Duración: Macaulay, Modificada y DV01

Podéis valorar un bono exactamente descontando cada flujo — pero si un trader pregunta “¿cuánto pierdo si las rentabilidades saltan 25 puntos básicos?”, revalorar todo el flujo es lento y no os da nada portable. La duración es la respuesta: un único número que captura la sensibilidad de un bono a los tipos de interés. Lleva tres disfraces estrechamente emparentados — la duración de Macaulay (un tiempo), la duración modificada (un porcentaje) y el DV01 (una cantidad en euros) — y una mesa cambia con fluidez entre los tres. Dominadlos y podréis dimensionar, comparar y cubrir el riesgo de tipos de cabeza.

Duración de Macaulay: el punto de equilibrio de los flujos

Analogía. Disponed los flujos de caja de un bono a lo largo de un eje de tiempo como pesitas — cada peso es el valor actual de ese pago. La duración de Macaulay es el punto de equilibrio de ese balancín: el único instante en el tiempo donde los pesos de los flujos se inclinan exactamente parejos. Los pequeños cupones tempranos se sientan cerca del fulcro; el gigantesco cupón-más-nominal final se sienta muy lejos, en el vencimiento, y arrastra el punto de equilibrio hacia él.

La definición. La duración de Macaulay es el tiempo medio hasta recibir los flujos del bono, ponderado por el valor actual:

donde $t_n$ es el instante (en años) del flujo $n$ y $P$ es el precio del bono. El denominador es solo el precio; el numerador pondera el tiempo de cada flujo por su valor actual. Se mide en años.

Ejemplo resuelto. Un bono a 3 años, cupón anual del 6%, $1.000, a una rentabilidad del 6% (así que valora al par, $1.000). Los flujos son $60, $60, $1.060.

El punto de equilibrio está en 2,83 años, no en 3 — los cupones tempranos lo tiran desde el vencimiento. Un bono cupón cero, sin cupones tempranos, se equilibraría exactamente en su vencimiento: su duración de Macaulay iguala su plazo.

Duración modificada: la sensibilidad porcentual del precio

Analogía. La duración de Macaulay os dice dónde se sienta el peso en el tiempo; la duración modificada lo traduce a la respuesta a la pregunta real del trader — “¿qué porcentaje se mueve mi precio por cada 1% de cambio en la rentabilidad?” Es la relación de dirección: girad el volante de la rentabilidad un grado, y la duración modificada os dice cuánto se desvía el precio.

La definición. La duración modificada ajusta la de Macaulay por un factor de la rentabilidad periódica:

y da el cambio porcentual de precio de primer orden para un pequeño movimiento de rentabilidad $\Delta y$:

El signo menos codifica el balancín: rentabilidades arriba, precio abajo. La duración modificada es un porcentaje por unidad de rentabilidad — normalmente cotizada como ”% por 1% (100 pb) de movimiento”.

Ejemplo resuelto. Nuestro bono a 3 años tenía $D_{\text{Mac}} = 2.83$ años e $y = 6\%$ anual ($m = 1$):

Así que si la rentabilidad sube 50 pb ($\Delta y = +0.005$):

Sobre un bono de $1.000 eso es una caída de unos $13,35. El bono ahora vale unos $986,65 — un número que obtuvisteis sin revalorar un solo flujo. Ese es el poder de la duración: riesgo de tipos instantáneo y portable.

DV01: el valor en euros de un punto básico

Analogía. La duración modificada habla en porcentajes, pero el P&L de una mesa va en euros. El DV01 — el valor en euros de un 01 (un punto básico) — convierte la duración en la única moneda que le importa a un P&L: cuántos euros ganáis o perdéis si la rentabilidad se mueve un solo punto básico (0,01%). Es la unidad atómica del riesgo de tipos en una mesa.

La definición. El DV01 (también llamado PV01 o la duración en euros de un punto básico) es

es decir, el movimiento porcentual de la duración modificada aplicado al precio en euros, escalado a un punto básico. Responde: “un punto básico, ¿cuántos euros?”

Ejemplo resuelto. Nuestro bono a 3 años: $D_{\text{mod}} = 2.67$ y un precio de $1.000 ($P = 1000$).

Por cada $1.000 de nominal, perdéis unos 26,7 céntimos por cada punto básico que suban las rentabilidades, es decir, $0,267. Ahora escaladlo: mantened $10 millones de este bono (10.000 de ellos) y el DV01 de vuestra cartera es $10{,}000 \times 0.267 = 2670$ — unos $2.670 por pb. Una venta de 25 pb os cuesta unos $25 \times 2{,}670 = 66{,}750$, es decir, $66.750. Ese es el número con el que un gestor de riesgos realmente opera.

Qué impulsa la duración: vencimiento, cupón y rentabilidad

Tres palancas mueven la duración de un bono, y una mesa las conoce dormida:

• Vencimiento ↑ → duración ↑. Los flujos se sientan más lejos, así que tanto el punto de equilibrio como la sensibilidad se estiran. Un bono a 30 años es mucho más sensible a los tipos que uno a 2 años.
• Cupón ↑ → duración ↓. Cupones mayores adelantan el valor, tirando el punto de equilibrio antes. Un bono de cupón alto recupera más de su valor antes, así que es menos sensible. El cupón cero es el extremo: sin cupones tempranos, la mayor duración para su vencimiento.
• Rentabilidad ↑ → duración ↓. Un tipo de descuento mayor encoge relativamente más los flujos lejanos, tirando el peso hacia el presente. Así que a medida que las rentabilidades suben, la duración cae modestamente.

Duración de cartera y los límites de la medida

La duración de cartera suma — por valor de mercado. La duración modificada de una cartera es la media ponderada por valor de mercado de las duraciones de sus bonos:

Ejemplo resuelto. $6M en un bono de duración 3 y $4M en un bono de duración 9. Los pesos son 0,6 y 0,4:

La cartera se comporta como un único bono de duración 5,4 — y su DV01 es solo la suma de los DV01 de los dos bonos. Esta aditividad es lo que convierte a la duración en la lengua franca del riesgo de tipos: podéis enrollar mil posiciones en un número.

Cuándo usar cuál

Recurrid a la duración de Macaulay cuando os importe el momento — emparejar un bono con una fecha de pasivo, o construir intuición sobre dónde se sienta el peso de un bono. Recurrid a la duración modificada para la sensibilidad porcentual y para comparar el riesgo de tipos entre bonos de distintos precios. Recurrid al DV01 cuando estéis en una mesa pensando en euros — dimensionar una cobertura, calcular el P&L de un movimiento de tipos, o agregar el riesgo de una cartera. Son tres dialectos de un idioma; la fluidez es cambiar sin pensar.

Recapitulando

La duración es el número más útil de la renta fija. La de Macaulay localiza el punto de equilibrio de los flujos de un bono en años; la modificada lo convierte en un movimiento porcentual de precio por unidad de rentabilidad ($\Delta P/P \approx -D_{\text{mod}}\Delta y$); y el DV01 lo cobra en euros por punto básico ($D_{\text{mod}} \cdot P \cdot 0.0001$). Un vencimiento más largo alarga la duración, cupones mayores y rentabilidades más altas la acortan, y la duración de cartera es solo una media ponderada por valor de mercado. La única advertencia — la duración es una aproximación en línea recta que se desvía para movimientos grandes — es justo el hueco que la convexidad llena a continuación.

A continuación — la convexidad — añadimos la curva de vuelta: el término de segundo orden que corrige la mentira en línea recta de la duración, por qué siempre trabaja a favor del tenedor, y cómo valorar dos bonos con duración idéntica pero distinta convexidad.