Esperanza, varianza y los momentos

Una distribución de probabilidad es una forma entera: una nube infinita de rendimientos posibles, cada uno con su propia verosimilitud. Es demasiado para llevarlo en la cabeza, así que las finanzas comprimen la nube en un puñado de números resumen llamados momentos. El primero os dice dónde se sitúa la distribución (su media), el segundo cómo de ancha es (su dispersión), el tercero cómo de inclinada está y el cuarto cómo de pesadas son sus colas. Dominad estos cuatro y podréis describir cualquier serie de rendimientos —una acción, un fondo, una estrategia— en cuatro números que un gestor de riesgos entenderá de verdad.

Esta lección los construye desde cero, directamente desde números de rendimiento en bruto, y conecta cada uno con las campanas de Gauss y las colas anchas que visteis en la lección anterior.

Esperanza: la media ponderada por probabilidad

Analogía. Imaginad una ruleta trucada donde cada casilla es un rendimiento posible y el tamaño de la casilla es su probabilidad. Giradla un millón de veces, promediad los resultados y convergeréis a la esperanza: el centro de gravedad a largo plazo de la distribución. No es el resultado individual más probable; es el punto de equilibrio de toda la ruleta.

Definición. Para una variable aleatoria discreta $X$ que toma valores $x_i$ con probabilidades $p_i$, la esperanza (o media) es

Cada resultado se pondera por la frecuencia con que ocurre. En finanzas $\mathbb{E}[X]$ es el rendimiento esperado: el rendimiento medio que obtendríais si las mismas probabilidades se repitieran eternamente.

Ejemplo resuelto. Una operación tiene tres posibles resultados a un año:

Sumad la última columna: $7,5\% + 4,0\% - 5,0\% = 6,5\%$. Así que $\mathbb{E}[X] = 6,5\%$. Fijaos en que el rendimiento esperado (6,5%) no es ninguno de los tres resultados: es el punto de equilibrio ponderado, arrastrado por debajo del 8% del caso base por la gorda probabilidad del 25% de una crisis del −20%.

Linealidad de la esperanza

La propiedad más útil de la esperanza: atraviesa de lleno sumas y reescalados, pase lo que pase. Para cualesquiera constantes $a$ y $b$,

Ejemplo resuelto. Supongamos que apalancáis la operación anterior $2\times$ y el bróker se lleva una comisión fija del 1%, de modo que vuestro rendimiento neto es $Y = 2X - 1\%$. Entonces

Nunca tuvisteis que reconstruir la tabla de escenarios: la linealidad os dejó escalar la respuesta directamente. Por eso el rendimiento esperado de una cartera es simplemente la media ponderada de los rendimientos esperados de sus componentes: la esperanza se desliza a través de la suma.

Varianza y desviación típica: la dispersión

Analogía. Dos arqueros pueden tener la misma media —ambos centrados en la diana— y aun así uno acribillar todo el blanco mientras el otro agrupa muy junto. La varianza mide esa dispersión: la distancia cuadrática media de cada resultado a la media. Su raíz cuadrada, la desviación típica, devuelve las unidades a rendimientos llanos y es lo que en finanzas se llama volatilidad.

Definición. Con media $\mu = \mathbb{E}[X]$,

Elevamos al cuadrado las desviaciones por dos razones: evita que las distancias positivas y negativas se cancelen, y castiga mucho más los grandes fallos que los pequeños. La raíz cuadrada deshace luego el cuadrado para que $\sigma$ vuelva a estar en porcentaje.

Ejemplo resuelto. Los cinco rendimientos mensuales de una acción son:

Primero la media: $(4 - 2 + 6 - 4 + 6)/5 = 10/5 = +2\%$.

Ahora las desviaciones cuadráticas respecto a esa media del 2%:

Suma de cuadrados $= 4 + 16 + 16 + 36 + 16 = 88$. Tratando estos cinco como la población entera, dividimos por $n = 5$: $\mathrm{Var} = 88/5 = 17,6$ (en %²). La volatilidad es $\sigma = \sqrt{17,6} \approx 4,2\%$ al mes. Cuanto mayor sea el vaivén típico respecto al 2%, mayor ese número.

La campana más ancha de abajo tiene la $\sigma$ mayor: mismo rendimiento medio, más riesgo:

Población frente a muestra: la corrección n−1

Analogía. Cuando estimáis la dispersión a partir de una muestra en vez de la población completa, ya habéis gastado parte de los datos en calcular la media muestral, y los datos siempre se aprietan demasiado en torno a su propia media. Dividir por $n$ subestimaría por tanto la dispersión verdadera. El arreglo es dividir por $n - 1$ en lugar de $n$: habéis “gastado” un grado de libertad fijando la media, así que solo os quedan $n - 1$ piezas independientes de información sobre la dispersión.

Definición. Las dos fórmulas de varianza difieren solo en el denominador:

La versión con $n - 1$ (llamada corrección de Bessel) es el estimador insesgado de la varianza verdadera: de media, a lo largo de muchas muestras, acierta en vez de quedarse sistemáticamente corta.

Ejemplo resuelto. Reutilizad los cinco rendimientos de antes. La suma de desviaciones cuadráticas era 88.

• Como población ($\div\,5$): $\sigma^2 = 88/5 = 17,6$, así que $\sigma \approx 4,20\%$.
• Como muestra ($\div\,4$): $s^2 = 88/4 = 22,0$, así que $s \approx 4,69\%$.

El número muestral es mayor: justo el empujón al alza que aporta la corrección de Bessel para deshacer la subestimación incorporada. Con solo cinco datos la diferencia es notable; con cientos de rendimientos diarios, $n$ y $n - 1$ apenas se diferencian.

Anualizar la volatilidad: la regla del √252

Analogía. La volatilidad, como el riesgo en el tiempo, crece como un paseo aleatorio, no como una marcha recta. Para rendimientos independientes, la varianza se suma a lo largo de los periodos: sobre $T$ periodos la varianza es $T$ veces la varianza de un periodo, y la desviación típica es $\sqrt{T}$ veces la $\sigma$ de un periodo. Para convertir una volatilidad diaria en anual, escaláis por la raíz cuadrada del número de días de cotización en un año (unos 252).

La regla. Con aproximadamente 252 días de cotización al año,

Fijaos en que $\sqrt{252} \approx 15,87$, un número que vale la pena memorizar: la vol anual es la vol diaria por unas 16 veces.

Ejemplo resuelto. Una acción tiene una volatilidad diaria del $1\%$. Entonces

En sentido inverso, un índice cotizado al $20\%$ de vol anual tiene una vol diaria de $20\% / \sqrt{252} \approx 1,26\%$. Y para anualizar desde datos mensuales usaríais $\sqrt{12}$ en su lugar, porque hay doce meses en un año: la regla se generaliza a $\sqrt{(\text{periodos por año})}$.

Asimetría: el tercer momento (la inclinación)

Analogía. Una campana simétrica es un balancín equilibrado. La asimetría mide hacia qué lado se inclina. Una cola larga que se estira hacia la derecha (grandes ganancias raras) es asimetría positiva; una cola larga hacia la izquierda (grandes pérdidas raras) es asimetría negativa. La media se ve arrastrada hacia la cola larga, lejos del grueso de los resultados típicos.

Definición. La asimetría es el tercer momento estandarizado:

Elevar al cubo conserva el signo de cada desviación (a diferencia del cuadrado), de modo que la fórmula registra qué lado carga con los resultados más pesados y extremos. Asimetría cero significa perfectamente simétrica, como la distribución normal.

Qué significa el signo para los rendimientos. Aquí es donde la asimetría se gana el sueldo:

• Asimetría negativa: ganancias pequeñas y frecuentes, cracs brutales ocasionales. La mayoría de índices de renta variable, el crédito y las estrategias de vender volatilidad viven aquí. A los inversores les disgusta: el evento raro es un desastre.
• Asimetría positiva: pérdidas pequeñas y frecuentes, ganancias enormes ocasionales. Los billetes de lotería, las opciones call muy fuera de dinero y el seguimiento de tendencia viven aquí.

Curtosis y exceso de curtosis: el cuarto momento (colas anchas)

Analogía. Dos distribuciones pueden compartir la misma media, la misma varianza y la misma simetría, y aun así una servir muchos más resultados extremos que la otra. La curtosis mide eso: cuánta acción vive en las colas frente a los hombros. Una curtosis alta significa un pico más afilado y colas más anchas: montones de movimientos diminutos puntuados por gigantes raros.

Definición. La curtosis es el cuarto momento estandarizado:

La cuarta potencia pondera enormemente las desviaciones extremas —un evento de $4\sigma$ aporta $4^4 = 256$ veces lo que uno de $1\sigma$—, así que la curtosis está dominada por las colas. La distribución normal tiene una curtosis de exactamente 3, de modo que conviene restar ese punto de referencia:

Leer el signo. El exceso de curtosis es el medidor de colas anchas:

• Exceso de curtosis > 0 (leptocúrtica): colas más anchas que la normal. Los movimientos extremos son más frecuentes y mayores de lo que predice una campana. Los rendimientos financieros reales viven aquí, a menudo con exceso de curtosis bastante por encima de cero.
• Exceso de curtosis = 0: colas exactamente normales (mesocúrtica).
• Exceso de curtosis < 0 (platicúrtica): colas más finas, resultados de aspecto más uniforme.

Esta es la recompensa del repaso espaciado: los precios lognormales y las colas anchas de la lección anterior no son un tema aparte, son simplemente el tercer y el cuarto momento de una distribución hablando. El gráfico de arriba os deja ensanchar σ; abajo, arrastrad la misma intuición a dónde se sitúa la masa.

Juntándolo todo

Cualquier distribución de rendimientos, por desordenada que sea, puede resumirse con cuatro momentos: la esperanza (dónde se centra, y se desliza por las sumas vía linealidad), la varianza / volatilidad (cómo de ancha se esparce, escalada en el tiempo por √t), la asimetría (hacia qué lado se inclina) y la curtosis (cómo de anchas son sus colas). Usad la corrección muestral $n - 1$ cuando estiméis a partir de datos, y recordad que los rendimientos reales son asimétricos negativos y de colas anchas: justo la forma que un pulcro modelo normal se niega a admitir.

A continuación —covarianza, correlación y regresión— dejamos de describir una serie de rendimientos en aislamiento y nos preguntamos cómo se mueven dos a la vez: la covarianza que impulsa la diversificación, la correlación que la estandariza en una escala de −1 a +1, y la recta de regresión que convierte una nube de puntos en una estimación de la beta.