Convexidad

La duración es una mentirosa fabulosa. Para temblores diminutos de rentabilidad acierta de pleno, pero la relación precio–rentabilidad es una curva, y la duración es una recta que finge ser esa curva. El hueco entre la recta y la curva tiene nombre — convexidad — y lejos de ser un molesto término de error, es un regalo: la convexidad siempre trabaja a favor del bonista, haciendo las pérdidas más pequeñas y las ganancias más grandes de lo que la duración sola predice. Esta lección convierte ese hueco en un número, lo pliega en una fórmula de precio más afilada, y muestra por qué dos bonos con duración idéntica pueden ser animales muy distintos.

La convexidad es la curva que la duración ignora

Analogía. La duración es como estimar la altura de una colina caminando la recta tangente a vuestros pies — bien para el siguiente paso, pero la colina se curva y vuestra estimación recta se desvía. La convexidad mide cuánto se curva la colina. Para un bono, la curva precio–rentabilidad se abomba hacia arriba (hacia el origen), así que el precio real siempre se sienta por encima de la recta tangente de la duración — y “por encima” significa “mejor para vosotros” en ambos lados.

Por qué es favorable. Mirad la curva frente a su tangente:

• Las rentabilidades suben → la curva cae menos empinada que la tangente → vuestra pérdida real es menor de lo que la duración predijo.
• Las rentabilidades caen → la curva sube más empinada que la tangente → vuestra ganancia real es mayor de lo que la duración predijo.

En ambos casos la curva bate a la recta. Por eso los traders dicen “la convexidad es buena” — es una mejora gratis sobre la estimación de la duración, y es el tenedor quien se la embolsa.

Medir la convexidad

La definición. La convexidad es la segunda derivada del precio respecto a la rentabilidad, escalada por el precio — el ritmo al que la propia duración cambia cuando las rentabilidades se mueven:

No os asuste la fórmula — operativamente, la convexidad pondera cada flujo por aproximadamente el cuadrado de su tiempo, así que los flujos lejanos dominan aún más de lo que dominan en la duración. Por eso los bonos de vencimiento largo y cupón bajo tienen la mayor convexidad: su peso se sienta muy lejos, donde el término $n(n+1)$ explota.

Los impulsores (la misma familia que la duración, amplificados):

• Vencimiento más largo → más convexidad (flujos lejanos, ponderación por tiempo al cuadrado).
• Cupón más bajo → más convexidad (menos peso temprano tirando la curva recta).
• Rentabilidad más baja → más convexidad (los flujos lejanos encogen menos, así que dominan).

La aproximación completa de precio: duración + convexidad

La idea. Tomad la estimación lineal de la duración y atornillad un término de curvatura. La expansión de Taylor de segundo orden de la relación precio–rentabilidad da:

El término de convexidad tiene dos propiedades hermosas: está multiplicado por $(\Delta y)^2$, que es siempre positivo sea cual sea el signo de $\Delta y$, así que siempre suma al cambio de precio. Esa es la afirmación matemática de “la convexidad es buena”. Y como está al cuadrado, es despreciable para movimientos pequeños pero golpea fuerte para los grandes — justo donde la duración necesita la ayuda.

Ejemplo resuelto. Un bono con $D_{\text{mod}} = 7$ y convexidad $C = 100$. Las rentabilidades suben 200 pb ($\Delta y = +0.02$):

• Término de duración: $-7 \times 0.02 = -0.14 = -14.00\%$.
• Término de convexidad: $\tfrac{1}{2} \times 100 \times (0.02)^2 = \tfrac{1}{2}\times100\times0.0004 = +0.02 = +2.00\%$.
• Estimación total: $-14.00\% + 2.00\% = -12.00\%$.

La duración sola gritaba una pérdida del 14%; la corrección de convexidad la suaviza a un 12%. En una caída de 200 pb, el término de duración da +14%, y el de convexidad es aún +2% (porque $(\Delta y)^2$ es positivo), para un total de +16%. Mismo movimiento en magnitud, pero la ganancia (16%) bate a la pérdida (12%) — la asimetría de la convexidad, cuantificada.

Dos bonos, misma duración, distinta convexidad

La barra frente a la bala. Supongamos que debéis construir una cartera con una duración objetivo de, digamos, 7. Podéis hacerlo de dos maneras:

• Una bala (bullet) — un único bono de duración 7.
• Una barra (barbell) — una mezcla de un bono corto (duración 2) y uno largo (duración 15), ponderados para promediar duración 7.

Ambas tienen la misma duración, así que reaccionan idénticamente a movimientos pequeños y paralelos. Pero la barra tiene más convexidad — sus flujos se reparten a los extremos, y la convexidad premia la dispersión. Para movimientos grandes o no paralelos, la barra rinde mejor. La pega: el mercado lo sabe, así que la barra normalmente ofrece una rentabilidad más baja — pagáis por la convexidad en cesión. No hay comida gratis de convexidad.

Convexidad negativa: cuando el regalo se retira

Analogía. La mayoría de los bonos son como una cama elástica que bota a vuestro favor. Pero un bono rescatable (o un valor respaldado por hipotecas, MBS) es una cama elástica con trampilla: cuando las rentabilidades caen lo suficiente, el emisor rescata el bono (refinancia) y os arrebata el recorrido alcista del precio. Así que en vez de subir el precio más rápido cuando las rentabilidades caen, se aplana o se dobla hacia abajo — la curva se vuelve cóncava ahí. Esto es la convexidad negativa, y es mala para el tenedor: os quedáis con la bajada (rentabilidades arriba → precio abajo) pero perdéis la subida (rentabilidades abajo → precio limitado).

Por qué pasa. La opción de rescate del emisor está corta para vosotros. Cuando los tipos caen y refinanciar se vuelve atractivo, esa opción entra en el dinero — para el emisor. El precio del bono no puede trepar por encima del precio de rescate, así que la curva precio–rentabilidad se limita y se dobla al revés. Las prepagaciones hipotecarias hacen lo mismo: los hogares refinancian cuando los tipos caen, devolviéndoos el principal justo cuando menos os gustaría (reinvertir a los nuevos tipos, más bajos).

Cuándo usarla

Encabezad con la duración para el riesgo de tipos cotidiano; es el número titular y es preciso para los movimientos pequeños que dominan el P&L diario. Añadid la convexidad cuando enfrentéis movimientos grandes (escenarios de estrés, sacudidas de tipos), cuando mantengáis bonos de largo plazo cuya curvatura sea material, o cuando elijáis entre dos estructuras de la misma duración y la convexidad sea el desempate. Y señalad siempre la convexidad negativa — rescatables, MBS — porque ahí la intuición habitual de “la convexidad es buena” se invierte, y una cobertura de duración ingenua puede estallar justo cuando los tipos repuntan.

Recapitulando

La convexidad es la curvatura que la duración ignora. La verdadera curva precio–rentabilidad se abomba por encima de la tangente de la duración, así que la duración sobreestima pérdidas y subestima ganancias — y la convexidad cuantifica ese hueco siempre favorable vía el término $\tfrac{1}{2}C(\Delta y)^2$, que es positivo para cualquier movimiento y crece con su cuadrado. Los bonos de largo plazo y cupón bajo cargan la mayor convexidad; las barras superan en convexidad a las balas de la misma duración (a costa de rentabilidad); y los rescatables/MBS dan un giro a convexidad negativa, donde la opción del emisor limita vuestra subida. Para movimientos pequeños, embolsad la convexidad como bonus; para sacudidas y bonos largos, es esencial.

A continuación — la construcción de la curva de tipos — dejamos de tratar “la rentabilidad” como un número y construimos la curva entera: separando los bonos con cupón en tipos cupón cero (spot) puros, una madurez a la vez, por no-arbitraje.