tiene exactamente una incógnita porque cada tipo más corto ya está clavado. Esa es la magia — y la restricción: debéis tener un bono (o un precio) en cada paso de madurez, sin huecos.

Un bootstrap resuelto completo

Hagamos bootstrap de tres tipos a partir de tres bonos par (todos valorados a $100 par, cupones anuales).

Paso 1 — el spot a 1 año. El bono par a 1 año paga $104 en un año por $100 hoy:

Paso 2 — el spot a 2 años. El bono a 2 años paga $5 (año 1) y $105 (año 2):

El primer término es $4.808$, así que $\frac{105}{(1+z_2)^2} = 95.192$, dando $(1+z_2)^2 = 1.1030$ y $z_2 = 5.02\%$.

Paso 3 — el spot a 3 años. El bono a 3 años paga $6, $6, $106:

Los dos primeros términos son $5.769 + 5.439 = 11.208$, así que $\frac{106}{(1+z_3)^3} = 88.792$, dando $(1+z_3)^3 = 1.1938$ y $z_3 = 6.08\%$.

Fijaos en que la curva spot (4,00, 5,02, 6,08) se sienta por encima de la curva par/cupón (4, 5, 6) cuando la curva asciende — porque cada cupón par posterior estaba siendo “subvencionado” por el descuento temprano barato, y separarlo revela el verdadero tipo a largo horizonte, más alto.

Factores de descuento y no-arbitraje

La verdad más profunda. El bootstrapping realmente recupera un conjunto de factores de descuento $DF_1, DF_2, DF_3, \dots$ — el valor actual hoy de $1 entregado en cada fecha futura. Los tipos spot son solo factores de descuento disfrazados ($DF_t = (1+z_t)^{-t}$). Una vez que tenéis los factores de descuento, podéis valorar cualquier flujo de cajas — cualquier bono, swap o nota estructurada — multiplicando cada flujo por el factor de descuento de su fecha y sumando. La curva es un núcleo de valoración universal.

Por qué el no-arbitraje lo fuerza. Si dos instrumentos entregan el mismo flujo en la misma fecha pero implican factores de descuento distintos, podríais comprar el barato y vender el caro para un beneficio sin riesgo. Los mercados aplastan eso, así que un único conjunto consistente de factores de descuento debe valorar cada flujo libre de impago. El bootstrapping es cómo extraéis ese conjunto único de los precios observados.

Los matices prácticos

El bootstrapping real es más sucio que tres pulcros bonos par:

• Huecos e interpolación. Los bonos no existen en cada madurez, así que debéis interpolar la curva entre los puntos negociados — linealmente sobre los tipos spot, sobre los log-factores de descuento, o con splines. Distintas elecciones de interpolación dan tipos forward ligeramente distintos, lo que importa para los derivados.
• Calendario de cupones. Los cupones reales son semestrales y los bonos tienen fechas de liquidación raras, así que se hace bootstrap sobre las fechas reales de los flujos, no sobre años enteros pulcros.
• Elección de instrumentos. Los profesionales construyen el extremo corto con tipos del mercado monetario y futuros, y el largo con swaps o deuda pública — empalmando varios tipos de instrumento en una curva continua.
• Los errores se acumulan. Como la recursión reutiliza tipos anteriores, un bono mal valorado contamina cada tipo más largo por encima de él. La calidad limpia de los datos del extremo corto importa enormemente.

Cuándo usarlo

Hacéis bootstrap siempre que necesitéis descontar flujos correctamente entre madureces: valorar un bono a partir de la curva en vez de una única TIR, valorar un swap, marcar una cartera o — crucialmente — extraer los tipos forward que el mercado ha puesto en precio (la próxima lección). Cada vez que una única rentabilidad mezclaría flujos de horizontes distintos, recurrís a la curva spot construida. Es la capa de cimiento; casi todo lo cuantitativo en renta fija se sienta encima.

Recapitulando

Un bono no tiene una sola rentabilidad — cada uno de sus flujos vive en un horizonte distinto y gana un tipo spot distinto. Como los cupón cero rara vez cotizan a cada madurez, hacemos bootstrap de la curva spot a partir de los precios de bonos con cupón: empezamos en el extremo corto, donde el bono a 1 año os entrega $z_1$ directamente, y luego subimos, reutilizando cada tipo resuelto para separar el siguiente bono hasta una única incógnita. La salida es un conjunto de factores de descuento que — por no-arbitraje — valoran única y consistentemente cada flujo libre de impago. Cuidad los matices prácticos (interpolación, calendario de cupones, propagación de errores), y habréis construido la curva con la que opera todo el mercado.

A continuación — spot, forward y modelos de estructura temporal — usamos la curva spot para extraer los tipos forward que el mercado ha puesto en precio para periodos futuros, y luego echamos un primer vistazo cuantitativo a cómo evolucionan los propios tipos: los modelos de Vasicek y CIR con reversión a la media que tienden el puente hacia los procesos estocásticos.