Medir la exposición: EE, EPE y PFE

En la lección anterior aprendisteis la definición en una frase del riesgo de contraparte: cuando una operación vale dinero para vosotros y vuestra contraparte impaga, perdéis ese dinero — y la exposición es $\max(\text{valor}, 0)$, respirando a medida que el mercado se mueve. Eso es el qué. Esta lección es el cuánto. Porque “puede que no paguen” es inútil para una mesa de riesgos hasta que tiene un número, y la exposición no es un solo número — es toda una distribución que se estira hacia el futuro. Al terminar sabréis leer un perfil de exposición como un médico lee un electrocardiograma: la pulcra joroba del swap, el ascenso implacable del forward de divisas, y la línea plana que el colateral traza a través de ambos. Pongámosle números al miedo.

La exposición es coste de reposición: max(valor, 0)

Analogía. Una operación con una contraparte es una reforma de casa a medio terminar con un contratista. Si habéis pagado por adelantado y ellos han hecho poco del trabajo — el trato está “in the money” para vosotros — y desaparecen, os quedáis sin el dinero: tenéis que contratar a otro para terminar, a los precios de hoy. Ese coste de volver a contratar es vuestra pérdida. Pero si sois vosotros quienes aún les debéis a ellos por el trabajo ya hecho y desaparecen, no perdéis nada con su desaparición — simplemente… seguís debiendo la factura. La pérdida solo fluye en un sentido: hacia quien sea el acreedor.

La definición precisa. La exposición es coste de reposición: si vuestra contraparte impaga ahora mismo, ¿cuánto cuesta reponer la operación a mercado? Si la operación vale $+V$ para vosotros, tenéis que ir a reestablecerla con alguien solvente y pagar $V$ para hacerlo — esa es vuestra pérdida. Si vale $-V$ para vosotros (estáis bajo el agua con ella), reponerla en realidad os libera, así que el impago no os cuesta nada. De ahí la fórmula unilateral que conocisteis la lección pasada:

$\text{Exposición} = \max(V, 0)$

El valor $V$ de la operación es bilateral — oscila positivo y negativo a medida que los mercados se mueven. Pero vuestra exposición es unilateral — solo cuenta la parte positiva. Esa asimetría es la razón entera de que el riesgo de contraparte sea difícil: os coméis el caso malo (impagan cuando os deben a vosotros) y no recibís crédito por el caso bueno (impagan cuando vosotros les debéis a ellos — seguís pagando).

Ejemplo desarrollado. Un swap de tipos de interés, dos instantáneas:

En la primera fila os deben $2m, así que el impago os cuesta $2m. En la segunda debéis $2m, así que su impago es — sin rodeos — no es vuestro problema; seguís teniendo que liquidar. Mismo swap, misma magnitud de $2m, dos exposiciones completamente distintas, porque el $\max(\cdot,0)$ recorta la mitad en la que sois el deudor.

Exposición actual frente a exposición potencial futura

La definición. Dividid la exposición en dos preguntas: cuánto ahora y cuánto podría llegar a ser.

La exposición actual (CE) es la fácil — es simplemente $\max(\text{MtM ahora}, 0)$. Podéis leer vuestros marks en la pantalla, tomar la parte positiva, y listo. Es conocida, determinista, sin modelado.

La parte difícil e interesante es la exposición potencial futura. El impago casi nunca es hoy — es un evento futuro, que aterriza semanas, meses o años después. Entre ahora y entonces el mark de la operación vagabundea, y para cuando la contraparte de verdad se pliegue, la exposición podría ser mucho mayor de lo que es ahora. Así que no nos vale una foto. Tenemos que modelar la distribución entera de la exposición futura en cada fecha futura: simular miles de trayectorias de mercado, revalorar la operación a lo largo de cada una, tomar $\max(V,0)$ en cada paso, y mirar el reparto de resultados.

Ejemplo desarrollado. Un swap es $\max(V,0) = 2$, es decir, $2m, hoy. Lo simulamos un año hacia delante y obtenemos una distribución de exposiciones posibles: la mayoría de trayectorias se agrupan cerca de $2–3m, pero una cola gorda llega a $6m, y algunas trayectorias lo dejan sin valor (el mark se volvió negativo, la exposición recortada a $0). La exposición actual es un plano $2m. La exposición futura es ese abanico entero de resultados — y el riesgo que os muerde es si la contraparte impaga en una trayectoria alta o baja. Una foto no puede deciros eso; una distribución sí.

Exposición esperada (EE) y EPE

La definición. La exposición esperada $EE(t)$ es la exposición media en un tiempo futuro $t$ — en concreto, la media de la parte positiva del valor a lo largo de la distribución simulada:

$EE(t) = \mathbb{E}\big[\max(V_t, 0)\big]$

El orden de las operaciones lo es todo. Recortáis primero (tomáis $\max(V,0)$ en cada trayectoria, convirtiendo cada negativo en un cero) y promediáis después. Hacedlo al revés — promediar $V$ primero, luego recortar — y las trayectorias negativas cancelan la exposición positiva de otras trayectorias, dejándoos con un número que infravalora gravemente el riesgo. Recortad, luego promediad.

El ejemplo desarrollado. Olvidad las miles de trayectorias; haced tres a mano. En el tiempo $t = 1\text{ año}$, tres valores simulados para una operación:

Recortad primero: las exposiciones son $6m, $0, $3m. Promediad después (en $m):

$EE(1\,\text{año}) = \frac{6 + 0 + 3}{3} = 3.$

Así que la exposición esperada a un año es $3m.

Ahora mirad lo que hace el orden equivocado. Promediad los valores brutos: $(6 - 2 + 3)/3 = 2.33$, es decir, $2.33m — el negativo de la trayectoria B se coló y redujo la respuesta, aunque una contraparte que impaga en la trayectoria B no os cuesta nada (les debéis a ellos). Los $2.33m infravaloran la exposición real de $3m. Recortad, luego promediad. Siempre.

EPE — aplastar la curva a un número. $EE(t)$ es una curva — un valor por cada fecha futura. La exposición positiva esperada (EPE) aplana esa curva en un único resumen promediando $EE(t)$ a lo largo de la vida de la operación:

$\text{EPE} = \frac{1}{T}\int_0^T EE(t)\,dt \;\approx\; \text{la media temporal del perfil de EE.}$

Si $EE$ marca $2m, $3m, $3m, $2m, $0 a lo largo de cinco puntos anuales, la EPE es aproximadamente su media, unos $2m. La EPE es la “exposición típica a lo largo de toda la vida” — y, como veréis, es el número estrella que alimenta la valoración (el CVA que conoceréis dentro de dos lecciones).

Exposición potencial futura (PFE)

La definición. La exposición potencial futura (PFE) responde a una pregunta distinta de la EE. La EE pregunta “de media, ¿cuán expuesto estoy?”. La PFE pregunta “en un caso plausiblemente malo, ¿cuán expuesto podría llegar a estar?”. Es un cuantil alto de la distribución de exposición en un horizonte — típicamente el percentil 95 o 97,5. Ni el peor caso (eso es ilimitado e inútil), ni la media (eso es la EE) — el caso malo-pero-creíble, esa clase de número por encima del cual os daría vergüenza que os pillaran.

Por qué un cuantil, no un máximo. La única peor trayectoria simulada es ruido — un sorteo extremo no os dice nada accionable. El percentil 95 dice: “solo 1 trayectoria de cada 20 es peor que esta”. Esa es una línea que podéis gestionar. La PFE es el número de holgura: es sobre lo que se construyen los límites de crédito. Una mesa recibe un límite de PFE por contraparte, y si una operación nueva empujara el perfil de PFE por encima de esa línea, la operación se bloquea o necesita más colateral.

Ejemplo desarrollado. En un horizonte de un año, ordenad las exposiciones simuladas de menor a mayor. Digamos que salen 20 trayectorias representativas (en $m):

$0,\ 0,\ 0,\ 0.5,\ 1,\ 1,\ 1.5,\ 2,\ 2,\ 2.5,\ 3,\ 3,\ 3.5,\ 4,\ 4.5,\ 5,\ 5.5,\ 6,\ 7,\ 9.$

La media de estas es la EE — calculadla y son unos $3.1m. El percentil 95 se sitúa cerca de lo más alto: con 20 puntos, el percentil 95 está alrededor del valor 19, así que $\text{PFE}_{95\%} \approx 7$, es decir, $7m. Fijaos en la brecha: la EE es $3.1m pero la PFE es $7m — más del doble. Esa brecha es el quid de todo. Valoráis la operación a partir de los $3.1m (el dolor medio), pero limitáis a la contraparte a partir de los $7m (el día malo plausible). Confundid las dos y o bien valoraréis mal o bien acotaréis de menos.

La forma de la exposición: difusión frente a amortización

Las dos fuerzas. ¿Por qué un perfil de exposición tiene siquiera una forma? Dos fuerzas tiran en direcciones opuestas a lo largo de la vida de una operación:

• Difusión (empuja la exposición HACIA ARRIBA). Cuanto más hacia el futuro miréis, más podría haberse movido el subyacente, y esa incertidumbre crece aproximadamente como $\sqrt{t}$ — el mismo ensanchamiento por raíz cuadrada del tiempo que habéis visto en el escalado de la volatilidad. Más dispersión en el mark significa una cola positiva más gorda, significa más exposición. La difusión por sí sola haría que la exposición subiera para siempre.
• Amortización (tira de la exposición HACIA ABAJO). Pero las operaciones no duran para siempre, y muchas se van saldando sobre la marcha. Cada cupón o liquidación de un swap es un flujo de caja más intercambiado y desaparecido — dejando menos valor restante que reponer si la contraparte impaga después. A medida que se acerca el vencimiento, queda casi nada, así que la exposición debe colapsar a cero al vencimiento.

El swap de tipos de interés: una joroba. Un swap siente ambas fuerzas. Al principio de su vida, la difusión domina — la incertidumbre se acumula más rápido de lo que se amortizan los flujos de caja — así que la exposición sube. Más tarde, el swap ha saldado la mayoría de sus flujos, la amortización toma el mando, y la exposición cae de vuelta a cero al vencimiento. El resultado es la joroba característica del swap, con su pico aproximadamente a un tercio del camino de la vida. (Ese $1/3$ no es folclore: para el proxy simple $\sqrt{u}\,(1-u)$, el máximo está exactamente en $u = 1/3$.)

El forward de divisas: un ascenso monótono. Ahora quitad la amortización. Un forward de divisas tiene un único intercambio de monedas al vencimiento — sin flujos de caja intermedios, nada que se salde por el camino. Así que la amortización nunca llega a actuar. Solo queda la difusión, y la difusión solo empuja hacia arriba. Por tanto, la exposición sube de forma monótona, máxima en el último día, cuando la incertidumbre acumulada sobre el tipo de cambio está en su máximo y el nocional entero está a punto de cambiar de manos. La misma familia de matemáticas, forma opuesta — y la diferencia es enteramente “¿se salda esta operación por el camino, o todo aterriza al final?”.

La isla de abajo os deja alternar entre las dos y ver cómo las formas divergen. Los valores por defecto abren en la joroba del swap; cambiad al forward de divisas y ved cómo la curva se endereza en un ascenso.

De un perfil a un solo número

De una curva a un escalar. Ya tenéis un perfil entero — la EE en cada fecha futura, una banda de PFE, una forma impulsada por la difusión y la amortización. Precioso, pero una fórmula de capital no puede comerse una curva; quiere un número. Así que el último movimiento es colapsar el perfil en un único resumen regulatorio.

El puente es la familia de la exposición esperada que ya conocéis. Empezad con la EPE (la media temporal de la EE). Los reguladores la retocan hasta convertirla en EPE efectiva — esencialmente la EPE calculada sobre una versión no decreciente del perfil de EE, de modo que la medida de exposición de una operación no pueda caer solo porque la siguiente operación aún no se ha añadido (impide que los bancos hagan trampa con el roll-off). Luego escaladla por un multiplicador regulatorio (la famosa alfa, $\approx 1.4$) para obtener la exposición en caso de impago (EAD) — la única cifra que alimenta la carga de capital.

No estamos derivando eso aquí — la maquinaria completa de SA-CCR que calcula la EAD tiene su propia lección más adelante en este curso. Por ahora, basta con tener la cadena en la cabeza: simular → perfil de EE → EPE → EPE efectiva → × alfa → EAD → capital. Cada casilla de esa cadena es una forma de exprimir el mismo objeto subyacente — la distribución de $\max(V,0)$ a lo largo del tiempo — hasta la forma que necesite el siguiente consumidor: una curva para la intuición, una media para la valoración, un cuantil para los límites, un único escalar para el capital.

Poniéndolo todo junto

La exposición es coste de reposición — $\max(V,0)$ — y es brutalmente unilateral: el valor oscila en ambos sentidos, pero solo perdéis cuando la contraparte os debe a vosotros. La exposición actual es la foto conocida de hoy; el riesgo real es la exposición potencial futura, porque el impago aterriza después, cuando el mark puede haber vagabundeado mucho más alto, así que modelamos la distribución futura entera. De esa distribución leemos dos estadísticos estrella: la exposición esperada $EE(t)$, la media de $\max(V_t,0)$ — recortad cada trayectoria primero, promediad después — cuya media temporal EPE alimenta la valoración (CVA); y la exposición potencial futura, un cuantil alto (percentil 95/97,5), que alimenta los límites de crédito. La forma del perfil es un tira y afloja: difusión (incertidumbre ~$\sqrt{t}$, empujando hacia arriba) frente a amortización (flujos de caja liquidándose, tirando hacia abajo). Un swap siente ambas y forma una joroba que alcanza su pico aproximadamente a un tercio del camino, y luego vuelve a cero al vencimiento; un forward de divisas no tiene amortización y asciende de forma monótona hasta un pico al vencimiento. Y para alimentar el capital, la misma distribución colapsa una última vez — EPE → EPE efectiva → × alfa → EAD — un único número que espera en la lección de SA-CCR que tenemos por delante.

A continuación — Neteo y colateral — esa banda fina que visteis al marcar la casilla de colateral no era un error de redondeo. Es la palanca más poderosa de todo el riesgo de contraparte: acuerdos de neteo que dejan cancelarse a las operaciones que se compensan, y CSAs que exigen margen a medida que el mark se mueve. Mostraremos cómo encogen esas jorobas y ascensos hasta casi nada — y exactamente cuánto es “casi”.