Variance swaps y vol swaps

Ya conocéis la diferencia entre volatilidad realizada e implícita, y os movéis con soltura entre las griegas. Así que aquí va la pregunta natural que viene después: si tenéis una visión sobre la volatilidad — pensáis que el mercado será más salvaje, o más tranquilo, de lo que el mercado de opciones está descontando — ¿cómo apostáis de verdad por ello? La respuesta obvia (“comprar un straddle”) resulta ser una forma sorprendentemente torpe de negociar vol, por razones que vamos a desmontar en un segundo. La respuesta limpia es un contrato que os paga la diferencia entre la volatilidad que de verdad ocurre y un número que pactáis hoy — sin delta, sin gamma, sin cuidados constantes. Conoced el variance swap y a su primo el vol swap.

¿Por qué un swap para negociar volatilidad?

El problema con las opciones. Digamos que queréis apostar puramente por cuánto se mueve el mercado, sin importar la dirección. Vuestro primer instinto son las opciones — comprar un straddle (una call más una put), que gana con los movimientos grandes en cualquier sentido. Razonable, pero engorroso. En cuanto el subyacente se aparta del strike, vuestro straddle echa una delta: empieza a importarle hacia dónde va el mercado, no solo cuánto. Para mantenerlo como una apuesta limpia de volatilidad tenéis que delta-hedgear continuamente — operar el subyacente una y otra vez para neutralizar esa deriva. Eso es caro, operativamente molesto, y vuestro beneficio final acaba siendo dependiente de la trayectoria: depende de cuándo ocurrieron los movimientos y a qué nivel de spot, no simplemente de lo volátil que fue el periodo. Dos meses con volatilidad realizada idéntica pueden entregar a un straddle delta-hedgeado P&L radicalmente distintos. Como instrumento de vol, tiene fugas.

El arreglo: negociar vol con un contrato forward. Un variance swap (y su pariente más sencillo el vol swap) es un contrato forward over-the-counter (OTC) cuyo payoff está atado directamente a la volatilidad realizada, sin delta que gestionar. No cubrís nada. Al vencimiento comparáis la volatilidad que de verdad ocurrió contra un strike fijado al principio, y liquidáis en efectivo la diferencia. Es la apuesta de vol más pura del menú — exactamente el “tiro limpio” que el straddle no os puede dar.

Un vol swap es el intuitivo. Su payoff es lineal en la volatilidad realizada:

$\text{payoff}_{\text{vol}} = N_{\text{vega}}\left(\sigma_{\text{realized}} - K_{\text{vol}}\right)$

Aquí $\sigma_{\text{realized}}$ es la volatilidad que el subyacente de verdad imprimió a lo largo de la vida del swap (en puntos de vol, p. ej. 18 significa 18%), $K_{\text{vol}}$ es la volatilidad strike pactada al inicio, y $N_{\text{vega}}$ es el vega notional — los dólares que ganáis por cada punto de vol que la realizada bata al strike. Largos del swap, la realizada llega 3 puntos por encima del strike, os embolsáis $3 \times N_{\text{vega}}$.

Un variance swap hace lo mismo pero sobre la varianza — la volatilidad al cuadrado:

$\text{payoff}_{\text{var}} = N_{\text{var}}\left(\sigma_{\text{realized}}^2 - K^2\right)$

donde $K$ es la vol strike, así que la varianza strike es $K^2$, y $N_{\text{var}}$ es el variance notional — los dólares por cada punto de varianza (unidad de $\text{vol}^2$) de diferencia. Ese pequeño cuadrado es toda la personalidad del producto, como veremos.

Como los traders piensan en puntos de vol pero el contrato paga en puntos de varianza, los dealers cotizan el tamaño de un variance swap igualmente en vega notional y convierten. El puente estándar entre los dos nocionales es:

$N_{\text{vega}} = N_{\text{var}} \times 2 K_{\text{vol}}$

El factor $2K_{\text{vol}}$ es simplemente la pendiente de $\sigma^2$ en el strike (la derivada de $\sigma^2$ es $2\sigma$). Significa: cerca del strike, un variance swap se comporta como un vol swap con ese vega notional. Lejos del strike, el cuadrado toma el mando — y ahí es donde está la magia.

Liquidación resuelta: hagamos los números

Liquidemos un ticket de verdad. Hacemos un variance swap struck en 20 (así que la vol strike $K_{\text{vol}} = 20$ y la varianza strike $K^2 = 400$), y lo dimensionamos para que el vega notional sea aproximadamente $100.000 por punto de vol. Usando la conversión:

$N_{\text{var}} = \frac{N_{\text{vega}}}{2 K_{\text{vol}}} = \frac{100{,}000}{2 \times 20} = 2{,}500 \text{ por punto de varianza}$

Así que el variance notional es $2.500 por punto de varianza. Ahora dos escenarios. El payoff para el largo (el lado que quiere volatilidad) es $N_{\text{var}}\left(\sigma_{\text{realized}}^2 - K^2\right)$. También calcularemos lo que habría pagado un vol swap struck al mismo nivel con $100.000 de vega notional, $N_{\text{vega}}(\sigma_{\text{realized}} - K_{\text{vol}})$, para ver la diferencia.

Quedaos mirando esa tabla, porque contiene toda la lección. En ambos escenarios la realizada se movió 5 puntos de vol respecto al strike. El vol swap, siendo lineal, paga unos $500.000 simétricos en cualquier sentido. El variance swap no: paga más en la subida ($562.500 frente a $500.000) y pierde menos en la bajada (−$437.500 frente a −$500.000).

Esa asimetría — mayor ganancia cuando la vol sube, menor pérdida cuando la vol baja, para el mismo tamaño de movimiento — no es un capricho de estos números. Es convexidad, y es la razón por la que los variance swaps existen como producto propio en lugar de que todo el mundo negocie simplemente vol swaps. Sostened esa idea; la próxima sección va enteramente sobre ella.

Estar largo de varianza es estar largo de convexidad

Aquí está la idea central, dicha sin rodeos. El payoff del variance swap se construye sobre $\sigma_{\text{realized}}^2$, y un cuadrado es una función convexa: su gráfica se dobla al alza. Así que si dibujáis el payoff del swap frente a la vol realizada (no la varianza), el variance swap traza una curva, mientras que el vol swap traza una línea recta. Son tangentes en el strike — cerca de 20 se comportan casi idéntico — pero a medida que os alejáis en cualquier dirección, la curva tira por encima de la línea.

Por encima del strike, “por encima de la línea” significa mayores ganancias. Por debajo del strike, “por encima de la línea” significa menores pérdidas. En cualquier caso el tenedor largo de varianza está mejor que el tenedor largo del vol swap para la misma vol realizada. Esa mejora gratuita es la convexidad, y en argot de trader estar largo de ella es estar largo de “vol de vol” — os beneficiáis de que la volatilidad sea incierta y nerviosa, porque el cuadrado premia los extremos.

El interactivo de abajo es el concepto entero en una sola imagen. Alternad entre el payoff lineal del vol swap, el payoff convexo del variance swap, y ambos superpuestos, y observad cómo la curva se sitúa por encima de la línea en todas partes salvo en el único punto de tangencia en el strike.

Ahora bien, nada en finanzas es gratis. Como esa convexidad es valiosa — siempre preferiríais tener la curva antes que la línea — el largo tiene que pagar por ella. La forma en que el mercado os cobra es en el strike: el strike de un variance swap (la “tasa del variance swap”, a menudo cotizada como su raíz cuadrada, la fair vol) cotiza ligeramente por encima de la volatilidad implícita at-the-money. Ese hueco es la prima de convexidad (también lo oiréis ligado a la “prima de riesgo de varianza”). Así que si la implícita ATM a 30 días es 18, el strike justo de un variance swap a 30 días podría ser 19 o 20 — el punto o dos extra es lo que entregáis por el payoff que se dobla al alza. Un vol swap, al carecer de esa convexidad, hace strike más cerca de la implícita ATM pelada.

Réplica: un variance swap es una tira de opciones

Ahora el resultado que hace a los variance swaps genuinamente bellos, y que ata todo este tema. Un variance swap se puede replicar — fabricar su payoff — con una cartera estática de opciones más un poco de trading dinámico en el subyacente. “Estática” significa que compráis las opciones una vez al principio y no las rebalanceáis; lo único que se opera de forma continua es un delta-hedge en futuros que sigue una regla sencilla. Crucialmente, la réplica es model-free: no necesitáis asumir ninguna volatilidad, ningún Black-Scholes, nada. El strike justo de varianza sale directamente de los precios de las opciones que podéis ver en el mercado.

¿Qué hay en la cartera? Tenéis opciones out-of-the-money en todo el rango de strikes — puts OTM por debajo del precio actual, calls OTM por encima — y ponderáis cada una por $1/K^2$, inversamente proporcional al cuadrado de su strike. Así que las puts de strike bajo reciben pesos pesados, las calls de strike alto pesos ligeros, en un suave decaimiento $1/K^2$.

¿Por qué $1/K^2$? Mantengámoslo intuitivo: la sensibilidad de una sola opción al subyacente no es constante a lo largo de los niveles de precio, y la ponderación $1/K^2$ es precisamente la receta que hace que el payoff agregado de la cartera entera salga proporcional a la varianza realizada — la suma de rendimientos al cuadrado — en lugar de al nivel de precio o a la vol pelada. Apilad opciones con exactamente ese decaimiento y su exposición a gamma combinada queda plana en log-precio, que es la huella matemática de un payoff de varianza. La posición dinámica en futuros simplemente barre la deriva direccional sobrante para que lo que queda sea varianza pura. No necesitáis memorizar la derivación; lo que os lleváis es que una cesta de opciones vanilla, correctamente ponderada, es una apuesta de varianza.

Riesgos y el cap

El mismo cuadrado que hace tan atractivo estar largo de varianza hace corto de varianza genuinamente peligroso. La varianza realizada es la suma de rendimientos diarios al cuadrado, así que un único día catastrófico no solo se suma al total — se eleva al cuadrado dentro de él. Una sesión de −20% aporta $20^2 = 400$ a la suma donde un día de −2% aporta solo $4$: cien veces el impacto para un movimiento diez veces mayor. La distribución de la varianza realizada tiene por tanto una cola derecha gorda — la mayor parte del tiempo está tranquila, y de vez en cuando explota. Para el largo, esa cola es un premio gordo. Para el corto (a menudo un dealer que vendió el swap para cosechar la prima de riesgo de varianza), es una posible aniquilación.

Para seguir en el negocio, los dealers suelen vender variance swaps con cap, donde la varianza realizada se recorta en un techo — uno común es 2,5× la varianza strike (que, como tomáis la raíz cuadrada para obtener la vol, corresponde a aproximadamente $\sqrt{2.5} \approx 1.58\times$ la vol strike). El cap acota la pérdida del peor caso del corto, convirtiendo una cola ilimitada en una meramente-muy-mala.

La historia es contundente sobre por qué esto importa. En 2008, las posiciones cortas de varianza y cortas de vol fueron masacradas a medida que la vol realizada del S&P 500 corría muy por encima de cualquier cosa implícita de antemano. En febrero de 2018 — el episodio apodado “Volmageddon” — un repunte de volatilidad detonó los productos cortos de vol (el más infame, el ETN inverso del VIX, XIV, que perdió casi todo su valor en un día) y carbonizó a cualquiera corto de varianza sin cap. La lección que los practicantes siguen reaprendiendo: estar corto de varianza es recoger monedas de cinco centavos delante de una apisonadora, y el tamaño de la apisonadora está elevado al cuadrado.

Juntándolo todo

Un variance swap y un vol swap os dejan apostar por la volatilidad realizada directamente — un forward OTC que paga el hueco entre lo que de verdad ocurrió y un strike fijado hoy, sin delta que cubrir y sin nada de la dependencia de la trayectoria que hace de un straddle una apuesta de vol con fugas. El vol swap es lineal en vol, $N_{\text{vega}}(\sigma_{\text{realized}} - K_{\text{vol}})$; el variance swap es lineal en varianza, $N_{\text{var}}(\sigma_{\text{realized}}^2 - K^2)$, con los dos nocionales puenteados por $N_{\text{vega}} = N_{\text{var}} \times 2K_{\text{vol}}$. Ese cuadrado hace el payoff de varianza convexo en vol: para un movimiento del mismo tamaño paga más en la subida y pierde menos en la bajada, así que estar largo de varianza es estar largo de convexidad (largo de “vol de vol”) — y pagáis por ello vía un strike que se sitúa por encima de la implícita ATM. El resultado más profundo es que un variance swap es una tira estática de opciones OTM ponderada por $1/K^2$ más un hedge en futuros — model-free, y exactamente como se calcula el VIX. Por último, como la varianza realizada eleva al cuadrado los rendimientos diarios, conlleva una cola derecha gorda que ha arruinado a traders cortos de varianza (2008, Volmageddon 2018), así que los dealers venden swaps con cap. Captad todo eso, y podréis negociar la volatilidad tan limpiamente como negociáis cualquier otra cosa — y estaréis listos para ver el VIX como lo que realmente es.

A continuación — el VIX en persona: tomaremos la réplica con tira de opciones que acabáis de conocer y recorreremos el cálculo real de la CBOE strike a strike, convirtiendo un muro de cotizaciones de opciones del SPX en el único número que todo el mundo llama el índice del miedo.