Un bono es un contrato que dice: “Préstame dinero hoy, y te pagaré importes fijos en un calendario fijo, y al final te devuelvo el principal.” Como cada flujo de caja se conoce de antemano, valorar un bono no es adivinar — es aritmética. Descontáis cada pago prometido a día de hoy y los sumáis. Ese es todo el motor de un mercado de billones, y una vez que sepáis ejecutarlo a mano, todo lo demás en renta fija — duración, convexidad, la curva de tipos, los diferenciales de crédito — es solo una elaboración sobre esta única idea.
Antes de leer, adivina
¿Qué es, en el fondo, el precio de un bono?
Un bono es un flujo de cajas
Analogía. Pensad en un bono como una máquina expendedora que os deja caer una moneda pequeña (el cupón) en la mano a intervalos regulares y luego — su último día — vuelca el bote entero (el valor nominal). Valorar la máquina significa preguntar: ¿cuánto vale ese flujo futuro de monedas ahora mismo?
La anatomía. Todo bono sencillo tiene cuatro parámetros:
- Valor nominal (par, ) — el principal devuelto al vencimiento, convencionalmente $1.000 o $100.
- Tipo de cupón () — un porcentaje anual del nominal que fija cada cupón. Un cupón del 5% sobre $1.000 paga $50 al año.
- Vencimiento () — cuándo vuelve el valor nominal.
- Frecuencia () — pagos por año. La mayoría de los bonos pagan semestralmente (), así que un cupón del 5% significa $25 cada seis meses.
- Cupón por pago
- $50
- Número de pagos
- 5
- Interés total recibido
- $250
- Pago final al vencimiento
- $1,050
Pequeños cupones gotean por el camino; la última barra es un último cupón apilado sobre el valor nominal que regresa. Arrastrad los deslizadores — esa última barra alta es lo que hace que un bono sea un bono.
El cupón periódico, con precisión
Cada cupón es el cupón anual dividido por la frecuencia: . Un bono del 6% sobre $1.000 de nominal que paga semestralmente paga , es decir, $30 cada seis meses. Acertad esto y el resto de las matemáticas encaja; equivocaos y todos los números posteriores — rentabilidad, duración, todo — heredan el error.
Descontar: un dólar futuro vale menos hoy
Analogía. Un dólar prometido dentro de cinco años es como un amigo que jura que os lo devolverá. Aunque os fiéis del todo, preferiríais el dinero ahora — podríais invertirlo, y la inflación se come el resto. Descontar es el tipo de cambio entre los dólares futuros y los de hoy.
El mecanismo. Un flujo que llega dentro de periodos, descontado a un tipo periódico , vale
Cuanto más lejos esté el flujo ( mayor) o más empinado el tipo ( mayor), más encoge el valor actual. Esta caída es el latido de todas las matemáticas de renta fija.
- Valor actual
- $215
- Céntimos por dólar
- 21¢
Un dólar muy lejos en el futuro, descontado, vale céntimos hoy — y un tipo de descuento mayor acelera la caída. Cada flujo de un bono cabalga sobre una de estas curvas.
Pensad primero
Un bono os paga $1.000 dentro de exactamente 10 años. A un tipo de descuento anual del 5%, ¿su valor actual está más cerca de $600 o de $950?
Pista: Usad 1000 / (1,05)^10. Notad que 1,05^10 ≈ 1,629.
La fórmula de valoración del bono
La idea. Valorad todo el bono descontando cada flujo de caja al tipo de mercado y sumándolos. Con periodos totales, cupón periódico , y rentabilidad periódica :
El primer bloque es una renta (los cupones); el segundo es un único pago único descontado (el nominal). La renta tiene forma cerrada, que os ahorra sumar términos a mano:
Ejemplo resuelto. Valorad un bono a 3 años, cupón anual del 6%, $1.000, cuando el tipo de mercado es el 5%. Aquí el cupón periódico es $60 (), el nominal es $1.000 (), e .
| Año | Flujo de caja | Factor de descuento | Valor actual |
|---|---|---|---|
| 1 | $60 | 0,95238 | $57,14 |
| 2 | $60 | 0,90703 | $54,42 |
| 3 | $1.060 | 0,86384 | $915,67 |
| Total | $1.027,23 |
Así que el bono vale unos $1.027,23. Fijaos en que el flujo del tercer año ($1.060, porque el nominal viaja junto al último cupón) domina el precio. Comprobación con la forma cerrada: el término de renta es , y el término del nominal es ; juntos — unos $1.027,23. ✓
En el bono al 6% a 3 años de arriba, valorado a una rentabilidad del 5%, ¿por qué está el precio POR ENCIMA del par ($1.000)?
Rentabilidad al vencimiento: la tasa interna de retorno del bono
Analogía. Precio y rentabilidad son dos caras de la misma moneda, como la temperatura en Celsius y Fahrenheit — un número, dos idiomas. Cotizad un precio y habéis cotizado implícitamente una rentabilidad; cotizad una rentabilidad y habéis clavado el precio. La rentabilidad al vencimiento (TIR o YTM) es el único tipo de descuento que iguala el valor actual de todos los flujos al precio de mercado del bono.
La definición precisa. La TIR es la que resuelve
Es la tasa interna de retorno del bono si lo compráis al precio , lo mantenéis hasta el vencimiento y reinvertís cada cupón a ese mismo tipo . No hay solución algebraica limpia para (está enterrada en potencias), así que en la práctica se resuelve numéricamente — por prueba y error, o con un solucionador que hace la búsqueda por vosotros.
El supuesto de reinversión de la TIR
La TIR asume silenciosamente que podéis reinvertir cada cupón a la propia TIR. Si los tipos de reinversión resultan más bajos (un mundo de tipos a la baja), vuestro rendimiento realizado se queda corto frente a la TIR cotizada; si más altos, la batís. Esto es el riesgo de reinversión, y por eso una rentabilidad cotizada es una promesa sobre un escenario, no una garantía. Un bono cupón cero — sin cupones que reinvertir — es el único instrumento cuyo rendimiento mantenido hasta el vencimiento iguala exactamente su TIR.
Completad las relaciones entre tipo de cupón, rentabilidad y precio.
Pick the right option for each blank, then check.
Cuando el tipo de cupón de un bono es MAYOR que su rentabilidad, el bono cotiza con (por encima del par). Cuando el tipo de cupón es MENOR que la rentabilidad, cotiza con . Y cuando el tipo de cupón iguala exactamente a la rentabilidad, cotiza a la .
Precio y rentabilidad se mueven en sentidos opuestos
Analogía. Imaginad un balancín: la rentabilidad en un lado, el precio en el otro. Subid la rentabilidad y el precio cae; bajadla y el precio sube. Nunca pueden subir juntos — están rígidamente anticorrelacionados. La razón es mecánica: una rentabilidad mayor significa un divisor más grande en cada término de descuento, así que cada valor actual encoge, así que el precio cae.
Por qué no es una recta. La relación precio–rentabilidad no solo cae — es convexa, abombándose hacia el origen. A medida que las rentabilidades suben, el precio cae pero a un ritmo decreciente; cuando caen, el precio sube a un ritmo creciente. Esa curvatura es la convexidad, y tiene valor real para el tenedor (una lección entera le está dedicada). Por ahora, interiorizad la forma.
- Precio
- 100.00%
- $1,000.00
- Rentabilidad de mercado
- 5.0%
- Rentabilidad corriente
- 5.00%
New bonds yield 5.0%, matching your 5% coupon — so your bond trades at par.
Arrastrad la rentabilidad de mercado. El precio cae cuando la rentabilidad sube — pero por una curva que se abomba, no una rampa recta. Por encima del par es prima, por debajo descuento. El cruce está exactamente donde la rentabilidad iguala al cupón.
Ejemplo resuelto — sentid el balancín. Tomad un bono a 10 años, cupón anual del 5%, $1.000.
| Rentabilidad de mercado | Precio aprox. | Estado |
|---|---|---|
| 3% | $1.170,60 | Prima |
| 5% | $1.000,00 | Par |
| 7% | $859,53 | Descuento |
Una caída de 2 puntos de rentabilidad (5%→3%) gana $170,60, pero una subida de 2 puntos (5%→7%) pierde solo $140,47. La ganancia bate a la pérdida para un movimiento igual y opuesto de rentabilidad — esa asimetría es la convexidad trabajando a favor del tenedor.
Las rentabilidades de mercado caen con fuerza de la noche a la mañana. ¿Qué le pasa al precio de un bono existente de cupón fijo?
Precio limpio frente a sucio e interés devengado
Analogía. Comprad un bono a mitad de camino entre fechas de cupón y habéis estado sentados en el asiento mientras el interés se acumulaba — el vendedor ganó parte del próximo cupón y se lo merece. El interés devengado es esa porción prorrateada que reembolsáis al vendedor.
Los dos precios.
- Precio sucio (precio de factura) — lo que realmente pagáis: el valor actual completo, incluyendo el interés devengado desde el último cupón.
- Precio limpio (precio cotizado) — lo que se cotiza en las pantallas: el precio sucio menos el interés devengado, para que el número no suba y baje en diente de sierra entre cupones.
Ejemplo resuelto. Un bono paga un cupón semestral de $30, y 60 de los 182 días del periodo actual han transcurrido. El interés devengado es , es decir, $9,89. Si el precio limpio (cotizado) es $980,00, realmente pagáis un precio sucio de — $989,89.
Emparejad cada término de valoración de bonos con su significado preciso.
Pick a term, then click its definition.
Cuándo recurrir a la valoración completa frente a un atajo
La valoración completa por valor actual es la verdad de base — la usáis siempre que necesitéis un número exacto: liquidar una operación, valorar una cartera a mercado o calcular el precio sucio para una factura. Pero para preguntas de sensibilidad — “¿cuánto se mueve mi precio si las rentabilidades saltan 10 puntos básicos?” — descontar de nuevo cada flujo es excesivo. Ahí entran la duración y la convexidad (las dos próximas lecciones): aproximaciones lineal y cuadrática que responden a las preguntas de riesgo de tipos al instante sin revalorar todo el flujo. La valoración completa os dice dónde estáis; la duración y la convexidad, con qué rapidez os moveréis.
Un bono cupón cero tiene un nominal de $1.000 y vence en 5 años. A una rentabilidad anual del 4%, su precio está más cerca de:
Recapitulando
El precio de un bono no es nada más — ni nada menos — que el valor actual de sus flujos de caja prometidos descontados al tipo de mercado. La rentabilidad al vencimiento es la vista inversa: el único tipo que hace que ese valor actual iguale al precio, y la TIR del bono bajo un supuesto de reinversión. Cupón por encima de la rentabilidad compra una prima, por debajo un descuento, igual a la rentabilidad exactamente el par. Precio y rentabilidad cabalgan un balancín convexo — sentidos opuestos, con una curvatura que favorece silenciosamente al tenedor. Y la separación limpio/sucio mantiene ordenadas las cotizaciones mientras la factura dice la verdad. Todo lo demás en renta fija se construye sobre este cimiento.
Big picture
Valoración de bonos — todo el motor
- Valoración de Bonos
- Flujos de caja
- Cupones: c·F/m cada periodo
- Valor nominal F al vencimiento
- N = m·T periodos totales
- Fórmula de valoración
- P = Σ C/(1+y)ⁿ + F/(1+y)ᴺ
- Renta (cupones) + pago único (nominal)
- La forma cerrada evita sumar a mano
- Rentabilidad al vencimiento
- El tipo que hace VA = precio
- La TIR del bono
- Asume cupones reinvertidos a la TIR
- Se resuelve numéricamente
- Vínculo precio–rentabilidad
- Sentidos opuestos (balancín)
- Convexo, no recto
- Cupón > rentabilidad → prima
- Cupón < rentabilidad → descuento
- Limpio frente a sucio
- Sucio = limpio + devengado
- El limpio se cotiza; el sucio se paga
- Devengado = C·(días/periodo)
- Flujos de caja
Repaso: matemáticas de valoración de bonos
Un bono a 2 años, cupón anual del 4%, $1.000, valorado a una rentabilidad del 4%. Su precio es:
Check your answer to continue.
A continuación — la duración — dejamos de revalorar todo el flujo de cajas y medimos directamente la sensibilidad a los tipos de un bono: la duración de Macaulay como el punto de equilibrio de los flujos, la duración modificada como el movimiento porcentual del precio por temblor de rentabilidad, y el DV01 como la sangría en euros por punto básico.